Toán 10: Tích vô vị trí hướng của hai vectơ

1. Tích vô vị trí hướng của hai vectơ là gì?

1.1. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Cho nhì véc-tơ $ veca$ và $vecb$ mọi khác $ vec0$. Tích vô hướng của hai véc-tơ $ veca$ cùng $vecb$, kí hiệu là $ vecacdot vecb$ là 1 số, được xác định bởi $$ vecacdot vecb = left|veca ight |cdot left|vecb ight|cdot cos (veca,vecb) .$$

Quy ước, giả dụ $ veca=vec0$ hoặc $ vecb=vec0$ thì $ vecacdot vecb =0.$

Xem lại cách xác định góc thân hai véc-tơ: Góc thân hai vectơ trong mặt phẳng.

Bạn đang xem: 2 vecto vuông góc

Hai véc-tơ vuông góc cùng nhau khi và chỉ khi tích vô vị trí hướng của chúng bởi $0$.

Tích vô hướng chính là công trong đồ lý. Cho 1 lực có độ mập $F$ tác động ảnh hưởng lên vật làm cho vật di chuyển được quãng đường $s=OO’$. Lực $F$ hợp với hướng hoạt động $OO’$ một góc là $phi$ thì công cơ mà lực $F$ sinh ra có độ béo là $$A=F.s.cosphi.$$

*

1.2. đặc thù của tích vô hướng

Với cha véc-tơ $ veca,vecb,vecc$ ngẫu nhiên và một trong những thực $ k$, ta luôn luôn có

$ vecacdot vecb=vecbcdotveca$ (tính hóa học giao hoán);$ veca(vecb+vecc)=vecacdotvecb+vecacdotvecc$ (tính chất phân phối);$ (kveca)cdotvecb=k(vecacdotvecb)$.

1.3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong phương diện phẳng tọa độ $Oxy$ cùng với hệ trục $ (O;veci,vecj)$ mang lại hai véc-tơ $ veca=(x;y)$ và $ vecb=(x’;y’)$ thì ta gồm $$ vecacdotvecb=xx’+yy’. $$

Hai véc-tơ $ veca=(x;y)$ cùng $ vecb=(x’;y’)$ khi còn chỉ khi $xx’+yy’=0$.

1.4. Ứng dụng của tích vô hướng 2 vecto

Độ dài của $ veca(x;y)$ được xem bởi bí quyết $$ |veca|=sqrtx^2+y^2.$$Góc giữa hai vectơ $ veca=(x;y)$ cùng $ vecb=(x’;y’)$ bao gồm $$ cosleft(veca,vecb ight)=fracvecacdotvecb=fracxx’+yy’sqrtx^2+y^2cdotsqrtx’^2+y’^2.$$Khoảng biện pháp giữa nhị điểm $ A(x_A;y_A)$ và $ B(x_B;y_B)$ được xem bởi phương pháp $$ AB=sqrtleft(x_B-x_A ight)^2+left(y_B-y_A ight)^2.$$

1.5. Cách làm hình chiếu

Nếu nhì điểm $ A’,B’ $ thứu tự là hình chiếu vuông góc của $ A,B $ khởi thủy thẳng $ CD, $ thì ta luôn luôn có < overrightarrowABcdotoverrightarrowCD=overrightarrowA’B’cdotoverrightarrowCD >Ngược lại, ví như hai điểm $ C’,D’ $ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $ C,D $ phát xuất thẳng $ AB $ thì< overrightarrowABcdotoverrightarrowCD=overrightarrowABcdotoverrightarrowC’D’ >

2. Các dạng toán tích vô vị trí hướng của hai vectơ

2.1. Tính tích vô hướng bởi định nghĩa

Ví dụ 1. mang lại tam giác $ABC$ đều, cạnh bằng $ a $ và con đường cao $ AH $. Tính những tích vô hướng:

$ overrightarrowABcdotoverrightarrowAC$;$(2overrightarrowAB)cdot(3overrightarrowHC)$;$ (overrightarrowAB-overrightarrowAC)(2overrightarrowAB+overrightarrowBC). $

Ví dụ 2. mang lại tam giác mọi $ ABC $ gồm cạnh bằng $ 3a. $ lấy hai điểm $ M,N $ thuộc đoạn $ AC $ thế nào cho $ AM=MN=NC $. Tính những tích vô hướng:

$ overrightarrowABcdotoverrightarrowAC$;$overrightarrowACcdotoverrightarrowCB$;$overrightarrowBMcdotoverrightarrowBN $.

Hướng dẫn.

Ta có: $ overrightarrowABcdotoverrightarrowAC=ABcdot ACcoswidehatBAC=3acdot 3acdotcos60^circ=frac9a^22.$Dựng $ overrightarrowCE=overrightarrowAC $ thì $left(overrightarrowAC,overrightarrowCB ight)=left(overrightarrowCE,overrightarrowCB ight)=widehatBCE=120^circ. $ Từ đó tính được, $overrightarrowACcdotoverrightarrowCB=-frac9a^22$.Để tính tích vô phía còn lại, ta phân tích các véctơ thực hiện quy tắc bố điểm như sau: eginalign*overrightarrowBMcdotoverrightarrowBN&=left(overrightarrowAM-overrightarrowAB ight)left(overrightarrowAN-overrightarrowAB ight)\ &=overrightarrowAMcdotoverrightarrowAN-overrightarrowABcdotoverrightarrowAM-overrightarrowABcdotoverrightarrowAN+overrightarrowAB^2 endalign*Thay số vào những tích vô phía trên, được đáp số $ frac13a^22 $.

Khi tính các tích vô hướng ta thường có hai hướng, tính trực tiếp bởi định nghĩa, hoặc đối chiếu thành những véctơ bao gồm mối liên hệ đặc biệt cùng nhau (vuông góc, cùng hướng hoặc ngược phía với nhau). Hãy xem lấy ví dụ như sau nhằm rõ hơn về phát minh này.

Ví dụ 3. Cho hình vuông vắn $ ABCD $ cạnh bằng $ a $ gồm $ M, N $ lần lượt là trung điểm của $ BC $ cùng $ CD $. Tính những tích vô hướng:

$ overrightarrowABcdotoverrightarrowAM$;$overrightarrowAMcdotoverrightarrowAN. $

Hướng dẫn.

Ta tất cả $ overrightarrowABcdotoverrightarrowAM=overrightarrowABleft(overrightarrowAB+overrightarrowBM ight)=overrightarrowAB^2+overrightarrowABcdotoverrightarrowBM=a^2. $Tương tự, cũng có thể có $ overrightarrowAMcdotoverrightarrowAN=left( overrightarrowAB+overrightarrowBM ight)left(overrightarrowAD+overrightarrowDN ight)=…=a^2. $

Ví dụ 4. Cho hình vuông vắn $ ABCD $ cạnh bởi $ a $ cùng $ M $ là 1 điểm nằm trê tuyến phố tròn nước ngoài tiếp hình vuông. Tính các tích vô hướng:

$ left( overrightarrowAB+overrightarrowAD ight) cdotleft(overrightarrowBD+overrightarrowBC ight) $;$ left( 2overrightarrowAB-overrightarrowAD ight) cdot left( 2overrightarrowAC+overrightarrowAB ight) $;$ overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB+overrightarrowMCcdotoverrightarrowMD $.

Ví dụ 5. mang đến hai điểm $ A,B $ cố định và thắt chặt và $ k $ là hằng số. Kiếm tìm tập hợp những điểm $ M $ thỏa mãn nhu cầu $$ overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB=k. $$

Hướng dẫn. gọi $ I $ là trung điểm $ AB $, ta có: eginalignoverrightarrowMAcdotoverrightarrowMB&= left(overrightarrowMI+overrightarrowIA ight) left(overrightarrowMI+overrightarrowIB ight)\&= left(overrightarrowMI+overrightarrowIA ight) left(overrightarrowMI-overrightarrowIA ight)\&=MI^2-IA^2endalign do đó, $ MI^2=k+IA^2 $, đề nghị có các khả năng:

Nếu $ k+IA^2 giả dụ $ k+IA^2=0 $, tập hợp điểm $ M $ là điểm $ I $.Nếu $ k+IA^2 >0 $, tập vừa lòng điểm $ M $ là một trong những đường tròn trung ương $ I, $ nửa đường kính $ R=sqrtk+IA^2 $.

Như vậy, tùy ở trong vào số $ k $ cơ mà tập vừa lòng điểm $ M $ là các tập khác nhau như trên.

Ví dụ 6. mang lại hai véctơ $ overrightarrowOA,overrightarrowOB $, điện thoại tư vấn $ B’ $ là hình chiếu vuông góc của điểm $ B $ xuất hành thẳng $ OA $. Chứng minh rằng $ overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB= overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’$.

Hướng dẫn. Chúng ta xét nhị trường hợp:

Hai điểm $A$ với $ B’ $ nằm ở vị trí cùng một phía so với điểm $ O. $ lúc đó, $ coswidehatAOB=coswidehatBOB’ $ nên:eginalignoverrightarrowOAcdotoverrightarrowOB&=OAcdot OBcdotcoswidehatAOB\&=OAcdot OB’\&=OAcdot OB’cdotcos0^circ\&=overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’endalignHai điểm $A$ cùng $ B’ $ nằm hai phía so với điểm $ O. $ lúc đó, $ coswidehatAOB=-coswidehatBOB’ $ nên:eginalignoverrightarrowOAcdotoverrightarrowOB&=OAcdot OBcdotcoswidehatAOB\&=-OAcdot OBcdotcoswidehatAOB’\&=-OAcdot OB’\&=OAcdot OB’cdotcos180^circ\&=overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’endalign

Như vậy, trong cả nhị trường hợp, ta đều phải có $ overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB= overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’$.

Ví dụ 7. mang đến đường tròn trung tâm $ I, $ bán kính $ R $ và một điểm $ M $ bất kỳ. Một đường thẳng qua $ M $ giảm đường tròn tại hai điểm $ A,B $. Chứng tỏ rằng cực hiếm của biểu thức $ P=overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB $ ko đổi.

Hướng dẫn. Kẻ đường kính $ BB’ $ thì ta có $ A $ là hình chiếu của $ B’ $ lên $ MB $. Áp dụng cách làm hình chiếu trong lấy ví dụ như trên, ta có: eginalignP&=overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB\&=overrightarrowMBcdotoverrightarrowMB’\&=left(overrightarrowMI+overrightarrowIB ight)left(overrightarrowMI+overrightarrowIB’ ight)endalign nhưng mà $ overrightarrowIB=-overrightarrowIB’$, đề xuất suy ra $$P= left(overrightarrowMI+overrightarrowIB ight)left(overrightarrowMI-overrightarrowIB ight)=MI^2-IB^2=MI^2-R^2 $$, đấy là một đại lượng không đổi.

Ví dụ 8. cho tam giác $ABC$ vuông trên $ A $ với $ overrightarrowABcdotoverrightarrowCB=4, overrightarrowACcdotoverrightarrowBC=9 $. Tính độ dài ba cạnh của tam giác.

Hướng dẫn. Ta bao gồm $ A $ là hình chiếu vuông góc của $ C $ lên đường thẳng $ AB $, do đó: < 4=overrightarrowABcdotoverrightarrowCB=overrightarrowABcdotoverrightarrowAB=AB^2 > Suy ra $ AB=2. $ tựa như có $ AC=3, $ và thực hiện Pytago được $ BC=sqrt13. $

Ví dụ 9. mang đến hình thang vuông $ ABCD $, con đường cao $ AB = 2a $, đáy bự $ BC = 3a $, đáy nhỏ tuổi $ AD = a $.

Tính các tích vô phía $ overrightarrowABcdotoverrightarrowCD,overrightarrowBDcdotoverrightarrowBC,overrightarrowACcdotoverrightarrowBD $.Gọi $ I $ là trung điểm của $ CD, $ tính góc $ left(overrightarrowAI,overrightarrowBD ight) $.

Hướng dẫn. thực hiện công thức hình chiếu hoặc so với theo nhị véctơ vuông góc cùng nhau là $ overrightarrowAB,overrightarrowAD. $

Ví dụ 10. Cho hình vuông $ ABCD $ cạnh bởi $ a $ cùng điểm $ M $ nằm trong cạnh $ AB $ làm thế nào cho $ AM=fraca3. $ Tính giá trị lượng giác $ coswidehatCMD $.

2.2. Minh chứng đẳng thức bằng tích vô hướng

Ví dụ 1. mang đến tam giác $ABC$ có trọng tâm $ G $ với $ M $ là một trong điểm nằm trê tuyến phố thẳng đi qua $ G $ đồng thời vuông góc với $ BC. $ chứng minh rằng $$left(overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC ight)cdotoverrightarrowBC=0. $$ Hướng dẫn. Ta tất cả $ left(overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC ight)cdotoverrightarrowBC=3overrightarrowMGcdotoverrightarrowBC=0. $

Ví dụ 2. Cho hình vuông $ ABCD $ trọng điểm là $ O $, cạnh bằng $ a $. Chứng minh rằng với đa số điểm $ M $ ta luôn có:< MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=4MO^2+2a^2 > Hướng dẫn. Ta có: $$ MA^2=overrightarrowMA^2=left(overrightarrowMO+overrightarrowOA ight)^2=MO^2+OA^2+2overrightarrowMOcdotoverrightarrowOA. $$ có tác dụng tương tự so với $ MB,MC,MD $ và cùng từng vế những đẳng thức này được: eginalignMA^2+MB^2+MC^2+MD^2&=4MO^2+4OA^2+2overrightarrowMOleft(overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOD+overrightarrowOD ight)\&=4MO^2+2a^2endalign vì chưng $ overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOD+overrightarrowOD=vec0. $

2.3. Chứng tỏ hai con đường thẳng vuông góc

Ví dụ 1. chứng minh rằng với tư điểm khác nhau $ A,B,C,D $ bất kì, ta luôn luôn có, $ AB $ vuông góc cùng với $ CD $ khi và chỉ khi< AC^2-AD^2=BC^2-BD^2 >Hướng dẫn. Áp dụng cách làm $ veca^2=|veca|^2 $, ta có:eginalign*AC^2-AD^2&=BC^2-BD^2\Leftrightarrow overrightarrowAC^2-overrightarrowAD^2&=overrightarrowBC^2-overrightarrowBD^2\Leftrightarrow left(overrightarrowAC-overrightarrowAD ight)left(overrightarrowAC+overrightarrowAD ight)&=left(overrightarrowBC-overrightarrowBD ight)left(overrightarrowBC+overrightarrowBD ight)\Leftrightarrow overrightarrowDCleft(overrightarrowAC+overrightarrowAD ight)&=overrightarrowDCleft(overrightarrowBC+overrightarrowBD ight)\Leftrightarrow overrightarrowDCleft(overrightarrowAC+overrightarrowAD-overrightarrowBC-overrightarrowBD ight)&=0\Leftrightarrow 2overrightarrowDCcdotoverrightarrowAB&=0endalign* Điều này xảy ra, khi và chỉ khi hai tuyến phố thẳng $ AB $ cùng $ CD $ vuông góc cùng với nhau.

Chú ý rằng, ở cách thứ ba, ta ko được “chia” nhị vế cho $ overrightarrowDC $.

2.4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC$ với $ A(-1 ;-1 ) , B(3 ;1) , C(6 ; 0)$. Tính chu vi tam giác $ABC$ với tìm số đo góc $ B$.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ mang lại hai điểm $ A(-3,2),B(4,3). $ kiếm tìm tọa độ điểm $M$ trực thuộc trục $ Ox $ làm sao cho tam giác $ MAB $ vuông trên $ M. $

Hướng dẫn. $ M(3,0) $ hoặc $ M(-2,0) $

Ví dụ 3. Trong khía cạnh phẳng tọa độ đến tam giác $ABC$ tất cả $A(1;2),B(5;3)$ và $C(-2;-2)$.

Tính chu vi tam giác $ABC$;Tính số đo các góc của tam giác $ABC$;Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm, trung khu đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ví dụ 4. cho tam giác $ ABC $ vuông cân tại điểm $A$. Biết $ M(1,-1) $ là trung điểm cạnh $ BC $ cùng $ G(2/3,0) $ là giữa trung tâm tam giác $ ABC $. Tìm kiếm tọa độ những đỉnh của tam giác.

Hướng dẫn.

Gọi $ A(x_A,y_A) $ thì $ overrightarrowAG=2overrightarrowGM Leftrightarrow A(0,2).$Gọi $ B(x_B,y_B) $ thì vì $ M $ là trung điểm $ BC $ yêu cầu $ C(2-x_B,-2-y_B) $ cho nên vì thế tính được $$ overrightarrowAB,overrightarrowAC. $$Mặt khác, bao gồm tam giác $ ABC $ vuông cân tại $A$ khi còn chỉ khi $$egincases overrightarrowAB.overrightarrowAC=0 \ AB=AC endcases$$ Giải hệ này tìm được $B(4,0)$ hoặc $ B(-2,2) .$ trường đoản cú đó tìm được $ C(-2,2) $ hoặc $ C(4,0). $

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng toạ độ $ Oxy, $ mang đến tam giác $ ABC $ có các đỉnh $ A(-1, 0), B (4, 0), C(0,m) $ cùng với $ m e 0 $. Tra cứu tọa độ trọng tâm $ G $ của tam giác $ ABC $ theo $ m $. Khẳng định $ m $ để tam giác $ GAB $ vuông tại $ G. $

Hướng dẫn. Đáp số $ m=pm3sqrt6 $.

Ví dụ 6. Cho $ A(0,2),B(-sqrt3,-1). $ kiếm tìm tọa độ trực trọng tâm và trọng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ OAB. $

Hướng dẫn.

Có $ H $ là trực trung ương tam giác $OAB$ khi và chỉ khi $$egincases overrightarrowAB.overrightarrowOH=0\ overrightarrowAH.overrightarrowOB=0 endcases $$ Giải hệ này tìm được đáp số $H(sqrt3,-1).$Ta bao gồm $ I $ là vai trung phong đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ OAB $ khi và chỉ còn khi $$IA=IB=IO$$ Giải hệ này kiếm được đáp số $I(-sqrt3,1)$.

Ví dụ 7. đến tứ giác $ABCD$ có $A( 2 ; 1) , B(0 ; -3 ), C(6 ; -6 ), D(8 ; -2 )$. Tính diện tích s tứ giác $ABCD$.

Hướng dẫn. Chỉ ta tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên diện tích được tính bởi công thức $$S=frac12 ABcdot AD.$$

3. Bài bác tập tích vô vị trí hướng của hai vectơ

Bài 1. Cho hình vuông ABCD cạnh $a$. Tính $overrightarrowABcdot overrightarrowAD$ và $overrightarrowABcdot overrightarrowAC$.

Bài 2. cho tam giác $ABC$ bao gồm $widehatA=90^circ;widehatB=60^circ$ và $AB=a$. Tính các tích vô phía $overrightarrowABcdot overrightarrowAC;overrightarrowCAcdot overrightarrowCB$ cùng $overrightarrowACcdot overrightarrowCB$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại A bao gồm $AB=AC=a$. Tính $overrightarrowABcdot overrightarrowAC;;overrightarrowBAcdot overrightarrowBC$ và $overrightarrowABcdot overrightarrowBC$.

Bài 4. mang đến tam giác $ABC$ mọi cạnh $a$. Tính $overrightarrowABcdot overrightarrowAC$ với $overrightarrowBCcdot overrightarrowAB$.

Bài 5. Trong khía cạnh phẳng $ Oxy $ đến $A=(4;6),B(1;4)$ với $C(7;frac32)$.

Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $ A $.Tính độ dài những cạnh $AB,AC,BC$.

Bài 6. Tính góc thân hai vec tơ $overrightarrowa$ cùng $overrightarrowb$ trong những trường hợp sau

$overrightarrowa=(1;-2)$ và $overrightarrowb=(-1;-3)$.$overrightarrowa=(3;-4)$ với $overrightarrowb=(4;3)$.$overrightarrowa=(2;5)$ và $overrightarrowb=(3;-7)$.

Bài 7. Cho hình vuông vắn $ ABCD $. Gọi $ M,N $ theo thứ tự là trung điểm của $ BC,CD $. Chứng minh rằng $ AM $ vuông góc với $ BN. $

Bài 8. mang lại hình thang vuông $ ABCD $ với mặt đường cao $ AD=h $ với hai lòng $ AB=a,CD=b $.

Tìm điều kiện của $ a,b $ và $ h $ để $ AC $ vuông góc với $ BD $.Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Tìm điều kiện của $ a $ cùng $ b $ để $ AM $ vuông góc với $ BD. $

Bài 9. chứng tỏ rằng với bốn điểm $ A,B,C,D $ bất kỳ ta có< overrightarrowABcdot overrightarrowCD+overrightarrowACcdotoverrightarrowDB+overrightarrowADcdotoverrightarrowBC=vec0 >Suy ra ba đường cao của tam giác đồng quy.

Bài 10. mang đến tam giác $ABC$, trên các cạnh $ AB,CD $, ta dựng ra phía ngoài những tam giác $ ABE,ACF $ vuông cân tại $ A $. Hotline $ I $ là trung điểm của $ BC $. Minh chứng rằng $ AI $ vuông góc cùng với $ EF $.

Bài 11. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn trung khu $ O $. Call $ BH,CK $ là những đường cao của tam giác. Minh chứng rằng $ OA $ vuông góc với $ HK $.

Bài 12. cho tam giác $ABC$ cân tại $ A $ với $ O $ là chổ chính giữa đường tròn nước ngoài tiếp. điện thoại tư vấn $ D $ là trung điểm của $ AB $ cùng $ E $ là giữa trung tâm của tam giác $ ACD $. Chứng minh rằng $ OE $ vuông góc với $ CD $.

Bài 13. đến tam giác $ABC$ nội tiếp mặt đường tròn trung tâm $ O $ cùng một điểm $ H $. Minh chứng rằng $ H $ là trực trung ương của tam giác $ ABC $ khi và chỉ còn khi $ overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC=overrightarrowOH $.

Bài 14. mang đến tứ giác lồi $ ABCD $ với $ O $ là giao điểm của hai đường chéo. Hotline $ H,K $ tương xứng là trực tâm của các tam giác $ OAB,OCD $. điện thoại tư vấn $ I,J $ khớp ứng là trung điểm của $ BC,DA $. Chứng tỏ rằng $ HK $ vuông góc với $ IJ $.

Bài 15. mang đến tứ giác nội tiếp $ ABCD $ cùng với $ I $ là giao điểm của hai tuyến phố chéo. điện thoại tư vấn $ E,F $ thứu tự là trung điểm của $ AB,BC $. Chứng minh rằng $ IE $ vuông góc với $ CD $ khi và chỉ còn khi $ IF $ vuông góc với $ AD $.

Bài 16. đến góc vuông $ xSy $ và đường tròn $ (O) $ giảm $ Sx $ tại $ A,B $ và $ Sy $ trên $ C,D $. Minh chứng rằng trung tuyến đường vẽ từ $ S $ của tam giác $ SAC $ vuông góc cùng với $ BD $.

Bài 17. Trong khía cạnh phẳng $ Oxy $ cho hai điểm $A(2;4)$ và $B(1;1)$. Tìm tọa độ điểm $ C $ làm sao cho tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $ B $.

Bài 18. mang lại tam giác $ABC$ biết $A(1;-1),B(5;-3)$ với $C(2;0)$.

Tính chu vi với nhận dạng tam giác $ABC$.Tìm tọa độ điểm M biết $overrightarrowCM=2overrightarrowAB-3overrightarrowAC$.Tìm trung tâm và nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Bài 19. Trong khía cạnh phẳng $Oxy$ cho 4 điểm $A,B,C,D$ với $A(-1;1) ,B(0;2) ,C(3;1)$ với $D(0;-2)$. Chứng tỏ rằng $ABCD$ là hình thang cân

Bài 20. Trong mặt phẳng $Oxy$ mang đến 4 điểm $A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;- 3) ,D(-1;6)$. Chứng minh rằng $ABCD$ là tứ giác nội tiếp.

Bài 21. Cho hình vuông vắn $ ABCD $. điện thoại tư vấn $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ BC,CD $. Chứng tỏ rằng $ AM $ vuông góc với $ BN. $

Bài 22. Cho hình thang vuông $ ABCD $ với đường cao $ AD=h $ với hai lòng $ AB=a,CD=b $.

Tìm đk của $ a,b $ với $ h $ để $ AC $ vuông góc với $ BD $.Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Tìm đk của $ a $ và $ b $ để $ AM $ vuông góc cùng với $ BD. $

Bài 23. mang lại tam giác $ABC$. Cùng với điểm $ M $ tùy ý, minh chứng rằng$$overrightarrowMAcdot overrightarrowBC+overrightarrowMBcdot overrightarrowCA+overrightarrowMCcdot overrightarrowAB=0$$

Bài 24. mang lại $ O $ là trung điểm của đoạn thẳng $ AB $ với $ M $ là 1 điểm tùy ý. Chứng tỏ rằng $overrightarrowMAcdot overrightarrowMB=OM^2 – OA^2$.

Bài 25. mang lại tam giác $ABC$ có bố đường trung tuyến đường là $ AD, BE, CF $. Minh chứng rằng $overrightarrowBCcdot overrightarrowAD+overrightarrowCAcdot overrightarrowBE+overrightarrowABcdot overrightarrowCF=0$.

Bài 26. mang đến hình chữ nhật $ ABCD $ bao gồm $AB=a$ cùng $AD=asqrt2$. Gọi $ K $ là trung điểm của cạnh $ AD $. Chứng minh $BKperp AC$.

Bài 27. cho tam giác $ABC$ cân nặng tại $ A $. Call $ H $ là trung điểm của cạnh $ BC $, $ D $ là hình chiếu vuông góc của $ H $ trên cạnh $ AC, M $ là trung điểm của đoạn $ HD $. Minh chứng $AMperp BD$.

Bài 28. cho tam giác $ABC$. Hotline $ H $ là trực tâm của tam giác và $ M $ là trung điểm của $ BC $. Chứng tỏ $overrightarrowMHcdot overrightarrowMA=frac14BC^2$.

Bài 29. cho tứ giác $ ABCD $ tất cả hai đường chéo cánh $ AC $ với $ BD $ vuông góc cùng nhau và giảm nhau trên $ M $. Gọi $ p. $ là trung điểm của $ AD $. Bệnh minh$$MPperp BC Leftrightarrow overrightarrowMAcdot overrightarrowMC=overrightarrowMBcdot overrightarrowMD$$

Bài 30. minh chứng rằng với bốn điểm $ A,B,C,D $ bất kỳ ta có< overrightarrowABcdot overrightarrowCD+overrightarrowACcdotoverrightarrowDB+overrightarrowADcdotoverrightarrowBC=vec0. > trường đoản cú đó chứng tỏ ba mặt đường cao của một tam giác đồng quy.

Bài 31. mang lại tam giác $ABC$, trên những cạnh $ AB,CD $, ta dựng ra phía ngoài các tam giác $ ABE,ACF $ vuông cân tại $ A $. Call $ I $ là trung điểm của $ BC $. Chứng minh rằng $ AI $ vuông góc cùng với $ EF $.

Bài 32. đến tam giác $ABC$ nội tiếp con đường tròn vai trung phong $ O $. Hotline $ BH,CK $ là các đường cao của tam giác. Chứng minh rằng $ OA $ vuông góc cùng với $ HK $.

Bài 33. mang lại tam giác $ABC$ cân nặng tại $ A $ với $ O $ là tâm đường tròn nước ngoài tiếp. Hotline $ D $ là trung điểm của $ AB $ với $ E $ là giữa trung tâm của tam giác $ ACD $. Chứng tỏ rằng $ OE $ vuông góc với $ CD $.

Bài 34. cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn trung tâm $ O $ cùng một điểm $ H $. Chứng minh rằng $ H $ là trực trung ương của tam giác $ ABC $ khi và chỉ còn khi $ overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC=overrightarrowOH $.

Bài 35. đến tứ giác lồi $ ABCD $ với $ O $ là giao điểm của hai tuyến đường chéo. Call $ H,K $ tương ứng là trực tâm của các tam giác $ OAB,OCD $. điện thoại tư vấn $ I,J $ tương ứng là trung điểm của $ BC,DA $. Minh chứng rằng $ HK $ vuông góc với $ IJ $.

Bài 36. đến tứ giác nội tiếp $ ABCD $ cùng với $ I $ là giao điểm của hai đường chéo. Hotline $ E,F $ thứu tự là trung điểm của $ AB,BC $. Minh chứng rằng $ IE $ vuông góc với $ CD $ khi còn chỉ khi $ IF $ vuông góc với $ AD $.

Bài 37. mang đến góc vuông $ xSy $ và con đường tròn $ (O) $ giảm $ Sx $ tại $ A,B $ cùng $ Sy $ tại $ C,D $. Chứng minh rằng trung tuyến vẽ từ $ S $ của tam giác $ SAC $ vuông góc cùng với $ BD $.

Bài 38. đến tam giác không cân nặng $ ABC $. Hỏi tam giác này phải vừa lòng điều kiện gì để con đường thẳng Euler của chính nó vuông góc cùng với trung tuyến qua $ A $?

Bài 39. Qua trung điểm các cạnh của một tứ giác lồi kẻ những đường trực tiếp vuông góc cùng với cạnh đối diện. Chứng tỏ rằng trường hợp ba trong những các đường đó đồng quy thì cả tư đường thẳng đồng quy.

Bài 40.

Xem thêm: Mạng Tinh Thể Kim Loại Gồm Có

Trong mặt phẳng mang đến $ n $ điểm rõ ràng $ A_1,A_2,…,A_n $, và $ n $ số thực khác không $ lambda_1,lambda_2,…,lambda_n $ làm sao cho $ A_iA_j^2=lambda_i+lambda_j $. Chứng tỏ rằng $ n leqslant 4 $ cùng nếu $ n=4 $ thì $ frac1lambda_1+frac1lambda_2+frac1lambda_3+frac1lambda_4=0 $.