Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học

P(x) là điều kiện đầy đủ  để gồm Q(x)

Q(x) là điều kiện cần đề tất cả P(x)

Lúc đó (1) được điện thoại tư vấn là định lí thuận cùng khi đó hoàn toàn có thể gộp lại thành một định lí <""forall xin X,Q(x)Leftrightarrow P(x)"">, ta gọi là P(x) là điều kiện bắt buộc và đủ để có Q(x).

Ngoài ra còn nói “P(x) nếu và chỉ còn nếu Q(x)”, “P(x) khi và chỉ khi Q(x)”.

& 1. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Lời giải

Giả sử n không chia hết đến 3 lúc đó n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2, k

Với n = 3k + 1 ta bao gồm n3 = (3k +1)3 = 27k3 + 27k2 + 9k + 1 không phân chia hết đến 3 (mâu thuẫn)

Với n = 3k + 2 ta có n3 = (3k +2)3 = 27k3 + 54k2 + 36k + 4không phân tách hết mang lại 3 (mâu thuẫn)

Vậy n phân chia hết mang đến 3.

Lời giải

Ta có .

Giả sử phương trình đã cho vô nghiệm, nghĩa là Δ

Khi kia t tất cả 0,forall xin mathbbR>

Suy ra không tồn tại sao cho a.f() ≤ 0, trái với đưa thiết.

Vậy điều ta trả sử ngơi nghỉ trên là sai, tuyệt phương trình sẽ cho luôn luôn có nghiệm.

Lời giải

Giả sử tam giác ABC gồm AH vừa là đường trung tuyến vừa là mặt đường phân giác và không cân tại A.

Không mất tính bao quát xem như AC > AB Trên AC đem D làm sao cho AB = AD. Gọi L là giao điểm của BD và AH. Khi đó AB = AD, với AL chung yêu cầu ΔABL = ΔADL Do kia AL = LD tốt L là trung điểm của BD Suy ra LH là con đường trung bình của ΔCBD LH//DC điều này mâu thuẫn vì LH, DC cắt nhau tại A Vậy tam giác ABC cân nặng tại A.

& 2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1.12: Chứng minh bằng cách thức phản chứng: nếu phương trình bậc nhì : ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm thì a cùng c cùng dấu.

Hướng dẫn giải

Giả sử phương trình vô nghiệm cùng a, c trái dấu . Với đk a, c trái dấu ta gồm a.c 2 – 4ac = b2 + 4(-ac) > 0

Nên phương trình tất cả hai nghiệm phân biệt, điều này mâu thuẫn với trả thiết phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm thì a, c cần cùng dấu.

Bài 1.13: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng: nếu hai số nguyên dương tất cả tổng bình phương phân chia hết mang đến 3 thì cả hai số đó đề xuất chia hết đến 3.

Hướng dẫn giải

Giả sử trong nhì số nguyên dương a cùng b gồm ít nhất một số trong những không phân tách hết mang lại 3, ví dụ điển hình a không phân chia hết đến 3. Vậy thì a tất cả dạng a = 3k + 1 hoặc a = 3k + 2. Lúc đó a2 = 3m + 2, cần nếu b chia hết mang lại 3 hoặc b không phân chia hết mang đến 3 thì a2 + b2 cũng đều có dạng 3n + 1 hoặc 3n + 2, tức là a2 + b2 không chia hết mang lại 3, trái trả thiết. Vậy giả dụ a2 + b2 chia hết mang đến 3 thì cả a với b rất nhiều chia hết đến 3.

Bài 1.14: Chứng minh rằng: trường hợp độ dài các cạnh của tam giác thỏa mãn bất đẳng thức a2 + b2 > 5c2 thì c là dộ lâu năm cạnh nhỏ tuổi nhất của tam giác.

Hướng dẫn giải

Giả sử c chưa phải là cạnh bé dại nhất của tam giác.

Không mất tính tổng quát, mang sử a ≤ c a2 ≤ c2 (1)

Theo bất đẳng thức trong tam giác, ta có, b 2 2 (2).

Do a ≤ c ( a +c)2 ≤ 4c2 (3)

Từ (2) và (3) suy ra b2 ≤ 4c2  (4)

Cộng vế với vế (1) cùng (4) ta gồm a2 + b2 ≤ 5c2 mâu thuẫn với mang thiết

Vậy c là cạnh nhỏ tuổi nhất của tam giác.

Bài 1.15:  Cho a, b, c dương nhỏ hơn 1. Minh chứng rằng ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau sai frac14>, frac14>,frac14>

Hướng dẫn giải

Giả sử cả bố bất đẳng thức rất nhiều đúng.

Khi đó, nhân vế theo vế của những bất đẳng thức bên trên ta được:

left( frac14 ight)^3>hay frac164>(*)

Mặt không giống

Do 0

Tương tự thì

Nhân vế theo vế ta được (**)

Bất đẳng thức (**) xích míc với (*)

Vậy bao gồm ít nhất một trong những ba bất đẳng thức đã cho rằng sai. (đpcm)

Bài 1.16: Nếu a1a1 ≥ 2 (b1 + b2) thì ít nhất một trong những hai phương trình x2 + a1x + b1 = 0, x2 + a2x + b2 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Giả sử cả nhì phương trình bên trên vô nghiệm

Khi đó D­1 = a12 – 4b1 2 = a22 – 4b2

a12 – 4b1 + a22 – 4b2 12 + a22 1 + b2) (1)

Mà (a1 + a2)2 ≥ 0 a12 + a22 ≥ 2a1a2 (2)

Từ (1) cùng (2) suy ra 2a1a2 1 + b2) hay a1a2 1 + b2) trái giả thiết

Vậy phải bao gồm ít nhất một trong hai sô Δ1, Δ2 lớn hơn 0 cho nên vì thế ít nhất một trong những 2 phương trình x2 + a1x + b1 = 0, x2 + a2x + b2 = 0 có nghiệm.

Bài 1.17: Chứng minh rằng là số vô tỉ.

Hướng dẫn giải

Dễ dàng minh chứng được nếu như n2 là số chẵn thì n là số chẵn.

Giả sử là số hữu tỉ, tức là , trong số ấy m, n , (m, n) = 1

Từ m2 = 2n2m2 là số chẵn

m là số chẵn m = 2k, k

Từ m2 = 2n24k2 = 2n2 n2 = 2k2n2 là số chẵn n là số chẵn

Do kia m chẵn, n chẵn mâu thuẫn với (m, n) = 1.

Vậy là số vô tỉ.

Bài 1.18: Cho các số a, b, c thỏa mãn các điều kiện: 

a+b+c>0(1)

ab+bc+ca>0(2)

abc>0(3) 

Chứng minh rằng cả cha số a, b, c đông đảo dương.

Hướng dẫn giải

Giả sử cả tía số a, b, c không bên cạnh đó là số dương. Vậy gồm ít nhất một vài không dương.

Do a, b, c có vai trò bình đẳng bắt buộc ta có thể giả sử a: ≤ 0

+ nếu a = 0 mâu thuẫn với (3)

+ giả dụ a

Ta có (2) a(b +c) > -bc a(b +c) > 0

b + c

Vậy cả tía số a, b, c hầu hết dương.

Bài 1.19: Chứng minh bằng phản bệnh định lí sau: “Nếu tam giác ABC có những đường phân giác trong BE, CF đều bằng nhau thì tam giác ABC cân”.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác BCE cùng CBF, ta thấy: BC chung, BE = CF, BF > CE buộc phải widehatB_1Rightarrow widehatC>widehatB>. Mâu thuẫn Trường phù hợp widehatB>, minh chứng hoàn toàn giống như như trên. Do kia . Vậy tam giác ABC cân nặng tại A.

Bài 1.20: Cho 7 đoạn thẳng tất cả độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100. Chứng tỏ rằng luôn tìm được 3 đoạn để hoàn toàn có thể ghép thành một tam giác.

Hướng dẫn giải

Trước hết sắp đến xếp những đoạn đã đến theo vật dụng tự tăng đột biến của độ nhiều năm a1, a2,…,a7 và chứng tỏ rằng trong dãy đã sắp xếp luôn tìm kiếm được 3 đoạn liên tiếp làm thế nào cho tổng của 2 đoạn đầu hớn rộng đoạn cuối (vì điều kiện để 3 đoạn hoàn toàn có thể ghép thành một tam giác là tổng của nhị đoạn lớn hơn đoạn lắp thêm 3).

Giả sử điều kiện cần chứng minh là ko xảy ra, nghĩa là mặt khác xảy ra những bất đẳng thức sau: a1 + a2 ≤ a3; a2 + a3 ≤ a4;…; a5 + a6 ≤ a7.

Từ giả thiết a1, a2 có giá trị lớn hơn 10, ta nhận ra a3 > 20. Trường đoản cú a2 >10 với a3 > trăng tròn ta nhận ra a4  >30, a5 > 50, a6  > 80 cùng a7 > 130. Điều a7 > 130 là mâu thuẫn với giả thiết các độ dài bé dại hơn 100. Có xích míc này là vì giả sử điều cần chứng tỏ không xảy ra.

Vậy, luôn luôn tồn tại 3 đoạn liên tiếp làm thế nào cho tổng của 2 đoạn đầu hớn hơn đoạn cuối. Hay có thể nói là 3 đoạn này có thể ghép thành một tam giác.

& 1. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Lời giải

Điều kiện nên và đầy đủ để n phân chia hết cho 5 là n5 phân tách hết đến 5.

Lời giải

Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần nhằm chúng bằng nhau.

Số nguyên dương phân chia hết mang lại 3 là điều kiện cần để nó phân chia hết mang lại 6

Hình thang cân là đk cần nhằm nó gồm hai đường chéo cánh bằng nhau

Tam giác ABC tất cả AB2 = BC.AH là đk cần nhằm nó vuông trên A với AH là đường cao.

& 2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1.21: Phát biểu những định lí sau đây bằng phương pháp sử dụng có mang “Điều khiếu nại cần” và “Điều kiện đủ”

Hướng dẫn giải

Trong phương diện phẳng, hai tuyến phố thẳng tuy vậy song cùng nhau là điều kiện cần để hai đường thẳng đó thuộc vuông góc với mặt đường thẳng thiết bị 3.

Số nguyên dương phân tách hết cho 5 là đk cần để sở hữu chữ số tận cùng là 5.

Tứ giác bao gồm hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện cần nhằm nó là hình thoi.

Hai tam giác có các góc tương ứng bằng nhau là điều kiện cần nhằm chúng bằng nhau.

Số nguyên dương a phân tách hết đến 4 với 6 là đk cần nhằm nó phân chia hết cho 24.

Bài 1.22: Dùng thuật ngữ đk cần và đủ để phát biểu những thuật ngữ sau