TÓM TẮT LÍ THUYẾTĐịnh lí và chứng minh định lí:Trong Toán học, định lí là một mệnh đề đúng. Các định lí được phân phát biểu dưới dạng: <""forall xin X,P(x)Rightarrow Q(x)"">, P(x), Q(x) là các mệnh đề chứa biếnCó 2 phương pháp để chứng minh định lí bên dưới dạng trên

Cách 1: chứng minh trực tiếp gồm các bước sau:

Lấy x X ngẫu nhiên mà P(x) đúng.Chứng minh Q(x) đúng bằng suy luận và kiến thức và kỹ năng Toán học vẫn biết.

Bạn đang xem: Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học

Cách 2: minh chứng bằng làm phản định lí gồm công việc sau:

Giả sử mãi mãi sao cho P(x0) và đúng là Q(x0) sai dùng suy luận và các kiến thức toán học để đi mang đến mâu thuẫn.Định lí đảo, đk cần, điều kiện đủ, điều kiện cần cùng đủ:Cho định lí dưới dạng <""forall xin X,P(x)Rightarrow Q(x)""> (1). Khi đó

P(x) là điều kiện đầy đủ  để gồm Q(x)

Q(x) là điều kiện cần đề tất cả P(x)

Mệnh đề <""forall xin X,Q(x)Rightarrow P(x)""> đúng thì được gọi là định lí đảo của định lí dạng (1)

Lúc đó (1) được điện thoại tư vấn là định lí thuận cùng khi đó hoàn toàn có thể gộp lại thành một định lí <""forall xin X,Q(x)Leftrightarrow P(x)"">, ta gọi là P(x) là điều kiện bắt buộc và đủ để có Q(x).

Ngoài ra còn nói “P(x) nếu và chỉ còn nếu Q(x)”, “P(x) khi và chỉ khi Q(x)”.

CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG

& 1. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: chứng minh rằng với tất cả số thoải mái và tự nhiên n, n3 phân tách hết cho 3 thì n phân chia hết mang lại 3

Lời giải

Giả sử n không chia hết đến 3 lúc đó n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2, k

Với n = 3k + 1 ta bao gồm n3 = (3k +1)3 = 27k3 + 27k2 + 9k + 1 không phân chia hết đến 3 (mâu thuẫn)

Với n = 3k + 2 ta có n3 = (3k +2)3 = 27k3 + 54k2 + 36k + 4không phân tách hết mang lại 3 (mâu thuẫn)

Vậy n phân chia hết mang đến 3.

Ví dụ 2: Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c, a< e >0. Minh chứng rằng giả dụ tồn trên số thực sao đến a.f() ≤ 0 thì phương trình f(x) = 0 luôn luôn có nghiệm.

Lời giải

Ta có .

Giả sử phương trình đã cho vô nghiệm, nghĩa là Δ

Khi kia t tất cả 0,forall xin mathbbR>

Suy ra không tồn tại sao cho a.f() ≤ 0, trái với đưa thiết.

Vậy điều ta trả sử ngơi nghỉ trên là sai, tuyệt phương trình sẽ cho luôn luôn có nghiệm.

Ví dụ 3: chứng tỏ rằng một tam giác có đường trung tuyến vừa là phân giác xuất phản xuất phát từ một đỉnh là tam giác cân nặng tại đỉnh đó.

 

Lời giải

Giả sử tam giác ABC gồm AH vừa là đường trung tuyến vừa là mặt đường phân giác và không cân tại A.

Không mất tính bao quát xem như AC > AB

*
Trên AC đem D làm sao cho AB = AD.

Gọi L là giao điểm của BD và AH.

Khi đó AB = AD, với AL chung yêu cầu ΔABL = ΔADL

Do kia AL = LD tốt L là trung điểm của BD

Suy ra LH là con đường trung bình của ΔCBD

LH//DC điều này mâu thuẫn vì LH, DC cắt nhau tại A

Vậy tam giác ABC cân nặng tại A.

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

& 2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1.12: Chứng minh bằng cách thức phản chứng: nếu phương trình bậc nhì : ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm thì a cùng c cùng dấu.

Hướng dẫn giải

Giả sử phương trình vô nghiệm cùng a, c trái dấu . Với đk a, c trái dấu ta gồm a.c 2 – 4ac = b2 + 4(-ac) > 0

Nên phương trình tất cả hai nghiệm phân biệt, điều này mâu thuẫn với trả thiết phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm thì a, c cần cùng dấu.

Bài 1.13: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng: nếu hai số nguyên dương tất cả tổng bình phương phân chia hết mang đến 3 thì cả hai số đó đề xuất chia hết đến 3.

Hướng dẫn giải

Giả sử trong nhì số nguyên dương a cùng b gồm ít nhất một số trong những không phân tách hết mang lại 3, ví dụ điển hình a không phân chia hết đến 3. Vậy thì a tất cả dạng a = 3k + 1 hoặc a = 3k + 2. Lúc đó a2 = 3m + 2, cần nếu b chia hết mang lại 3 hoặc b không phân chia hết mang đến 3 thì a2 + b2 cũng đều có dạng 3n + 1 hoặc 3n + 2, tức là a2 + b2 không chia hết mang lại 3, trái trả thiết. Vậy giả dụ a2 + b2 chia hết mang đến 3 thì cả a với b rất nhiều chia hết đến 3.

Bài 1.14: Chứng minh rằng: trường hợp độ dài các cạnh của tam giác thỏa mãn bất đẳng thức a2 + b2 > 5c2 thì c là dộ lâu năm cạnh nhỏ tuổi nhất của tam giác.

Hướng dẫn giải

Giả sử c chưa phải là cạnh bé dại nhất của tam giác.

Không mất tính tổng quát, mang sử a ≤ c a2 ≤ c2 (1)

Theo bất đẳng thức trong tam giác, ta có, b 2 2 (2).

Do a ≤ c ( a +c)2 ≤ 4c2 (3)

Từ (2) và (3) suy ra b2 ≤ 4c2  (4)

Cộng vế với vế (1) cùng (4) ta gồm a2 + b2 ≤ 5c2 mâu thuẫn với mang thiết

Vậy c là cạnh nhỏ tuổi nhất của tam giác.

Bài 1.15:  Cho a, b, c dương nhỏ hơn 1. Minh chứng rằng ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau sai frac14>, frac14>,frac14>

Hướng dẫn giải

Giả sử cả bố bất đẳng thức rất nhiều đúng.

Khi đó, nhân vế theo vế của những bất đẳng thức bên trên ta được:

left( frac14 ight)^3>hay frac164>(*)

Mặt không giống

Do 0

Tương tự thì

Nhân vế theo vế ta được (**)

Bất đẳng thức (**) xích míc với (*)

Vậy bao gồm ít nhất một trong những ba bất đẳng thức đã cho rằng sai. (đpcm)

Bài 1.16: Nếu a1a1 ≥ 2 (b1 + b2) thì ít nhất một trong những hai phương trình x2 + a1x + b1 = 0, x2 + a2x + b2 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Giả sử cả nhì phương trình bên trên vô nghiệm

Khi đó D­1 = a12 – 4b1 2 = a22 – 4b2

a12 – 4b1 + a22 – 4b2 12 + a22 1 + b2) (1)

Mà (a1 + a2)2 ≥ 0 a12 + a22 ≥ 2a1a2 (2)

Từ (1) cùng (2) suy ra 2a1a2 1 + b2) hay a1a2 1 + b2) trái giả thiết

Vậy phải bao gồm ít nhất một trong hai sô Δ1, Δ2 lớn hơn 0 cho nên vì thế ít nhất một trong những 2 phương trình x2 + a1x + b1 = 0, x2 + a2x + b2 = 0 có nghiệm.

Bài 1.17: Chứng minh rằng là số vô tỉ.

Hướng dẫn giải

Dễ dàng minh chứng được nếu như n2 là số chẵn thì n là số chẵn.

Giả sử là số hữu tỉ, tức là , trong số ấy m, n , (m, n) = 1

Từ m2 = 2n2m2 là số chẵn

m là số chẵn m = 2k, k

Từ m2 = 2n24k2 = 2n2 n2 = 2k2n2 là số chẵn n là số chẵn

Do kia m chẵn, n chẵn mâu thuẫn với (m, n) = 1.

Vậy là số vô tỉ.

Bài 1.18: Cho các số a, b, c thỏa mãn các điều kiện: 

a+b+c>0(1)

ab+bc+ca>0(2)

abc>0(3) 

Chứng minh rằng cả cha số a, b, c đông đảo dương.

Hướng dẫn giải

Giả sử cả tía số a, b, c không bên cạnh đó là số dương. Vậy gồm ít nhất một vài không dương.

Do a, b, c có vai trò bình đẳng bắt buộc ta có thể giả sử a: ≤ 0

+ nếu a = 0 mâu thuẫn với (3)

+ giả dụ a

Ta có (2) a(b +c) > -bc a(b +c) > 0

b + c

Vậy cả tía số a, b, c hầu hết dương.

Bài 1.19: Chứng minh bằng phản bệnh định lí sau: “Nếu tam giác ABC có những đường phân giác trong BE, CF đều bằng nhau thì tam giác ABC cân”.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác BCE cùng CBF, ta thấy:

BC chung, BE = CF, BF > CE buộc phải widehatB_1Rightarrow widehatC>widehatB>. Mâu thuẫn

Trường phù hợp widehatB>, minh chứng hoàn toàn giống như như trên.

Do kia . Vậy tam giác ABC cân nặng tại A.

*

 

Bài 1.20: Cho 7 đoạn thẳng tất cả độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100. Chứng tỏ rằng luôn tìm được 3 đoạn để hoàn toàn có thể ghép thành một tam giác.

Hướng dẫn giải

Trước hết sắp đến xếp những đoạn đã đến theo vật dụng tự tăng đột biến của độ nhiều năm a1, a2,…,a7 và chứng tỏ rằng trong dãy đã sắp xếp luôn tìm kiếm được 3 đoạn liên tiếp làm thế nào cho tổng của 2 đoạn đầu hớn rộng đoạn cuối (vì điều kiện để 3 đoạn hoàn toàn có thể ghép thành một tam giác là tổng của nhị đoạn lớn hơn đoạn lắp thêm 3).

Giả sử điều kiện cần chứng minh là ko xảy ra, nghĩa là mặt khác xảy ra những bất đẳng thức sau: a1 + a2 ≤ a3; a2 + a3 ≤ a4;…; a5 + a6 ≤ a7.

Từ giả thiết a1, a2 có giá trị lớn hơn 10, ta nhận ra a3 > 20. Trường đoản cú a2 >10 với a3 > trăng tròn ta nhận ra a4  >30, a5 > 50, a6  > 80 cùng a7 > 130. Điều a7 > 130 là mâu thuẫn với giả thiết các độ dài bé dại hơn 100. Có xích míc này là vì giả sử điều cần chứng tỏ không xảy ra.

Vậy, luôn luôn tồn tại 3 đoạn liên tiếp làm thế nào cho tổng của 2 đoạn đầu hớn hơn đoạn cuối. Hay có thể nói là 3 đoạn này có thể ghép thành một tam giác.

DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG THUẬT TOÁN ĐIỀU KIỆN CẦN, ĐIỀU KIỆN ĐỦ, ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ

& 1. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho định lí: “Cho số thoải mái và tự nhiên n, nếu như n5 phân chia hết cho 5 thì n phân chia hết cho 5”. Định lí này được viết theo dạng p. Q.

Hãy xác định các mệnh đề p. Và Q.Phát biểu định lí trên bằng cách dung thuật ngữ “điều khiếu nại cần”.Phát biểu định lí trên bằng phương pháp dung thuật ngữ “điều kiện đủ”.Hãy tuyên bố định lí đảo (nếu có) của định lí trên rồi dung các thuật ngữ “điều kiện bắt buộc và đủ” nhằm gộp cả hai định lí thuận cùng đảo.

Lời giải

P: “n là số trường đoản cú nhiên, n5 phân chia hết mang lại 5”, Q: “n chia hết cho 5”.Với n là số từ nhiên, n phân chia hết mang lại 5 là đk cần đề n5 chia hết đến 5; hoặc phạt biểu các khác : cùng với n là số từ nhiên, điều kiện cần đề n5 phân tách hết cho 5 là n chia hết đến 5.Với n là số trường đoản cú nhiên, n5 phân tách hết mang lại 5 là điều kiện đủ nhằm n phân tách hết mang lại 5.Định lí đảo: “Cho số thoải mái và tự nhiên n, giả dụ n chia hết mang lại 5 thì n5 phân chia hết cho 5”.Thật vậy giả dụ n = 5k thì n5 = 55.k5: số này chia hết mang đến 5.

Điều kiện nên và đầy đủ để n phân chia hết cho 5 là n5 phân tách hết đến 5.

Ví dụ 2: Phát biểu các mệnh đề sau cùng với thuật ngữ “Điều kiện cần”, “Điều kiện đủ”

Nếu nhì tam giác cân nhau thì chúng có diện tích bằng nhauNếu số nguyên dương chia hết cho 6 thì phân tách hết đến 3Nếu hình thang tất cả hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cânNếu tam giác ABC vuông tại A cùng AH là mặt đường cao thì AB2 = BC.AH

Lời giải

Hai tam giác cân nhau là điều kiện đủ để bọn chúng có diện tích bằng nhau

Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần nhằm chúng bằng nhau.

Số nguyên dương chia hết đến 6 là điều kiện đủ để nó phân tách hết cho 3

Số nguyên dương phân chia hết mang lại 3 là điều kiện cần để nó phân chia hết mang lại 6

Hình thang gồm hai đường chéo cánh bằng nhau là đk đủ để nó là hình thang cân

Hình thang cân là đk cần nhằm nó gồm hai đường chéo cánh bằng nhau

Tam giác ABC vuông trên A cùng AH là đường cao là điều kiện đủ để AB2 = BC.AH

Tam giác ABC tất cả AB2 = BC.AH là đk cần nhằm nó vuông trên A với AH là đường cao.

& 2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1.21: Phát biểu những định lí sau đây bằng phương pháp sử dụng có mang “Điều khiếu nại cần” và “Điều kiện đủ”

Nếu trong phương diện phẳng, hai tuyến đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng sản phẩm công nghệ 3 thì hai tuyến phố thẳng đó tuy vậy song với nhau.Nếu số nguyên dương bao gồm chữ số tận thuộc là 5 thì phân chia hết cho 5.Nếu tứ giác là hình thoi thì nhị đường chéo cánh vuông góc với nhau.Nếu hai tam giác đều bằng nhau thì bọn chúng có các góc tương ứng bằng nhau.Nếu số nguyên dương a phân tách hết mang đến 24 thì chia hết mang đến 4 và 6.

Hướng dẫn giải

Trong khía cạnh phẳng, hai đường thẳng thuộc vuông góc với đường thẳng đồ vật 3 là điều kiện đủ để hai tuyến phố thẳng đó song song với nhau

Trong phương diện phẳng, hai tuyến phố thẳng tuy vậy song cùng nhau là điều kiện cần để hai đường thẳng đó thuộc vuông góc với mặt đường thẳng thiết bị 3.

Số nguyên dương tất cả chữ số tận cùng là 5 là đk đủ để phân tách hết mang lại 5.

Số nguyên dương phân tách hết cho 5 là đk cần để sở hữu chữ số tận cùng là 5.

Tứ giác là hình thoi là đk đủ để hai đường chéo cánh vuông góc với nhau.

Tứ giác bao gồm hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện cần nhằm nó là hình thoi.

Hai tam giác cân nhau là đk đủ để bọn chúng có những góc tương ứng bằng nhau.

Hai tam giác có các góc tương ứng bằng nhau là điều kiện cần nhằm chúng bằng nhau.

Số nguyên dương a phân tách hết mang đến 24 là điều kiện đủ để nó phân tách hết đến 4 cùng 6.

Số nguyên dương a phân tách hết đến 4 với 6 là đk cần nhằm nó phân chia hết cho 24.

Bài 1.22: Dùng thuật ngữ đk cần và đủ để phát biểu những thuật ngữ sau

Một tam giác là tam giác cân, nếu và chỉ còn nếu nó bao gồm hai góc bởi nhauTứ giác là hình bình hành khi còn chỉ khi tứ giác bao gồm hai đường chéo cắt nhau trên trung điểm của từng đường.xge sqrt<3>y>Tứ giác MNPQ là hình bình hành khi và chỉ khi .

Hướng dẫn giải

Một tam giác là tam giác cân nặng là điều kiện cần và đủ nhằm nó gồm hai góc bằng nhauTứ giác là hình bình hành là đk cần với đủ để tứ giác gồm hai đường chéo cánh cắt nhau tại trung điểm của từng đường.là đk cần cùng đủ để xge sqrt<3>y>Điều kiện yêu cầu và đủ để tứ giác MNPQ là hình bình hành là .

Bài 1.23: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” nhằm phát biểu định lí sau:

“Nếu một tứ giác là hình vuông thì nó bao gồm bốn cạnh bởi nhau”.

Có định lí đảo của định lí bên trên không, vì sao?

“Nếu một tứ giác là hình thoi thì nó tất cả hai đường chéo cánh vuông góc”

Có định lí đảo của định lí trên không, do sao?

Hướng dẫn giải

Một tứ giác là hình vuông là đk đủ nhằm nó có 4 cạnh bởi nhau.

Một tứ giác bao gồm 4 cạnh đều nhau là đk cần để nó là hình vuông.

Không bao gồm định lí hòn đảo vì tứ giác tất cả 4 cạnh bởi nhau có thể là hình thoi.

Một tứ giác là hình thoi là điều kiện đủ để nó gồm hai đường chéo vuông góc

Một tứ giác gồm hai đường chéo cánh vuông góc là điều kiện cần nhằm nó là hình thoi.

Xem thêm: Cách Tìm Tọa Độ Trực Tâm H Của Tam Giác Abc Trong Khong Gian Oxyz

Không có định lí hòn đảo vì một tứ giác gồm hai đường chéo vuông góc có thể là hình vuông hoặc một đa giác bất kỳ có nhị đường chéo vuông góc.