Nội dung bài học để giúp đỡ các em cố được nhì khái niệm đặc trưng củaGiải tích 12 Chương 1 bài 2Cực đạiCực tiểu, với đó là đk cần và điều kiện đủ để hàm số gồm cực trị. Hình như là các ví dụ minh họa sẽ giúp đỡ các em hiện ra các khả năng giải bài xích tập liên quan đến rất trị của hàm số.

Bạn đang xem: Bài 2 cực trị của hàm số


1. Video bài giảng

2. Tóm tắt lý thuyết

2.1. Định nghĩa

2.2. Điều kiện yêu cầu và điều kiện đủ nhằm hàm số có cực trị

3. Qui tắc tìm cực trị

4. Bài tập minh hoạ

4.1. Dạng 1 tra cứu điểm cực trị của hàm số

4.2. Dạng 2 tìm tham số để hàm số thỏa mãn điều kiện

5. Rèn luyện bài 2 Toán 12

5.1. Trắc nghiệm cực trị của hàm số

5.2. Bài tập SGK và nâng cấp về hàm số

6. Hỏi đáp về cực trị của hàm số


Hàm số (f(x))đạt cực to tại (x_0)nếu(f(x_0)>f(x) forall xin (x_0-h,x_0+h) setminus left x_0 ight ,h>0)Hàm số (f(x))đạt rất tiểu tại x0nếu(f(x_0)0).
a) Điều kiện nên để hàm số bao gồm cực trị

(f(x))đạt cực trị tại (x_0), bao gồm đạo hàm trên (x_0)thì(f"(x_0)=0).

b) Điều khiếu nại đủ để hàm số bao gồm điểm cực to và rất tiểuĐiều kiện thứ nhất: cho hàm số(y=f(x))liên tục bên trên khoảng(K = (x_0 - h;x_0 + h),(h > 0))và tất cả đạo hàm trên K hoặc trên(Kackslash left x_0 ight\):Nếu
*
thìx0là điểm cực tiểu của hàm số(f(x)).Nếu
*
thìx0là điểm cực to của hàm số(f(x)).Cách phát biểu khác dễ hiểu hơn: Đi tự trái sang phảiNếu (f(x))đổi vết từ - quý phái + khi qua (x_0)thì(x_0)là điểm rất tiểu.Nếu (f(x))đổi vệt từ + quý phái - khi qua (x_0)thì(x_0)là điểm cực đại.Điều kiện trang bị hai:Cho hàm số (y=f(x))có đạo hàm cấp ba trên khoảng(K = (x_0 - h;x_0 + h),(h > 0)):Nếu(f"(x_0)=0),(f""(x_0)(x_0)là điểm cực to của hàm số(f(x)).Nếu(f"(x_0)=0),(f""(x_0)>0)thì(x_0)là điểm cực tiểu của hàm số(f(x)).

3. Qui tắc tìm cực trị


a) phép tắc 1

Tìm tập xác định.Tính (f"(x)). Tìm những điểm trên đó(f"(x)=0)hoặc (f"(x)) không xác định.Lập bảng vươn lên là thiên.Từ bảng biến hóa thiên suy ra các điểm cực đại, cực tiểu.

b) quy tắc 2

Tìm tập xác định.Tính (f"(x)). Tìm các nghiệm
*
của phương trình(f"(x)=0).Tính (f""(x)) với (f""(x_i))suy ra đặc điểm cực trị của những điểm
*
.

♦ Chú ý: nếu(f""(x_i)=0)thì ta phải dùng quytắc 1 để xét rất trị tại

*
.


Bài tập minh họa


4.1. Dạng 1: Tìm rất trị của hàm số


Tìm các điểm rất đại, rất tiểu của các hàm số sau:

a)(y = frac13x^3 - x^2 - 3x + frac43)

b)(y = left| x ight|left( x + 2 ight))

Lời giải:

a)(y = frac13x^3 - x^2 - 3x + frac43)

Cách 1:

Hàm số gồm TXĐ:(D=mathbbR)(y" = x^2 - 2x - 3)(y" = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = - 1\ x = 3 endarray ight.)Bảng biến hóa thiên:

*

Kết luận:Hàm số đạt cực to tại(x=-1), giá bán trị cực lớn tương ứng là(y(-1)=3);Hàm số đạt cực tiểu tại (x=3), quý giá cực tiểu tương ứng là (y_CD=-frac233).

Cách 2:

Hàm số tất cả TXĐ:(D=mathbbR)(y" = x^2 - 2x - 3)(y" = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = - 1\ x = 3 endarray ight.)(y ""= 2x - 2)(y""left( - 1 ight) = - 4 ​(y""left( 3 ight) = 4 > 0)suy ra hàm số đạt cực tiểu tại(x=3), giá trị cực tiểu tương ứng là(y_CD=-frac233).

Xem thêm: Vitamin B12 Có Vai Trò Của Vitamin B12 Đối Với Cơ Thể, Vai Trò Vitamin B12 Với Cơ Thể

b)(y = left| x ight|left( x + 2 ight))

Hàm số gồm TXĐ:(D=mathbbR)(y" = fracx x ightleft( x + 2 ight) + left| x ight| = frac2left( x^2 + x ight) (x e0))Bảng phát triển thành thiên:

*

Kết luận:Hàm số đạt cực lớn tại(x=-1,)giá trị cực to tương ứng là(y(-1)=1;)Hàm số đạt cực tiểu tại(x=0,)giá trị cực tiểu(y(0)=0.)

Tìm những điểm rất đại, cực tiểu của hàm số(y=x-sin2x+2.)

Lời giải:Hàm số gồm TXĐ:(D=mathbbR)(y" = 1 - 2cos 2x)(y"=0 Leftrightarrow cos2xLeftrightarrow x = pm fracpi 6 + kpi (kinmathbbZ))​(y"" = 4sin 2x)(y""left( fracpi 6 + kpi ight) = 4sin left( fracpi 3 + 2kpi ight) = 2sqrt 3 > 0)suy ra hàm số đạt cực tiểu tại(x = fracpi 6 + kpi), quý hiếm cực tiểu khớp ứng là(yleft( fracpi 6 + kpi ight) = extstylepi over 6 + kpi - fracsqrt 3 2 + 2).​(y""left( - fracpi 6 + kpi ight) = 4sin left( - fracpi 3 + 2kpi ight) = - 2sqrt 3
Ví dụ 3:

Tìm mđể hàm số (y = left( m + 2 ight)x^3 + 3x^2 + mx - 5) gồm 2 cực trị

Lời giải:Với m=-2 hàm số trở thành(y = 3x^2 - 2x - 5)không thể có hai rất trị. (1)Với(m e-2)ta có:(y" = 3left( m + 2 ight)x^2 + 6x + m)Hàm số có hai cực trị khi còn chỉ khi phương trình(y"=0)có nhị nghiệm phân biệt.Điều này xẩy ra khi:(Delta " = - 3left( m^2 + 2m - 3 ight) > 0 Leftrightarrow m^2 + 2m - 3 từ bỏ (1) (2) suy ra hàm số tất cả hai rất trị khi:(m in left( - 3; - 2 ight) cup left( - 2;1 ight))Ví dụ 4:

Tìm toàn bộ các giá trị thực của tham số m để hàm số(: y = -x^3 + (m+3)x^2 - (m^2 + 2m)x - 2)đạt cực lớn tại(x=2.)

Lời giải:Hàm số bao gồm tập xác định:(D=mathbbR).(y" = -3x^2 + 2(m+3)x-(m^2 + 2m);)Để hàm số gồm cực trị tại(x=2)thì:​(y"(2) = 0 Leftrightarrow - 12 + 4(m + 3) - m^2 - 2m = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl m = 0\ m = 2 endarray ight.)Ta có:(y"" = - 6x + 2(m + 3))Với(m=0)thì(y""(2)=-6Với(m=2)thì(y""(2)=-2Thứ lại với(m=0)và(m=2)hàm số hồ hết đạt cực lớn tại x=2.