plovdent.com xin reviews đến các quý thầy cô, những em học sinh đang trong quy trình ôn tập bộ bài xích tập Góc giữa đường thẳng cùng mặt phẳngToán lớp 12, tài liệu bao hàm 12 trang, tuyển chọn những bài tập Góc giữa con đường thẳng với mặt phẳng không hề thiếu lý thuyết, phương thức giải cụ thể và bài bác tập có lời giải, giúp những em học viên có thêm tài liệu tìm hiểu thêm trong quá trình ôn tập, củng cố kỹ năng và sẵn sàng cho kì thi giỏi nghiệp thpt môn Toán sắp tới tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật công dụng và đạt được tác dụng như ao ước đợi.
Bạn đang xem: Bài tập góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Tài liệu Góc giữa mặt đường thẳng với mặt phẳnggồm những nội dung chủ yếu sau:
I. Phương thức giải
- cầm tắt định hướng ngắn gọn;
- phương thức giải cụ thể từng dạng bài tập.
II. Một vài ví dụ/ lấy ví dụ như minh họa
- gồm 4 dạng bài xích tập cùng 16 ví dụ minh họa đa dạng mẫu mã của các dạng bài tập trên có lời giải chi tiết.
Mời những quý thầy cô và những em học viên cùng tìm hiểu thêm và cài đặt về cụ thể tài liệu bên dưới đây:
Góc giữa con đường thẳng và mặt phẳng
I. Cách thức giải
Định nghĩa: Nếu mặt đường thẳng a vuông góc với phương diện phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa mặt đường thẳng a và mặt phẳng (P) bởi (hình 1).
Nếu mặt đường thẳng a ko vuông góc với khía cạnh phẳng (P) thì góc giữa a cùng hình chiếu của nó trên (P) được hotline là góc giữa đường thẳng a với mặt phẳng (P) (hình 2).
Chú ý: Góc giữa con đường thẳng với mặt phẳng không vượt quá 90°.
■ cách thức giải:
Sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng với mặt phẳng.
Cách search hình chiếu a"của a xung quanh phẳng (P) ta có thể làm như sau:
Tìm giao điểmM=a∩P.
Tìm một điểm A tùy ý trên phố thẳng a A≠M và khẳng định hình chiếu vuông góc H của A cùng bề mặt phẳng (P). Lúc đó, là con đường thẳng đi qua hai điểm A và M. Ta gồm β=a;P^=AMH^.
Xét tam giác vuông AMH ta có: cosβ=HMAMtanβ=AHMHsinβ=AHAM=dA;PAM
(trong đó dA;Plà khoảng cách từ điểm A mang đến mặt phẳng (P)).
II. Lấy một ví dụ minh họa
- Dạng 1: Góc giữa lân cận và mặt đáy
Tìm góc giữa lân cận SA và dưới đáy (ABC)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S xung quanh phẳng đáy (ABC).
Như vậy HA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC).
VậySA;ABC^=SA;HA^=SAH^.
Ví dụ 1: cho hình chóp S.ABC bao gồm đáy ABC là tam giác vuông trên B, có . Biết , SB tạo thành với lòng một góc với M là trung điểm của BC. a) Tính cosin góc thân SC với mặt phẳng (ABC). b) Tính cosin góc thân SM với mặt phẳng (ABC). |
Lời giải
a) DoSA⊥ABC⇒SB;ABC^=SBA^=60°.
Do đóSA=ABtanSBA^=atan60°=a3.
Ta có:AC=AB2+BC2=2a;SC;ABC^=SCA^.
Khi đó:cosSCA^=ACSC=ACSA2+AC2=2a3a2+4a2=27.
b) DoSA⊥ABC⇒SM;ABC^=SMA^=φ.
Ta có:AM=AB2+BM2=a2+a322=a72.
Khi đócosφ=AMSM=AMSA2+AM2=13319.
Ví dụ 2: mang đến hình chóp S.ABCD, lòng là hình chữ nhật có a) Tính góc thân SB, SC và mặt phẳng (ABCD). b) hotline I là trung điểm của BC. Tính tung góc thân SI cùng mặt phẳng (ABCD). |
Lời giải
a) gọi H là trung điểm của AB ta có:
Mặt khác
<eginarraylleft{ eginarraylleft( SAB ight) ot left( ABCD ight)\AB = left( SAB ight) cap left( ABCD ight)endarray ight.\ Rightarrow SH ot left( ABCD ight).endarray>
Tam giác SAB phần đa cạnh 2a cần
Do
b) Ta có:
<eginarraylHI = sqrt HB^2 + BI^2 \ = sqrt a^2 + left( fraca2 ight)^2 = fracasqrt 5 2.endarray>
Mặt không giống
Ví dụ 3: cho hình chóp S.ABCD, có đáy là nửa lục giác những cạnh a, a) Tính cosin góc chế tạo bởi những cạnh SC, SD và mặt đáy (ABCD). b) hotline I là trung điểm của CD, tính rã góc tạo bởi SI và mặt phẳng (ABCD). |
Lời giải
a) gọi O là trung điểm của AD < Rightarrow > OABC là hình thoi cạnh a < Rightarrow co = a = frac12AD Rightarrow Delta ACD> vuông tại C.
Do
Do kia
<eginarraylAC = sqrt AD^2 - CD^2 = asqrt 3 \ Rightarrow cos widehat left( SC;left( ABC ight) ight) = cos widehat SCAendarray>
<eginarrayl = fracACSC = fracACsqrt SA^2 + AC^2 \ = fracasqrt 3 sqrt a^2 + 3a^2 = fracsqrt 3 2.endarray>
<eginarraylcos left( widehat SD;left( ABCD ight) ight) = cos widehat SDA\ = fracADsqrt SA^2 + AD^2 = frac2sqrt 5 .endarray>
b) Ta có:
<eginarraylAI = sqrt AC^2 + CI^2 \ = sqrt 3a^2 + left( fraca2 ight)^2 = fracasqrt 13 2.endarray>
Do đó
<eginarrayl an widehat left( SI;left( ABCD ight) ight) = an widehat SIA\ = fracSAAI = frac2sqrt 13 .endarray>
Dạng 2: Góc giữa cạnh bên và khía cạnh phẳng chứa đường cao
Tìm góc giữa bên cạnh SB cùng mặt phẳng (SHA) cùng với
Dựng
Suy ra K là hình chiếu vuông góc của B cùng bề mặt phẳng (SAH).
Vậy
Ví dụ 1: mang đến hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tất cả Biết SC sản xuất với đáy một góc <60^circ >. Tính cosin góc sản xuất bởi: a) SC cùng mặt phẳng (SAB); SC với mặt phẳng (SAD). b) SD với mặt phẳng (SAC). |
Lời giải
Do
Lại có:
<eginarraylAC = sqrt AB^2 + AD^2 = 2a\ Rightarrow SA = AC an 60^circ = 2asqrt 3 .endarray>
Khi đó
Do
Mặt khác
Tương từ
Ví dụ 2: cho hình chóp S.ABCD tất cả đáy là hình thoi tâm O cạnh a, Biết SC chế tạo ra với đáy một góc <60^circ >. Tính rã góc tạo bởi: a) SC và mặt phẳng (SAB). b) SD cùng mặt phẳng (SAC). |
Lời giải
a) Ta có:
Xét tam giác vuông OAB ta có:
< Rightarrow widehat OAB = 60^circ Rightarrow Delta ABC> số đông cạnh a.
Mặt khác
<eginarraylSA ot left( ABCD ight)\ Rightarrow widehat left( SC;left( ABCD ight) ight) = widehat SCA = 60^circ .endarray>
Suy ra
Dựng
< Rightarrow widehat left( SC;left( SAB ight) ight) = widehat CSH.>
Do
Ta có:
Do đó < an widehat CSH = fracsqrt 3 sqrt 13 = fracsqrt 39 13.>
b) Ta có:
Trong đó
<eginarraylOD = fracasqrt 3 2;\SO = sqrt SA^2 + OA^2 = fracasqrt 13 2\ Rightarrow an widehat DSO = fracsqrt 39 13.endarray>
Ví dụ 3: đến hình chóp S.ABCD bao gồm đáy là hình chữ nhật ABCD, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên dưới đáy là điểm H trực thuộc cạnh AB làm sao để cho a) SA cùng mặt phẳng (SHD). b) SB và mặt phẳng (SHC). |
Lời giải
a) Ta có:
<eginarraylAH = 1,HB = 2\ Rightarrow left{ eginarraylSA = sqrt SH^2 + AH^2 = sqrt 5 \SB = sqrt SH^2 + HB^2 = 2sqrt 2 endarray ight.endarray>
Dựng
<eginarraylAE ot DH Rightarrow AE ot left( SHD ight)\ Rightarrow widehat left( SA;left( SHD ight) ight) m = widehat mASEendarray>
Mặt không giống
Suy ra < an widehat mASE = fracAESA = frac6sqrt 185 .>
b) Dựng
Khi đó
Ta có: < an widehat left( SB;left( SHC ight) ight) = an widehat BSF = fracBFSB = frac3sqrt 5 10.>
Ví dụ 4: cho hình lăng trụ |
Ta có:
<eginarraylAC = sqrt AB^2 + BC^2 = 4a\ Rightarrow OA = 2a = OC.endarray>
Do
< Rightarrow A"O = OA an 60^circ = 2asqrt 3 >
Dựng
< Rightarrow widehat left( A"C;left( A"BD ight) ight) = widehat CA"H.>
Ta có:
Suy ra
<eginarraylcos widehat CA"H = fracA"HA"C = fracsqrt A"C^2 - HC^2 A"C\ = fracsqrt 16a^2 - 3a^2 4a = fracsqrt 13 4.endarray>
Ví dụ 5: cho hình lăng trụ đứng |
Lời giải
Dựng
Do
<eginarraylleft{ eginarraylCH ot AB\CH ot AA"endarray ight. Rightarrow CH ot left( ABB"A" ight)\ Rightarrow widehat left( A"C;left( ABB"A" ight) ight) = widehat CA"H.endarray>
Lại có:
Do kia < an widehat CA"H = fracCHA"H = 1 Rightarrow widehat CA"H = 45^circ .>
Vậy
Tìm góc giữa mặt đường cao SH và mặt phẳng (SAB).
Dựng
Ta có:
Mặt không giống
Vậy
Ví dụ 1: mang lại hình chóp S.ABC, tất cả đáy ABC là tam giác các cạnh 2a. Kề bên |
Lời giải
Từ A kẻ AK vuông góc cùng với BC tại K.
Ta tất cả :
Kẻ
Suy ra
Tam giác SAK vuông tại A, có
< Rightarrow > tam giác SAK vuông cân nặng tại A đề nghị
Vậy
Ví dụ 2: đến hình chóp S.ABCD tất cả đáy là hình chữ nhật tất cả |
Lời giải
Do
Dựng
< Rightarrow > M là hình chiếu vuông góc của A bên trên (SBC).
Khi đó:
Do kia < an alpha = fracABSA = frac12.>
Tương từ ta có:
Dựng
Mặt không giống
<eginarraylAF ot SE Rightarrow AF ot left( SBD ight)\ Rightarrow widehat left( SA;left( SBD ight) ight) = widehat ASF = widehat ASE.endarray>
Khi kia < an widehat ASE = fracAESA>, vào đó
<eginarraylAE = fracAB.ADsqrt AB^2 + AD^2 = frac2asqrt 5 \ Rightarrow an widehat ASE = fracAESA = frac1sqrt 5 .endarray>
Ví dụ 3: mang đến hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B bao gồm |
Lời giải
Ta có:
Do
Suy ra
Dựng
Do kia
Suy ra
Ta có: < an widehat ASB = fracABSA = fracaasqrt 6 = frac1sqrt 6 .>
Gọi I là trung điểm của AD < Rightarrow > ABCI là hình vuông cạnh a < Rightarrow CI = fracAD2 = a Rightarrow Delta ACD> vuông tại C.
Khi đó
Dựng
Ta có: < an widehat ASC = fracACSA = fracasqrt 2 asqrt 6 = frac1sqrt 3 .>
Dựng
Mặt khác
<eginarraylAE = fracAB.ADsqrt AB^2 + AD^2 = frac2asqrt 5 \ Rightarrow an widehat ASE = fracAESA = fracsqrt 30 15.endarray>Ví dụ 4: đến hình chóp S.ABCD, gồm đáy là nửa lục giác đều cạnh a, a) Tính tan góc tạo bởi SA cùng (SBC). b) Tính góc tạo do SA cùng (SCD). |
Lời giải
a) call O là trung điểm của AD < Rightarrow > OABC là hình thoi cạnh a < Rightarrow co = a = frac12AD Rightarrow Delta ACD> vuông tại C.
Do
< Rightarrow SA = AB an 60^circ = asqrt 3 >,
Dựng
< Rightarrow widehat left( SA;left( SBC ight) ight) = widehat ASF = widehat ASE.>
Do
Mặt không giống
Suy ra < an widehat left( SA;left( SBC ight) ight) = an widehat ASE = fracAESA = frac12.>
b) vì chưng
Dựng
Khi đó
Ta có: < an varphi = fracACSA = fracasqrt 3 asqrt 3 = 1 Rightarrow varphi = 45^circ .>
VậyVí dụ 5: đến hình lăng trụ |
Lời giải
Dựng
<eginarraylBC ot HF Rightarrow HF ot left( B"BCC" ight)\ Rightarrow widehat left( B"H;left( BCC"B" ight) ight)endarray>
< = widehat HB"F = widehat HB"E.>
Ta có:
Tính góc giữa ở bên cạnh SC với mặt phẳng (SAB). Đặt
Ta bao gồm công thức:
Từ đó suy ra các giá trị
Ví dụ 1: đến hình chóp S.ABCD gồm đáy ABCD là hình chữ nhật bao gồm a) SA và mặt phẳng (SBC). b) SD và mặt phẳng (SAC). |
Lời giải
Gọi H là trung điểm của AD ta có:
Lại có:
Ta có:
Do
< Rightarrow widehat left( SB;left( ABCD ight) ight) = widehat SBH = 30^circ >
Suy ra
a) bởi vì
Do vậy
Dựng
< Rightarrow dleft( H;left( SBC ight) ight) = HF = dleft( A;left( SBC ight) ight).>
Ta có:
Mặt khác:
<eginarraylfrac1HF^2 = frac1SH^2 + frac1HE^2 Rightarrow HF = fracasqrt 6 3\ Rightarrow sin widehat left( SA;left( SBC ight) ight) = fracdleft( A;left( SBC ight) ight)SA = fracsqrt 3 3.endarray>
b) Dựng
Dựng
Do
< Rightarrow dleft( D;left( SAC ight) ight) = 2dleft( H;left( SAC ight) ight) = 2HI>
Dựng
< Rightarrow HI = fracHN.SHsqrt HN^2 + SH^2 = fraca2 Rightarrow dleft( D;left( SAC ight) ight) = a.>
Ta có:Ví dụ 2: mang đến hình chóp S.ABCD gồm đáy là hình chữ nhật ABCD gồm |
Lời giải
Gọi O là trung điểm của BD ta có:
Ta có:
Dựng
Ta có:
< Rightarrow OF = fracSH.OEsqrt SH^2 + OE^2 = asqrt frac37 = fracasqrt 21 7>
Suy ra
Mặt khác
Ví dụ 3: mang lại hình lăng trụ |