Phương trình lôgarit là phương trình tất cả chứa ẩn số vào biểu thức dưới dấu lôgarit.

Bạn đang xem: Bài tập logarit

2. Phương trình lôgarit cơ bản

• loga x = b ⇔ x = ab (0 a f(x) = loga g(x) 

*

3. Các bước giải phương trình logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số

* bước 1. Tìm điều kiện của phương trình (nếu có).

* bước 2. áp dụng định nghĩa với các tính chất của lôgarit để đưa các lôgarit có mặt trong phương trình về cùng cơ số.

* cách 3.Biến thay đổi phương trình về phương trình lôgarit cơ bạn dạng đã biết cách giải.

* cách 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Ví dụ 1: Tính những giá trị sau: 

*

Lời giải

*

Ví dụ 2:

*

Lời giải

*

Ví dụ 3: Giải phương trình

*

Lời giải

*

Tập nghiệm của phương trình đã cho rằng 1;2.

Dạng 2: Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa

Phương trình loga=logb (với a>0;a≠1)

Ta đặt loga=logb=t

*

Khử x vào hệ phương trình để thu được phương trình ẩn t, giải pt này kiếm tìm t, từ kia tìm x

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) log3(x+1)=log2x. 

b) log5x=log7(x+2).

Lời giải

*

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

*

Lời giải:

*

Dạng 3: Giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Giải phương trình: f = 0 (0 ag(x) (*).

• cách 2: Tìm điều kiện của t (nếu có).

• bước 3: Đưa về giải phương trình f(t) = 0 đã biết cách giải.

•Bước 4: nạm vào (*) để tìm x.

Một số lưu ý quan trọng khi biến đổi đổi

1) logaf2(x) = 2loga|f(x)|

2) logaf2k(x) = 2kloga|f(x)|

3) logaf2k+1(x) = (2k+1)logaf(x)

4) loga(f(x)g(x)) = loga|f(x)| + loga|g(x)|

*
*
*

Ví dụ 3:Giải phương trình

*

Lời giải:

*

Dạng 4: thực hiện tính solo điệu để giải phương trình logarit 

Giả sử phương trình có dạng f(x) = g(x) (*)

• bước 1: Nhẩm được một nghiệm x0 của phương trình (thông thường lựa chọn nghiệm lân cận 0).

• bước 2: Xét các hàm số y = f(x)(C1) với y = g(x)(C2). Ta cần chứng minh một hàm đồng biến và một hàm nghịch biến hóa hoặc một hàm đối kháng điệu với một hàm không đổi. Khi đó (C1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0. Đó chính là nghiệm nhất của phương trình (*).

Hoặc chuyển phương trình về dạng f(x) = 0

• bước 1: Nhẩm được hai nghiệm x1; x2 của phương trình (thường lựa chọn nghiệm cạnh bên 0).

• bước 2: Xét các hàm số y = f(x). Ta cần minh chứng f"(x) = 0 có nghiệm duy nhất với f"(x) đổi lốt khi trải qua nghiệm đó. Từ trên đây suy ra phương trình f(x) = 0 có rất nhiều nhất nhì nghiệm.

Hoặc:

• bước 1: biến hóa phương trình về dạng f(u) = f(v) .

• bước 2: chứng tỏ hàm f(x)là hàm đơn điệu, suy ra u = v

Ví dụ 1: Giải phương trình log3 (x+2) + log7 (3x+4) = 2

Lời giải

*

Phương trình bao gồm một nghiệm x = 1

f(x) = log3(x+2) + log7(3x+4) ⇒ f"(x) > 0, buộc phải f(x) đồng trở nên trên tập xác minh ;g(x)=2là hàm hằng. đề xuất phương trình đang cho bao gồm một nghiệm tốt nhất x = 1

Ví dụ 2: Giải phương trình log2 (x2-x-6)+x=log2 (x+2)+4

Lời giải

*

Phương trình (2)có một nghiệm x = 4

f(x) = log2(x-3), đồng biến hóa trên tập xác định; g(x) = 4-x nghịch vươn lên là trên tập xác định. Nên phương trình sẽ cho có một nghiệm nhất x = 4.

Ví dụ 3:

Giải phương trình

*

Lời giải

*

⇔ log2 (x2-x+1)-log2 (2x2-4x+3) = x2-3x+2 ⇔ log2 (x2-x+1) + (x2-x+1) = log2 (2x2-4x+3)+(2x2-4x+3) (3)

Xét hàm số f(t) = log2 t+t bao gồm f"(t) > 0 cần hàm số đồng biến hóa trên tập xác định. Lúc đó có f(x2-x+1) = f(2x2-4x+3) ⇒ x2-x+1 = 2x2-4x+3 ⇔ x2-3x+2=0

*

Nên phương trình sẽ cho tất cả tập nghiệm là 1;2

Dạng 5: biện pháp giải phương trình logarit cất tham số

♦ Dạng toán search m nhằm phương trình gồm số nghiệm mang đến trước:

• bước 1. Bóc tách m ra khỏi biến số x và gửi về dạng f(x)=A(m).

• bước 2. điều tra khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) bên trên D.

• cách 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A(m) để đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x).

• bước 4. Kết luận những giá trị của A(m) để phương trình f(x)=A(m) có nghiệm (hoặc bao gồm k nghiệm) trên D.

♦ lưu ý

• Nếu hàm số y=f(x) có giá trị lớn số 1 và giá bán trị nhỏ tuổi nhất bên trên D thì giá trị A(m) cần tìm là những m thỏa mãn:

*

• Nếu bài toán yêu thương cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định làm sao để cho đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại k điểm phân biệt.

Hoặc sử dụng đk có nghiệm của phương trình bậc nhị với chú ý sau.

♦ nói lại: Phương trình bậc hai gồm hai nghiệm thỏa mãn

*

Hoặc thực hiện định lí đảo về vệt tam thức bậc hai:

*

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm thông số thực m nhằm phương trình: log23 x+log3x+m = 0 gồm nghiệm.

Lời giải

Tập xác định D=(0;+∞).

Đặt log3x=t. Lúc ấy phương trình đổi mới t2+t+m=0 (*)

Phương trình vẫn cho gồm nghiệm lúc phương trình (*) có nghiệm: Δ=1-4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/4.

Vậy để phương trình có nghiệm thực thì: m ≤ 1/4.

Xem thêm: Phục Vụ Tiếng Anh Là Gì - Quy Trình Phục Vụ Bàn Tại Nhà Hàng

Ví dụ 2: Tìm thông số m để phương trình log2(5x-1)log4(2.5x-2)=m có nghiệm thực x ≥ 1.