Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Với Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Bạn đang xem: Bài tập về sự đồng biến nghịch biến của hàm số

*

A. LÝ THUYẾT.

1. Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

- Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x1, x2∈ K, x1 2⇒ f(x1) 2).

- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀ x1, x2∈ K, x1 2⇒ f(x1) > f(x2).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f"(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K

– Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f"(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu f"(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

– Nếu f"(x) Lưu ý

– Nếu f"(x) ≥ 0, x K (hoặc f"(x) ≤ 0, x K) và f"(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến trên khoảng K).

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Phần I. Các bài toán không chứa tham số.

Dạng 1: Sử dụng đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

1. Phương pháp giải.

Bước 1. Tìm tập xác định D.

Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f"(x). Tìm các giá trị xi (i=1, 2, .., n) mà tại đó f"(x) = 0 hoặc f"(x) không xác định.

Bước 4. Sắp xếp các giá trị xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 5. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và chọn đáp án chính xác nhất.

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 9x – 7 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-3;1) .

B. Hàm số đồng biến trên (-9;-5).

C. Hàm số đồng biến trên R.

D. Hàm số đồng biến trên (5;+∞).

Lời giải

Tập xác định: D = R.

Ta có:

*

Bảng biến thiên:

*

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng: (-∞;-3),(1;+∞) . Hàm số nghịch biến trên khoảng (-3;1)

Chọn C.

Ví dụ 2. Các khoảng nghịch biến của hàm số y = -x4 + 2x2 - 4 là

A. (-1;0) và (1;+∞) B. (-∞;1) và (1;+∞)

C. (-1;0) và (0;1) D. (-∞;1) và (0;1)

Lời giải

Tập xác định: D = R.

Ta có:

*

Bảng biến thiên

*

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng: (-∞;1), (0;1) . Hàm số nghịch biến trên các khoảng: (-1;0), (1;+∞)

Chọn A.

Ví dụ 3. Chọn mệnh đề đúng về hàm số

*

A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

B. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

D. Hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.

Lời giải

Tập xác định: D = R\{-2} .Ta có:

*
. Nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Bảng biến thiên

*

Kết luận: hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho hàm số

*
. Khẳng định nào sau đây là khẳng đúng

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-2) và nghịch biến trên khoảng (-2;2)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1;2)

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;-2) và đồng biến trên khoảng (-2;2)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;1) và đồng biến trên khoảng (1;2)

Lời giải

Tập xác định: D = (-∞;2> .

Đạo hàm:

*

Bảng biến thiên:

*

Kết luận: hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1;2)

Chọn B.

Ví dụ 5. Cho hàm số

*
với x ∈ <0;π> . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên <0;π> B. Hàm số nghịch biến trên <0;π>

C. Hàm số nghịch biến trên

*
D. Hàm số nghịch biến trên
*

Lời giải

Tập xác định: D = <0;π>

Đạo hàm:

*

*

Bảng biến thiên

*

Chọn D.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Cho hàm số y = -x3 + 3x2 - 3x + 2. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên R.

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;1) và (1;+∞).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1;+∞).

D. Hàm số luôn đồng biến trên R.

Câu 2. Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên R?

*

Câu 3. Hỏi hàm số

*
nghịch biến trên các khoảng nào ?

A. (-∞;-4) và (2;+∞). B. (-4;2) .

C. (-∞;-1) và (-1;+∞) D. (-4;-1) và (-1;2).

Câu 4. Hỏi hàm số

*
đồng biến trên khoảng nào?

A. (-∞;0). B. R. C. (0;2). D. (2;+∞).

Câu 5. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d. Hỏi hàm số luôn đồng biến trên R khi nào?

*

Câu 6. Cho hàm số

*
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2).

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;0); (2;3)

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;0); (2;3)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;3)

Câu 7. Cho các hàm số sau:

*

Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nó xác định?

A. 2. B. 4. C. 3. D. 5.

Câu 8. Cho các hàm số sau:

*

Hỏi hàm số nào nghịch biến trên toàn trục số?

A. (I), (II). B. (I), (II) và (III).

C. (I), (II) và (IV). D. (II), (III).

Câu 9. Xét các mệnh đề sau:

(I). Hàm số y = -(x - 3)3 nghịch biến trên R.

(II). Hàm số

*
đồng biến trên tập xác định của nó.

(III). Hàm số

*
đồng biến trên R.

Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?

A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.

Câu 10. Cho hàm số

*
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;-2) và đồng biến trên khoảng (-2;2)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-2) và nghịch biến trên khoảng (-2;2).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1;2)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;1) và đồng biến trên khoảng (1;2)

Câu 11. Hàm số

*
. Chọn phát biểu đúng:

A. Luôn đồng biến trên R.

B. Luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

C. Đồng biến trên từng khoảng xác định.

D. Luôn nghịch biến trên R.

Câu 12. Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 2021. Khoảng đồng biến của hàm số này là

A. (0;+∞). B. (-∞;0). C. (2;+∞). D. (0; 2).

Xem thêm: Lý Thuyết Bài 6: Tia Phân Giác Của Góc Là Gì? Bài Tập Vận Dụng

Câu 13. Cho hàm số: f(x) = -2x3 + 3x2 + 12x -1. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai:

A. f(x) nghịch biến trên khoảng (5;10). B. f(x) giảm trên khoảng (-1; 3)

C. f(x) nghịch biến trên khoảng (-3; -1) D. f(x) đồng biến trên khoảng (-1; 1)

Câu 14. (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017). Hàm số nào đồng biến trên khoảng (-∞;+∞)