Bất đẳng thức Cosi là một trong những kiến thức toán học phổ biến, được sử dụng để giải những dạng toán về phương trình cùng bất phương trình không giống nhau cũng giống như tìm giá chỉ trị lớn nhất và giá chỉ trị nhỏ nhất của biểu thức. Trong nội dung bài viết này, Team plovdent.com Education để giúp các em làm rõ hơn những kỹ năng về bất đẳng thức Cosi đến 2 số, mang lại 3 số, dạng tổng thể và hệ trái với một số bài tập áp dụng có đáp án.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân


*

Bất đẳng thức Cosi là 1 bất đẳng thức truyền thống trong toán học, khởi nguồn từ bất đẳng thức giữa trung bình cùng và vừa đủ nhân (AM – GM). BĐT Cosi được chứng tỏ bởi công ty toán học fan pháp Augustin – Louis Cauchy. Kế bên tên Cosi, nhiều người có cách gọi khác là bất đẳng thức Cauchy hay bất đẳng thức AM – GM (viết tắt của của Arithmetic Mean cùng Geometric Mean).

Các dạng trình diễn bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Côsi có thể được màn biểu diễn bằng dạng tổng quát hoặc dưới nhiều dạng đặc biệt khác nhau.

Bất đẳng thức Côsi dạng tổng quát

Với các số thực không âm x1, x2,…, xn ta hoàn toàn có thể biểu diễn bất đẳng thức Cosi dưới 3 dạng như sau:

eginaligned&ull extbfDạng 1: fracx_!+x_2+...+x_nnge sqrtx_1.x_2...x_n\&ull extbfDạng 2: x_1+x_2+...+x_nge n. sqrtx_1.x_2...x_n\&ull extbfDạng 3:left(fracx_!+x_2+...+x_nn ight)^nge x_1.x_2...x_nendaligned
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ còn khi x1 = x2 = … = xn

Với những số thực dương x1, x2,…, xn ta có:

eginaligned&ull extbfDạng 1: frac1x_1+frac1x_2+...+frac1x_nge fracn^2x_1+x_2+...+x_n\&ull extbfDạng 2: (x_1+x_2+...+x_n)left( frac1x_1+frac1x_2+...+frac1x_n ight) ge n^2endaligned
Dấu “=” xảy ra khi còn chỉ khi x1 = x2 = … = xn


Số Phức liên hợp Là Gì? Các đặc điểm Và bí quyết Tìm Số Phức Liên Hợp

Dạng sệt biệt của bất đặng thức Cauchy

Một số dạng biểu diễn đặc biệt quan trọng khác của bất đẳng thức Côsi:


*

Hệ trái của bất đẳng thức Côsi

Từ công thức bao quát và các dạng quánh biệt, ta có 2 hệ quả đặc biệt của bất đẳng thức Cauchy mà các em yêu cầu ghi nhớ dưới đây. Những hệ quả này thường được vận dụng nhiều trong việc tìm và đào bới giá trị lớn số 1 và giá chỉ trị nhỏ dại nhất của biểu thức.

Hệ trái 1: nếu như tổng của 2 số dương không thay đổi thì tích của chúng lớn nhất lúc 2 số đó bằng nhau.Hệ trái 2: nếu tích của 2 số dương không đổi thì tổng của 2 số này nhỏ tuổi nhất khi 2 số đó bởi nhau.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực ko âm

Với 2 số thực ko âm a cùng b, ta thấy lúc a với b đều bằng 0 thì biểu thức này luôn đúng. Dịp này, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức Cosi luôn luôn đúng cùng với 2 số a, b dương.

Cách minh chứng như sau:


eginaligned&fraca+b2ge sqrtab\&Leftrightarrow a+b ge 2sqrtab\&Leftrightarrow a-2sqrtab+bge 0\&Leftrightarrow (sqrta-sqrtb)^2 ge0 ext (luôn đúng forall a,bge0)endaligned
Như vậy, ta đã chứng minh được BĐT Cosi luôn luôn đúng cùng với 2 số thực không âm.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi cùng với 3 số thực ko âm

Với a, b, c đều bằng 0, bất đẳng thức Cosi luôn đúngVới a, b, c dương, ta chứng minh BĐT Cosi như sau:

eginaligned& extĐặt x=sqrt<3>a, y=sqrt<3>b, z=sqrt<3>c\&Rightarrow x,y,zge0Rightarrow x+y+zge0endaligned
Lúc này, ta quay về dạng chứng minh bất đẳng thức của 3 số thực x, y, z dương


eginaligned&(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz ge0\&Leftrightarrow (x+y+z)<(x+y)^2-(x+y)z+z^2>-3xy(x+y+z)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz)-3xy(x+y+z)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)ge 0\&Leftrightarrow 2(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)<(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2>ge 0 ext (luôn đúng forall x,y,zge0)\endaligned
Khi đó, lốt bằng xảy ra khi x = y = z giỏi a = b = c

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

Theo chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương ta được biểu thức luôn đúng. Suy ra, cùng với n = 2 (2 số thực ko âm) thì BĐT Cosi luôn luôn đúng.


Bất Phương Trình Mũ với Bất Phương Trình Lôgarit - định hướng Toán 12

Do đó, để minh chứng bất đẳng thức luôn đúng với n số thì cần minh chứng nó cũng giống với 2n số. Cách chứng tỏ như sau:


x_1+x_2+...+x_nge nsqrtx_1x_2...x_n+nsqrtx_n+1x_n+2...x_2nge 2nsqrt<2n>x_n+1x_n+2...x_2n
Theo đặc thù quy hấp thụ thì bất đẳng thức này đúng với n là 1 trong những lũy quá của 2.

Giả sử bất đẳng thức Cosi đúng với n số, ta chứng tỏ được nó luôn luôn đúng với n-1 số như sau:


eginaligned&x_1+x_2+...x_nge nsqrtx_1x_2...x_n\&x_n=fracsn-1 ext với s=x_1+x_2+...+x_n\&Rightarrow s ge (n-1)sqrtx_1x_2...x_n-1endaligned
BĐT Cosi với 2n số và (n – 1) số luôn đúng, từ đó ta rất có thể kết luận rằng BĐT Cosi cùng với n số thực không âm luôn đúng.

Bài tập vận dụng

Dạng 1: Áp dụng bất đẳng thức Cosi trực tiếp

Cho 3 số dương a, b, c, hãy triệu chứng minh:


left(a+frac1b ight)left(b+frac1c ight)left(c+frac1a ight)ge 8
Hướng dẫn giải:

Áp dụng BĐT Cosi, ta có:


eginaligned&a+frac1b ge 2sqrtfracab ; b+frac1c ge 2sqrtfracbc ; c+frac1a ge 2sqrtfracca\&Leftrightarrow left(a+frac1b ight)left(b+frac1c ight)left(c+frac1a ight)ge 8sqrtfracab.sqrtfracbcsqrtfracca=8 ext (điều phải chứng minh)endaligned
Đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi a = b = c.

Dạng 2: chuyển đổi nhân chia, thêm, bớt một biểu thức

Cho 3 số thực dương a, b, c, chứng minh rằng:


fracabc+fracbca+fracacbge a+b+c
Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:


eginaligned&fracabc+fracbcage 2sqrtfracabc.fracbca=2b (1)\&fracbca+fracacbge 2sqrtfracbca.fracacb=2c (2)\&fracabc+fracacbge 2sqrtfracbca.fracacb=2a (3)\&(1)+(2)+(3) Leftrightarrow2left(fracabc+fracbca+fracacb ight)ge 2(a+b+c)\&Leftrightarrowfracabc+fracbca+fracacbge a+b+c ext (điều buộc phải chứng minh)endaligned
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

Học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn nâng tầm điểm số 2022 – 2023 trên plovdent.com Education

plovdent.com Education là nền tảng học tập livestream trực tuyến đường Toán – Lý – Hóa – Văn đáng tin tưởng và chất lượng bậc nhất Việt Nam dành cho học sinh trường đoản cú lớp 8 tới trường 12. Với câu chữ chương trình giảng dạy bám gần kề chương trình của Bộ giáo dục đào tạo và Đào tạo, plovdent.com Education để giúp đỡ các em đem lại căn bản, nâng tầm điểm số và nâng cấp thành tích học tập.

Tại plovdent.com, những em đã được huấn luyện bởi những thầy cô thuộc vị trí cao nhất 1% cô giáo dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị trường đoản cú Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm khiếp nghiệm đào tạo và huấn luyện và có rất nhiều thành tích xuất nhan sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng sủa tạo, sát gũi, các thầy cô để giúp đỡ các em tiếp thu kiến thức và kỹ năng một cách lập cập và dễ dàng.


lý thuyết Toán 10 cực hiếm Lượng Giác Của Một Cung

plovdent.com Education còn có đội ngũ nỗ lực vấn học tập tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em đáp án mọi vướng mắc trong quy trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học hành của mình.

Với vận dụng tích hợp tin tức dữ liệu cùng căn cơ công nghệ, từng lớp học tập của plovdent.com Education luôn bảo đảm an toàn đường truyền ổn định chống giật/lag về tối đa với quality hình ảnh và âm thanh giỏi nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô bỏng lớp học offline, các em có thể tương tác thẳng với giáo viên dễ dãi như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại plovdent.com Education, các em còn nhận ra các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp cục bộ công thức và nội dung môn học được soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp những em học tập tập và ghi nhớ loài kiến thức dễ ợt hơn.

Xem thêm: Ca Dao Tục Ngữ Về Tôn Trọng Và Học Hỏi Các Dân Tộc Khác ?

plovdent.com Education cam đoan đầu ra 7+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm đến học viên. Còn nếu không đạt điểm số như cam kết, plovdent.com đã hoàn trả các em 100% học phí. Những em nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến đường Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học tập 2022 – 2023 tại plovdent.com Education ngay từ bây giờ để thừa kế mức chi phí khóa học siêu ưu đãi lên tới mức 39% sút từ 699K chỉ với 399K.

Qua nội dung bài viết trên đây, Team plovdent.com Education đã share đến các em tổng thể nội dung tương quan đến bất đẳng thức Cosi lớp 8, lớp 9, lớp 10 bao gồm định nghĩa, hệ quả, cách chứng minh cùng với các dạng bài bác tập thường gặp mặt có đáp án bỏ ra tiết. Mong muốn với những kiến thức này, những em rất có thể giải xuất sắc các bài tập tương quan đến bất đẳng thức Côsi trong những bài kiểm soát toán sắp tới tới. Chúc những em học tập thật hiệu quả!