Bất đẳng thức Côsi là giữa những bất đẳng thức cổ điển. Tên chính xác là bất đẳng thức thân trung bình cùng và trung bình nhân, nhiều người dân gọi là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM là viết tắt của Geometric mean). Vày nhà toán học bạn Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), bạn đã chỉ dẫn một phương pháp chừng mình rực rỡ nên đa số người hay hotline là bất đẳng thức Cauchy.

Bạn đang xem: Bđt cauchy

Nó ứng dụng không hề ít trong những bài Toán về bất đẳng thức và cực trị. Vào phạm vi công tác Toán THCS, chúng ta quan trung ương đến các trường thích hợp riêng của bất đẳng thức Cauchy.


Mục lục ẩn
1. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cosi
a. Dạng tổng thể bất đẳng thức cosi
b) các bất đẳng thức côsi quan trọng
c) một số trong những bất đẳng thức được suy ra trường đoản cú bất đẳng thức Cauchy
d) để ý khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM
2. Những dạng bài xích tập
Dạng 1: vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi
Dạng 2: kinh nghiệm tách, thêm bớt, ghép cặp
Dạng 3: kĩ thuật tham số hóa
Dạng 4: kinh nghiệm bất đẳng thức côsi ngược dấu

1. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cosi

a. Dạng bao quát bất đẳng thức cosi

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là những số thực ko âm ta có:

*


Cho x1, x2, x3 ,…, xn là những số thực dương ta có:

*

b) các bất đẳng thức côsi quánh biệt

*


c) một số bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức Cauchy

*

d) chú ý khi thực hiện bất đẳng thức AM – GM

Khi áp dụng bất đẳng thức cô yêu thích thì các số bắt buộc là các số không âmBất đẳng thức côsi hay được vận dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng với tíchĐiều kiện xẩy ra dấu ‘=’ là những số bằng nhauBất đẳng thức côsi còn có bề ngoài khác thường giỏi sử dụng

Đối với hai số:


$x^2,,+,y^2,,ge ,,2xy$.$,x^2,,+,y^2,,ge ,,frac(x,+,y)^22$$,xyle ,,left( fracx+y2 ight)^2$

Đối với cha số: $abcle fraca^3+b^3+c^33,,,abcle left( fraca+b+c3 ight)^3$

2. Các dạng bài xích tập

Dạng 1: vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi

Ví dụ: cho a, b là số dương thỏa mãn nhu cầu a2 + b2 = 2. Chứng minh rằng $left( a+b ight)^5ge 16absqrtleft( 1+a^2 ight)left( 1+b^2 ight)$

Lời giải

*

Dạng 2: kỹ năng tách, thêm bớt, ghép cặp

Để chứng minh BĐT ta thường xuyên phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để chế tạo ra biểu thức rất có thể giản cầu được sau khi áp dụng BĐT côsi.Khi chạm chán BĐT gồm dạng x + y + z ≥ a + b + c (hoặc xyz ≥ abc), ta thường đi chứng minh x + y ≥ 2a (hoặc ab ≤ x2), xây dựng các BĐT tựa như rồi cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều phải chứng minh.Khi tách và vận dụng BĐT côsi ta phụ thuộc việc đảm bảo dấu bởi xảy ra(thường dấu bằng xẩy ra khi các biến đều bằng nhau hoặc tại biên).

Ví dụ: cho a, b, c là số dương vừa lòng a + b + c = 3.

Chứng minh rằng 8( a + b )(b + c)(c + a) ≤ (3 + a)(3 + b)(3 + c)


Lời giải

*

Dạng 3: kinh nghiệm tham số hóa

Nhiều khi không dự đoán được dấu bằng xảy ra(để bóc ghép mang đến hợp lí) họ cần đưa tham số vào rồi lựa chọn sau làm thế nào để cho dấu bằng xảy ra.

Ví dụ: đến a, b, c là số dương vừa lòng 2a + 4b + 3c2 = 68. Tìm giá chỉ trị nhỏ nhất của A = a2 + b2 + c3.

Xem thêm: Chuyên Đề Ước Và Bội Lớp 6, Dạng Bài Tập Toán 6 Về Tìm Ước Và Bội

Phân tích

*

Lời giải

Áp dụng Bất đẳng thức côsi ta có

*

Dạng 4: kinh nghiệm bất đẳng thức côsi ngược dấu

Ví dụ: đến a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1.