Giải hệ phương trình bậc cao là dạng bài xích tập nặng nề thường xuất hiện ở vào đề thi HSG Toán lớp 9, đề thi môn vào 10 chăm Toán.

Bạn đang xem: Các cách giải hệ phương trình khó

Muốn giải được các hệ phương trình bậc cao các em học sinh đọc những phương pháp dưới đây.

Phương pháp đưa về hằng đẳng thức

Đây là phương pháp mà bọn họ nên để ý đầu tiên. Họ cần để ý xem phương trình trong hệ bao gồm thể biến đổi về các hằng đẳng thức đã học hay không.

Chúng ta xét những ví dụ dưới đây để hiểu về phương pháp này.

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau

a)

*
x+2+2sqrty+2=5endarray ight." title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="43" width="268" style="vertical-align: -17px;">

b)

*

Giải

a) Điều kiện:

*
. Phương trình (1) tương đương:

*

Đặt

*
. Ta gồm phương trình:
*
⇔
*
. Do
*
0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="321" style="vertical-align: -7px;">suy ra phương trình mang lại ta
*

*
nỗ lực vào ta có:
*
5-2y+2sqrty+2=5Leftrightarrow" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="203" style="vertical-align: -4px;"> Đặt
*
5-2y;b=sqrty+2" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="191" style="vertical-align: -4px;">ta bao gồm hệ phương trình sau:

*
.

*

Vậy hệ bao gồm nghiệm

*

b) Điều kiện: .

Ta viết lại phương trình (1) thành:

*

*

Dễ thấy

*
không phải là nghiệm. Khi
*
thay vào (2) ta được:

*

(thỏa mãn). Vậy hệ gồm nghiệm

*
.

Ví dụ 2: Giải những hệ phương trình sau

a)

*

b)

*
14-xsqrt3-2y+1endarray ight." title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="44" width="339" style="vertical-align: -17px;">

Giải

a) Điều kiện:

*
.

Ta thấy

*
không là nghiệm của hệ. Chia hai vế của (1) đến
*
ta được:

*
. Đặt
*
ta bao gồm phương trình:
*
suy ra
*

*
. Từ đó tính được
*

Vậy hệ đã cho bao gồm nghiệm .

b) Điều kiện:

*
.Ta thấy lúc thì hệ không tồn tại nghiệm.

Chia phương trình (1) mang đến

*
:

*

*

Đặt

*
. Ta gồm
*
⇒
*
⇔
*
.

Thay vào (2) ta được:

*
15-x=1Leftrightarrow x+1=sqrt<3>15-xLeftrightarrow x^3+3x^2+4x-14=0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="524" style="vertical-align: -3px;">.

⇔

*
. Vậy hệ bao gồm nghiệm
*
.

Áp dụng công thức nghiệm Δ của phương trình bậc 2

Khi vào hệ phương trình gồm chứa phương trình bậc 2 theo ẩn x, hoặc y ta biến đổi x theo y hoặc y theo x dựa vào công thức nghiệm Δ của phương trình bậc 2. Cụ thể như sau:

* Nếu Δ chẵn, ta giải x theo y rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để giải tiếp

* Nếu Δ không chẵn ta thường xử lý theo cách:

+ Cộng hoặc trừ những phương trình của hệ để tạo được phương trình bậc hai gồm chẵn hoặc tạo thành các hằng đẳng thức

+ cần sử dụng điều kiện Δ ≥ 0 để tìm kiếm miền giá trị của biến x, y. Sau đó đánh giá bán phương trình còn lại bên trên miền giá bán trị x, y vừa search được:

Minh họa bí quyết làm này qua những ví dụ dưới đây.

Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau

a)

*

b)

*

Giải

Xét phương trình (1) của hệ ta có:

*
. Ta coi đây là phương trình bậc 2 của thì ta có:
*
. Từ đó suy ra

*

Trường hợp 1:

*
. Từ phương trình của hệ ta bao gồm điều kiện:
*
suy ra phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2:

*
thay vào phương trình thứ hai ta có:

*

Vậy hệ có một cặp nghiệm:

*

b) Xét phương trình (1) của hệ ta có:

*

Coi đây là phương trình bậc 2 của ta có:

*

Suy ra

*

Trường hợp 1:

*
cố vào phương trình (2) ta thu được:

*

⇔

*
=0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="32" width="336" style="vertical-align: -11px;">

Do

*
nên
*
0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="252" style="vertical-align: -11px;">

⇒

*

Trường hợp 2:

*
thay vào phương trình (2) ta thu được:

*

Giải tương tự như bên trên ta được

*
.

Kết luận: Hệ phương trình tất cả 2 cặp nghiệm:

*

Phương pháp đánh giá

Để giải được hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá chỉ ta cần nắm chắc những bất đẳng thức cơ bản như: Cauchy, Bunhicopxki, những phép biến đổi trung gian giữa các bất đẳng thức, qua đó để đánh giá tìm thấy quan hệ

*
.

Ngoài ra ta cũng bao gồm thể dùng hàm số để kiếm tìm GTLN, GTNN từ đó bao gồm hướng đánh giá, so sánh phù hợp.

Ví dụ 4: Giải các hệ phương trình sau

a)

*

b)

*
4xleft( 8x+1 ight)endarray ight." title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="55" width="271" style="vertical-align: -23px;">

Giải

a) Điều kiện:

*
.

Đặt

*
" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="32" width="246" style="vertical-align: -11px;">.

Ta có:

*
.

Ta sử dụng bổ đề với

*
0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="57" style="vertical-align: -4px;">và
*
ta bao gồm bất đẳng thức:

*
(đúng).

Vậy

*
.

Đẳng thức xảy ra khi

*
. Cầm cố vào(2) ta kiếm tìm được nghiệm của phương trình.

Nghiệm của hệ

*
.

b) Điều kiện:

*
.

Phương trình (1) tương đương:

*
.

Đặt

*
phương trình (1) thành:

*

Thay vào (2) ta được:

*
32x^2+4x" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="232" style="vertical-align: -2px;">.

Xem thêm: Đề Cương Ôn Tập Học Kì 1 Lớp 8 Môn Toán 8, Đề Cương Ôn Tập Học Kì 1 Toán Lớp 8

Ta có

*
32x^2+4x=sqrt<3>1.1.left( 32x^2+4x ight)le frac32x^2+4x+23" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="25" width="492" style="vertical-align: -6px;">

*

Từ đó ta có những nghiệm của hệ là: Vậy hệ tất cả nghiệm

*
.

Bài tập giải hệ PT bậc cao

Bài 1: Giải hệ phương trình

*

Bài 2:Giải hệ phương trình

*

Bài 3:Giải hệ phương trình

*

Bài 4:Giải hệ phương trình:

*

Bài 5:Tìm

*
thỏa mãn :
*

Cùng chăm đề:

Chuyên đề: Tam giác đồng dạng – Toán nâng cao lớp 9 >>