Khái niệm số phức
Số phức có dạng z = a + bi, (a, b ∈ ℜ), trong đó a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo: i² = - 1
Tập hợp những số phức là C
Nếu a = 0, z = bi được hotline là số thuần ảo
Nếu b = 0 , z = a + 0i được hotline là số thực
Số 0 vừa là số thực, vừa là số ảo
Số đối của phức z = a + bi là -z = - a - bi
Các phép toán bên trên tập số phức
Cho nhì số phức z₁ = a + bi, z₂ = c + di.
Bạn đang xem: Các công thức số phức
Hai số phức bởi nhau:
Tổng, hiệu hai số phức z₁ ± z₂ = (a ± b) + (b ± d)i.
Phép nhân nhì số phức z₁.z₂ = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i.
Phép phân tách hai số phức
Môđun của số phức, số phức liên hợp
Phương trình bên trên tập số phức
Công thức tính cấp tốc số phức hay được dùng trong các đề thi
Ví dụ áp dụng
Một số bài bác tập có giải thuật số phức
Câu 1: Cho số phức z vừa lòng điều khiếu nại |z - 3 + 4i| ≤ 2. Trong phương diện phẳng Oxy tập đúng theo điểm trình diễn số phức w = 2z + 1 - i là hình tròn trụ có diện tích:
A. S = 9π B. S = 12π. C. S = 16π. D.S = 25π.
Hướng dẫn:
Ta có:
|w - 1 + i - 6 + 8i| ≤ 4 |w - 7 + 9i| ≤ 4 (1)
Giả sử w = x + yi, khi ấy (1) (x - 7)2 + (y + 9)2 ≤ 16
Suy ra tập vừa lòng điểm màn biểu diễn số phức w là hình tròn trụ tâm I(7; -9), bán kính r = 4
Vậy diện tích cần tìm kiếm là S = π.42 = 16π
Chọn C.
Câu 2: Cho số phức z vừa lòng |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A.5 B.4 C.6 D.8
Hướng dẫn:
Ta có:
Khi z = i thì A = 6
Chọn C.
Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn nhu cầu |z| = 1. Tìm giá chỉ trị lớn nhất max M cùng giá trị nhỏ tuổi nhất min M của biểu thức M = |z2 + z + 1| + |z3 + 1|
A. Max M = 5; min M = 1 B. Max M = 5; min M = 2
C. Max M = 4; min M = 1 D.max M = 4; min M = 2
Hướng dẫn:
Ta có: M ≤ |z|2 + |z| + 1 + |z|3 + 1 = 5 ,
khi z = 1 thì M = 5 đề nghị ma M = 5
Mặt khác:
khi z = -1 thì M = 1 bắt buộc min M = 1
Chọn A.
Câu 4. Cho số phức z thỏa |z| ≥ 2 . Tìm tích của giá chỉ trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
Hướng dẫn:
Chọn A.
Câu 5. Cho số phức z vừa lòng |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức p. = |1 + z| + 3|1 - z|
Hướng dẫn:
Chọn D.
Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z2 + 4| = 2|z|. Xác định nào sau đây là đúng?
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức |u| + |v| ≥ | u + v|, ta được:
2|z| + |-4| = |z2 + 4| + |-4| ≥ |z|2 => |z|2 - 2|z| - 4 ≤ 0 => |z| ≤ √5 + 1.
2|z| + |z|2 = |z2 + 4| + |-z2| ≥ 4 => |z|2 + 2|z| - 4 ≥ 0 => |z| ≥ √5 - 1
Vậy |z| nhỏ tuổi nhất là √5 - 1 khi z = -1 + i√5 cùng |z| lớn nhất là √5 + 1 khi z = 1 + i√5
Chọn B.
Hướng dẫn:
Gọi z1 = a + bi; z2 = a - bi.
Không mất tính tổng thể ta coi b ≥ 0
Do |z1 - z2| = 2√3 => |2bi| = 2√3 => b = √3
đạt giá chỉ trị mập nhất. Tính tích xy.
Hướng dẫn:
Câu 9. Biết số phức z vừa lòng đồng thời hai điều kiện |z - 3 - 4i| = √5 và biểu thức M = |z + 2|2 - |z - i|2 đạt giá chỉ trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z + i.
A. |z + i| = 2√41
B. |z + i| = 3√5
C. |z + i| = 5√2
D. |z + i| = √41
Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi.
Xem thêm: Trường Cao Đẳng Phạm Ngọc Thạch Cần Thơ, Trường Cao Đẳng Y Khoa Phạm Ngọc Thạch
Ta có: |z - 3 - 4i| = √5 (C): (x - 3)2 + (y - 4)2 = 5, trọng điểm I(3; 4) với R = √5
Mặt khác:
M = |z + 2|2 - |z - i|2 = (x + 2)2 + y2 - <(x2) + (y - 1)2> = 4x + 2y + 3
d: 4x + 4y + 3 - M = 0
Do số phức z thỏa mãn nhu cầu đồng thời hai đk nên d cùng (C) có điểm chung
Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn nhu cầu điều kiện: |z - 1 + 2i| = √5 và w = z + 1 + i gồm môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng: