Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua con đường thẳng rất hay Toán học lớp 10 với đầy đủ lý thuyết, cách thức giải và bài tập có giải thuật cho tiết để giúp học sinh vắt được cách tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt đường thẳng cực hay 


A. Cách thức giải

Cho điểm A và đường thẳng (d): ax + by + c = 0 . Tra cứu điểm M đối xứng cùng với điểm A qua con đường thẳng (d):

+ bước 1: Lập phương trình mặt đường thẳng AM:

*

⇒ Phương trình (AM) .

Bạn đang xem: Cách tìm điểm đối xứng qua đường thẳng

+ cách 2: hotline H là hình chiếu của A bên trên d. Lúc ấy AM với d giao nhau trên H nên tọa độ H là nghiệm hệ phương trình:

*

+ cách 3: vì chưng M đối xứng cùng với A qua d đề nghị H là trung điểm của AM.

Áp dụng công thức trung điểm đoạn trực tiếp ta được:

*

*

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Cho tam giác ABC gồm AB = 6; BC = 6√2 cùng góc B = 450.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua BC. Tra cứu mệnh đề sai?

A.Tứ giác ACA’B là hình thoi

B.AA’ = 3

C.BA’ = 6

D.Tứ giác ACA’B là hình bình hành

Lời giải

+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:

AC2= AB2+ BC2– 2.AC.BC.Cos B

= 62+ (6√2)2- 2.6.6√2.cos450= 36

⇒ AC = 6 bắt buộc AB = AC = 6 với AB2+ AC2= BC2

⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.

+ hotline H là chân đường cao hạ trường đoản cú điểm A lên BC.

AH là con đường cao nên đồng thời là con đường trung tuyến

⇒ H là trung điểm của BC: AH = bh = CH = BC/2 = 3√2 ⇒ AA’= 6√2

+ vì A’ đối xứng với điểm A qua BC đề xuất H là trung điểm của AA’ với AA’; BC vuông góc với nhau.

Tứ giác ACA’B tất cả hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

⇒ ACA’B là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo AA’; BC vuông góc với nhau phải ACA’B là hình thoi.

⇒ B sai

Chọn B.

Ví dụ 2:Cho điểm M(1; 2) và mặt đường thẳng d: 2x + y - 5 = 0. Toạ độ của điểm đối xứng với điểm M qua d là:

A.(;) B.(-

*
;
*
) C.(0;) D.(; - 5)

Lời giải

Ta thấy M ∉ d .

Gọi H( a; b) là hình chiếu của điểm M khởi thủy thẳng dMH→( a - 1; b - 2) .

Ta có đường thẳng d: 2x + y - 5 = 0 nên gồm vtpt:n→(2;1)

Suy rau→( -1; 2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

*

Do kia H(

*
;
*
) .

Gọi M’( x; y) đối xứng cùng với M qua đường thẳng d . Lúc ấy ta có: H là trung điểm của MM’

Ta có:

*

Vậy tọa độ điểm đối xứng cùng với M qua d là M"(;) .

Chọn A.

Ví dụ 3 :Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 3 = 0 với M( 8; 2) . Tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua d là

A.( -4; 8) B.( -4; -8) C.( 4; 8) D.( 4; -8)

Lời giải

+ vì M’ đối xứng cùng với M qua d phải MM’ vuông góc với d.

+ Đường trực tiếp MM’:

*

⇒ MM’: 3( x - 8) + 2( y - 2) = 0 giỏi 3x + 2y - 28 = 0

+ call H là giao điểm của MM’ cùng d. Lúc đó tọa độ H là nghiệm hệ :

*
⇒ H( 6; 5)

+ vị M’ đối xứng cùng với M qua d yêu cầu H là trung điểm của MM’. Tọa độ điểm M’ là:

*
⇒ M’( 4; 8)

Chọn C.

Ví dụ 4:Cho điểm A( 1; 2) và con đường thẳng (d): x + 2y - 3 = 0 .Tìm điểm đối xứng với A qua con đường thẳng d.

A.( 1; -2) B.(;) C.(

*
;
*
) D.Đáp án khác

Lời giải

+ gọi H là hình chiếu của A xuất phát thẳng (d) .

+ Lập phương trình con đường thẳng AH:

( AH) :

*

⇒ Phương trình ( AH) : 2( x - 1) – 1.( y - 2) = 0 hay 2x - y = 0

+ hai tuyến đường thẳng AH cùng d giảm nhau tại H bắt buộc tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:

*

+ hotline B đối xứng với A qua d. Lúc đó; H là trung điểm của AB.

⇒ Tọa độ điểm B là:

*
⇒ B(;)

Chọn B.

Ví dụ 5:Cho điểm A( 2; 0) và mặt đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Kiếm tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt đường thẳng d.

A.( 2; -1) B.(2; 0) C.( 1; -2) D.(-2; -1)

Lời giải

Ta có: 2 + 0 - 2 = 0 buộc phải điểm A thuộc con đường thẳng d.

⇒ Điểm đối xứng với điểm A qua con đường thẳng d đó là điểm A.

Chọn B.

Ví dụ 6:Cho tam giác ABC gồm A( 0; -2).Gọi I ( 2; 4) là trung điểm của AB và J( -4; 2) là trung điểm của AC. điện thoại tư vấn điểm A’ đối xứng điểm A qua BC. Viết phương trình mặt đường thẳng AA’?

A.6x + 2y - 3 = 0 B.6x + 2y + 4 =0 C.2x - y + 1 = 0 D.Tất cả sai

Lời giải

+ vị I và J lần lượt là trung điểm của AB cùng AC đề xuất IJ là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .

+ vì A’ đối xứng cùng với A qua BC

⇒ AA’ vuông góc BC (2).

Từ(1) cùng ( 2) suy ra: AA’ vuông góc IJ

+ Lập phương trình AA’:

*

⇒ ( AA’): 6(x - 0) + 2( y + 2) = 0 tốt 6x + 2y + 4 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 7:Cho mặt đường thẳng ∆ :

*
và điểm M(1; 2). Tìm kiếm điểm đối xứng với M qua con đường thẳng ∆ là:

A.(4; -2) B.M’(-;) C.M’(;) D.M’(

*
;
*
)

Lời giải

Gọi M’ đối xứng cùng với M qua ∆.

+ Đường trực tiếp MM’:

*

⇒ Phương trình đường thẳng MM’:

3(x - 1) – 2(y - 2)= 0 giỏi 3x - 2y + 1 = 0.

+ Giao điểm H của mặt đường thẳng MM’ và ∆ là nghiệm hệ:

*

+ Điểm M đối xứng M’ qua ∆ phải H là trung điểm MM’. Suy ra tọa độ điểm M’:

*
⇒ M’(-;)

Chọn B.

Ví dụ 8:Cho mặt đường thẳng d: 2x - 3y + 3 = 0 với M( 8; 2) . Tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua d là:

A.( -4; 8 ) B.(-4; -8 ) C.( 4; 8) D.(4; -8)

Lời giải

+Phương trình mặt đường thẳng MM’:

*

⇒ ( MM’) : 3( x - 8) + 2( y - 2) = 0 hay 3x + 2y - 28 = 0

+ điện thoại tư vấn H là hình chiếu của M lên d. Khi ấy MM’ và d giảm nhau tại H phải tọa độ H là nghiệm hệ :

*
⇒ H(6; 5)


+ lúc ấy H là trung điểm của đoạn MM’. Áp dụng bí quyết trung điểm ta suy ra

*
. Vậy M’( 4; 8) .

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Cho tam giác ABC tất cả AB = 1; BC = 1√2 và góc B = 450.Gọi A’ là vấn đề đối xứng cùng với A qua BC. Tìm kiếm mệnh đề sai?

A.Tứ giác ACA’B là vuông

B.AA’ = 2

C.BA’ = 1

D.Tứ giác ACA’B là hình bình hành

Câu 2:Cho con đường thẳng ∆:

*
. Hoành độ điểm M’ đối xứng với M( 4; 5) qua ∆ gần nhất với số nào dưới đây ?

A.1,12 B.- 0, 91 C.1,31 D.- 0,92

Câu 3:Tìm điểm M’ đối xứng với M(4; 1) qua mặt đường thẳng d: x - 2y + 4 = 0 là:

A.(;

*
) B.(
*
;) C.(
*
;
*
) D.(;)

Câu 4:Cho tam giác ABC bao gồm A(1; 3).Gọi I(2; 1) là trung điểm của AB cùng J( -1; 0) là trung điểm của AC. Search điểm K đối xứng với điểm A qua IJ?

A.K(

*
; -) B.K(;) C.K( -; -) D.K(;
*
)

Câu 5:Cho điểm M(- 2; 1) và đường thẳng ∆: 2x - y + 4 = 0.Gọi điểm M’ đối xứng cùng với M qua con đường thẳng ∆. Lúc ấy điểm M’ nằm trên phố thẳng nào?

A.x + 2y - 3 = 0 B.2x + 4y - 3 = 0 C.

Xem thêm: Đề Thi Học Sinh Giỏi Sử 9 Có Đáp Án Mới Thẩm Định, Đề Thi Học Sinh Giỏi Môn Lịch Sử 9

x + 2y = 0 D.x + 2y - 6 = 0

Câu 6:Cho mặt đường thẳng ∆:

*
và điểm M(2; -3); điểm A(-0,6; -1,8). Hotline M’ là vấn đề đối xứng với M qua mặt đường thẳng ∆. Tính độ nhiều năm AM’