Cách chứng minh bất đẳng thức Cosi mang đến 2 số, 3 số, 4 số, n số không âm được Trung trọng tâm Gia sư Tiến Bộ phân chia sẻ với bạn đọc.
Bạn đang xem: Cauchy 3 số
*Tổng quát: mức độ vừa phải cộng của n số thực ko âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Cùng trung bình cộng chỉ bằng mức độ vừa phải nhân khi và chỉ lúc n số đó bằng nhau.
1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực a, b ko âm
Bất đẳng thức Cosi mang lại 2 số ko âm:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ lúc
Bất đẳng thức đúng với hoặc .
Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương:⇔
⇔
⇔
Bất đẳng thức đã cho luôn đúng với ∀
2. Chứng minh bất đẳng thức cosi với 3 số thực a, b, c ko âm
Bất đẳng thức Cosi mang đến 3 số ko âm:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ lúc
Bất đẳng thức đúng với hoặc hoặc .
Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số dương:Đặt:
Suy ra:
Suy ra:
Bất đẳng thức được quy về:
Dấu “=” xảy ra khi
3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực a, b, c, d ko âm
Bất đẳng thức Cosi đến 4 số ko âm:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Bất đẳng thức đúng với hoặc hoặc hoặc
Thay:
Ta được bất đẳng thức Cosi đến 3 số dương.
4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực ko âm
Bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm
Dấu “=” xảy ra khi cùng chỉ khi:
Nếu bất đẳng thức đúng với số thì nó cũng đúng với
Ta gồm thể chứng minh đơn giản vì:
Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với là một lũy thừa của 2.
Xem thêm: Cách Đọc Tên Các Hợp Chất Hữu Cơ, Cách Đọc Tên Chất Hữu Cơ
Mặt không giống giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng với n – 1 số như sau:
Theo bất đẳng thức cosi mang đến n số:
Chọn:
→
Đây đó là bất đẳng thức Cosi (n-1) số. Như vậy ta tất cả đpcm.