Hàm số liên tục còn được phát âm là xét tính thường xuyên của hàm số, đây là một một chủ để quan trọng đặc biệt thuộc toán lớp 11 bậc trung học tập phổ thông. Là kiến thức và kỹ năng căn bản để chúng ta học tốt chủ đề hàm số. Bài viết này đã tóm lược những triết lý trọng tâm cần nhớ bên cạnh đó phân dạng bài tập cụ thể giúp chúng ta rèn luyện tài năng giải bài xích tập hàm số liên tục.

Bạn đang xem: Chứng minh hàm số liên tục

1. Triết lý hàm số liên tục

1.1 Hàm số tiếp tục tại một điểm

Hàm số tiếp tục là gì?

Định nghĩa: mang đến hàm số y = f(x) xác minh trên khoảng chừng (a; b). Hàm số y = f(x) được điện thoại tư vấn là thường xuyên tại điểm x0 ∈ (a; b) nếu $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = fleft( x_0 ight)$

Nếu trên điểm x0 hàm số y = f(x) không liên tục, thì được điện thoại tư vấn là đứt quãng tại x0 với điểm x0 được điện thoại tư vấn là điểm cách trở của hàm số y = f(x).

Nhận xét. Hàm số được gọi là tiếp tục tại điểm x0 ví như ba điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:

f(x) xác minh tại x0.$mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ tồn tại.$mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ = f(x0)

Hàm số y = f(x) gián đoạn tại điểm x0 nếu có ít nhất một trong những 3 đk trên ko thỏa mãn. Giả dụ sử dụng số lượng giới hạn một mặt thì:

*

Đặc trưng không giống của tính thường xuyên tại một điểm

Cho hàm số y = (x) xác định trên (a; b). Giả sử x0 với x (x ≠ x0) là hai bộ phận của (a; b)

Hiệu x−x0, cam kết hiệu: ∆x, được hotline là số gia của đối số tại điểm x0. Ta có: ∆x = x−x0 ⇔ x = x0+∆x.

Hiệu y − y0, ký kết hiệu: ∆y, được hotline là số gia tương ứng của hàm số trên điểm x0. Ta có: ∆y = y − y0 = f(x) − f(x0) = f(x0 + ∆x) − f(x0).

Đặc trưng: dùng khái niệm số gia, ta rất có thể đặc trưng tính liên tục của hàm số y = f(x) trên điểm x0 như sau:

1.2 Hàm số thường xuyên trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được hotline là liên tiếp trong khoảng tầm (a; b) nếu nó liên tục tại mỗi điểm của khoảng đó.Hàm số y = f(x) được hotline là thường xuyên trên đoạn trường hợp nó:

*

1.3 các định lý về hàm số liên tục

Định lí 2. Tổng, hiệu, tích, yêu mến (với mẫu mã số không giống 0) của các hàm số liên tục tại một điểm là hàm số liên tiếp tại điểm đó. đưa sử y = f(x) với y = g(x) là nhị hàm số thường xuyên tại điểm x0. Khi đó:

Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) − g(x) với y = f(x).g(x) liên tục tại điểm x0Hàm số $y = fracfleft( x ight)gleft( x ight)$ liên tục tại x0 ví như g(x0) = 0

Định lí 3. Những hàm đa thức, hàm số hữu tỉ, lượng chất giác là liên tục trên tập xác định của nó.

*

2. Phân dạng hàm số liên tục

Dạng 1. Xét tính tiếp tục của hàm số tại một điểm

*

Dạng 2. Xét tính liên tiếp của hàm số trên một điểm

*

Dạng 3. Xét tính tiếp tục của hàm số trên một khoảng

Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số nhằm hàm số liên tiếp trên khoảng tầm I, bọn họ thực hiện theo công việc sau:

bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên những khoảng đơn.Bước 2: Xét tính tiếp tục của hàm số tại những điểm giao.Bước 3: Kết luận

Dạng 4. Sử dụng tính tiếp tục của hàm số để bệnh minh

Cho phương trình f(x) = 0, để minh chứng phương trình tất cả k nghiệm vào , ta tiến hành theo quá trình sau

*

Dạng 5. Thực hiện tính tiếp tục của hàm số để xét vệt hàm số

Sử dụng công dụng : “Nếu hàm số y = f(x) thường xuyên và không triệt tiêu bên trên đoạn thì có dấu nhất mực trên khoảng (a; b)”

3. Bài xích tập hàm số liên tục

Bài tập 1. Xét tính liên tục của hàm số sau trên điểm x0 = 1:

*

Lời giải

Dựa vào dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Hàm số xác định với gần như x ∈ R

*

Bài tập 2. Cho hàm số

*

Lời giải

Dựa vào dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một điểm

*

Bài tập 3. Chứng tỏ hàm số $fleft( x ight) = sqrt 8 – 2x^2 $ tiếp tục trên đoạn < -2; 2>

Lời giải

Dự vào dạng 3. Xét tính thường xuyên của hàm số bên trên một khoảng

Hàm số tiếp tục trên đoạn <−2; 2>

Với x0 ∈ (−2; 2), ta có: $mathop lim limits_x o x_0 sqrt 8 – 2x^2 = sqrt 8 – 2x_0^2 = fleft( x_0 ight)$

Vậy, hàm số thường xuyên trên khoảng chừng (−2; 2).

Xem thêm: Cho Các Chất Sau: Hno3, Naoh, H3Po4, K2Co3 Là Chất Điện Li Mạnh Hay Yếu

Ngoài ra, sử dụng số lượng giới hạn một bên ta chứng minh được:

Hàm số f(x) tiếp tục phải tại điểm x0 = −2.Hàm số f(x) liên tục trái trên điểm x0 = 2.Vậy, hàm số liên tiếp trên đoạn <−2; 2>.

Bài tập 4. Chứng tỏ rằng phương trình x5 + x − 1 = 0 có nghiệm trên khoảng chừng (−1; 1)

Lời giải

Dựa vào dạng 4. Sử dụng tính liên tiếp của hàm số để bệnh minh

Xét hàm số f(x) = x5 + x − 1 liên tiếp trên R ta tất cả :f(−1).f(1) = −3.1 = −3 Toán học tập giải đáp bạn rõ hơn. Chúc bạn học tập hiệu quả,