Bài viết này plovdent.com tổng thích hợp và trình làng lại một số công thức tính cấp tốc thể tích của khối tứ diện cho một số trường hợp đặc trưng hay gặp

https://www.plovdent.com/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2021-mon-toan-danh-cho-teen-2k3-12

Đồng thời trình diễn công thức tổng thể tính thể tích mang lại khối tứ diện bất kì khi biết độ dài tất cả 6 cạnh của tứ diện. Câu hỏi ghi nhớ các công thức này giúp những em xử lý nhanh một số trong những dạng bài xích khó về thể tích khối tứ diện vào đề thi THPT quốc gia 2019 - Môn Toán.

Bạn đang xem: Công thức tính nhanh

Bài viết này trích lược một số công thức cấp tốc hay sử dụng cho khối tứ diện. Các công thức cấp tốc khác tương quan đến thể tích khối tứ diện và thể tích khối lăng trụ các bạn đọc tham khảo khoá combo X vì plovdent.com tạo ra tại đây:https://www.plovdent.com/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2020-mon-toan-danh-cho-teen-2k2-9

Công thức tổng quát:Khối tứ diện $ABCD$ gồm $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ ta tất cả công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau: trong những số đó <eginalign và M=a^2d^2(b^2+e^2+c^2+f^2-a^2-d^2) \ & N=b^2e^2(a^2+d^2+c^2+f^2-b^2-e^2) \ và P=c^2f^2(a^2+d^2+b^2+e^2-c^2-f^2) \ & Q=(abc)^2+(aef)^2+(bdf)^2+(cde)^2 \ endalign>

Công thức 1: Khối tứ diện đều

Khối tứ diện những cạnh $a,$ ta gồm $V=dfraca^3sqrt212.$

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều sở hữu chiều cao bởi . Thể tích của khối tứ diện đã đến là

A. .

B. .

C. .

D. .

Giải.Thể tích tứ diện số đông cạnh $a$ là $V=fracsqrt2a^312.$

Chiều cao tứ diện hầu như là $h=frac3VS=frac3left( fracsqrt2a^312 ight)fracsqrt3a^24=sqrtfrac23aRightarrow a=sqrtfrac32h.$

Vì vậy $V=fracsqrt212left( sqrtfrac32h ight)^3=fracsqrt3h^38.$ Chọn lời giải B.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (các góc tại một đỉnh của tứ diện là góc vuông)

Với tứ diện $ABCD$ gồm $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc cùng $AB=a,AC=b,AD=c,$ ta có $V=dfrac16abc.$

Công thức 3: Khối tứ diện gần gần như (các cặp cạnh đối tương xứng bằng nhau)

Với tứ diện $ABCD$ gồm $AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c$ ta có

*

Ví dụ 1:Chokhối tứ diện $ABCD$có $AB=CD=8,AD=BC=5$ với $AC=BD=7.$ Thể tích khối tứ diện đã mang lại bằng

A. $fracsqrt303.$

B. $frac20sqrt113.$

C. $sqrt30.$

D. $20sqrt11.$

Giải. Ta gồm $V_ABCD=fracsqrt212sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac20sqrt113.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=8,AD=BC=5$ cùng $AC=BD=7.$ điện thoại tư vấn $M$ là trung điểm cạnh $AB.$Khoảng phương pháp từ điểm $A$ mang đến mặt phẳng $(CMD)$bằng

A. $fracsqrt312.$

B. $fracsqrt552.$

C. $fracsqrt212.$

D. $fracsqrt332.$

Giải. Ta tất cả $V_AMCD=fracAMABV_ABCD=frac12V_ABCD=fracsqrt224sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac10sqrt113.$

Tam giác $MCD$ bao gồm $CD=8$ với theo bí quyết đường trung con đường ta có:

$MC=sqrtfrac2(CA^2+CB^2)-AB^24=sqrtfrac2(7^2+5^2)-8^24=sqrt21.$

và $MD=sqrtfrac2(DA^2+DB^2)-AB^24=sqrtfrac2(5^2+7^2)-8^24=sqrt21.$

Vậy $S_MCD=4sqrt5.$ cho nên $d(A,(MCD))=frac3V_AMCDS_MCD=frac10sqrt114sqrt5=fracsqrt552.$ Chọn lời giải B.

Ví dụ 3:Khối tứ diện $ABCD$ gồm $AB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=7a$ có thể tích bằng

A. $sqrt95a^3.$

B. $8sqrt95a^3.$

C. $2sqrt95a^3.$

D. $4sqrt95a^3.$

Giải.Áp dụng phương pháp tính thể tích khối tứ diện gần phần đa có

$V_ABCD=dfracsqrt212sqrtleft( 5^2+6^2-7^2 ight)left( 6^2+7^2-5^2 ight)left( 7^2+5^2-6^2 ight)a^3=2sqrt95a^3.$

Chọn giải đáp C.

Công thức 4: Khối tứ diện có khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối diện của tứ diện

Tứ diện $ABCD$ gồm $AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=alpha ,$ ta gồm $V=dfrac16abdsin alpha .$

Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ gồm $AB=AC=BD=CD=1.$ khi thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá bán trị lớn nhất thì khoảng cách giữa hai tuyến đường thẳng $AD$ cùng $BC$ bằng
A. $frac2sqrt3.$ B. $frac1sqrt3.$ C. $frac1sqrt2.$ D. $frac13.$

Ví dụ 2:Cho nhì mặt mong $(S_1),(S_2)$ tất cả cùng chổ chính giữa $I$ và nửa đường kính lần lượt $R_1=2,R_2=sqrt10.$ Xét tứ diện $ABCD$ gồm hai đỉnh $A,B$ nằm ở $(S_1);$ hai đỉnh $C,D$ vị trí $(S_2).$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn nhất bằng

A. $3sqrt2.$

B. $2sqrt3.$

C. $6sqrt3.$

D. $6sqrt2.$

Giải.Gọi $a,b$ theo thứ tự là khoảng cách từ chổ chính giữa $I$ đến hai tuyến đường thẳng $AB,CD.$

Ta tất cả $AB=2sqrtR_1^2-a^2=2sqrt4-a^2;CD=2sqrtR_2^2-b^2=2sqrt10-b^2$ cùng $d(AB,CD)le d(I,AB)+d(I,CD)=a+b$ cùng $sin (AB,CD)le 1.$

Do đó áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng cách chéo cánh nhau của cặp cạnh đối lập có:

$egingathered V_ABCD = frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD) leqslant frac23(a + b)sqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 \ = frac23left( asqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 + bsqrt 10 - b^2 sqrt 4 - a^2 ight) = frac23left( sqrt 4a^2 - a^4 sqrt 10 - b^2 + sqrt frac10b^2 - b^42 sqrt 8 - 2a^2 ight) \ leqslant frac23sqrt left( 4a^2 - a^4 + 8 - 2a^2 ight)left( 10 - b^2 + frac10b^2 - b^42 ight) = frac23sqrt left( - (a^2 - 1)^2 + 9 ight)left( - frac12(b^2 - 4)^2 + 18 ight) leqslant frac23sqrt 9.18 = 6sqrt 2 . \ endgathered $

Dấu bởi đạt trên $(a;b)=(1;2).$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 3:Cho một hình trụ tất cả thiết diện qua trục là một hình vuông vắn cạnh bằng $a.$ biết rằng $AB$ và $CD$ là hai 2 lần bán kính tương ứng của nhì đáy và góc giữa hai đường thẳng $AB$ cùng $CD$ bằng $30^circ .$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$

A. $fraca^312.$

B. $fraca^3sqrt36.$

C. $fraca^36.$

D. $fraca^3sqrt312.$

Có $h=2r=a;V_ABCD=frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)=frac13.2r.2r.h.sin 30^0=fraca^36.$ Chọn đáp án C.

Công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích s hai khía cạnh kề nhau

*

Ví dụ 1: mang lại khối chóp $S.ABC$ gồm đáy $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $A,AB=a,widehatSBA=widehatSCA=90^circ ,$ góc giữa hai phương diện phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ bằng $60^circ .$ Thể tích của khối chóp đã mang đến bằng

A. $a^3.$

B. $fraca^33.$

C. $fraca^32.$

D. $fraca^36.$

Lời giải chi tiết. hotline $H=mathbfh/c(S,(ABC))$ ta có $left{ egingathered AB ot SB hfill \ AB ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AB ot (SBH) Rightarrow AB ot BH;left{ egingathered AC ot SC hfill \ AC ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AC ot (SCH) Rightarrow AC ot CH.$ Kết hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=a$ suy ra $ABHC$ là hình vuông.

*
Đặt $h=SHRightarrow V_S.ABC=frac13S_ABC.SH=fraca^2h6(1).$

Mặt không giống $V_S.ABC=frac2S_SAB.S_SAC.sin left( (SAB),(SAC) ight)3SA=frac2left( fracasqrta^2+h^22 ight)left( fracasqrta^2+h^22 ight)fracsqrt323sqrt2a^2+h^2(2).$

Từ (1) và (2) suy ra $h=aRightarrow V=fraca^36.$ Chọn lời giải D.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ bao gồm $widehatABC=widehatBCD=widehatCDA=90^0,BC=a,CD=2a,cos left( (ABC),(ACD) ight)=dfracsqrt13065.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng

A. $fraca^33.$

B. $a^3.$

C. $frac2a^33.$

D. $3a^3.$

Lời giải bỏ ra tiết. điện thoại tư vấn $H=mathbfh/c(A,(BCD)).$ Đặt $AH=hRightarrow V_ABCD=frac13S_BCD.AH=frac13.frac12CB.CD.AH=fraca^2h3(1).$

*

Ta tất cả $left{ egingathered CB ot ba hfill \ CB ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CB ot (ABH) Rightarrow CB ot HB.$ tựa như $left{ egingathered CD ot da hfill \ CD ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CD ot (ADH) Rightarrow CD ot HD.$

Kết hợp với $widehatBCD=90^0Rightarrow HBCD$ là hình chữ nhật.

Suy ra $AB=sqrtAH^2+HB^2=sqrth^2+4a^2,AD=sqrtAH^2+HD^2=sqrth^2+a^2;AC=sqrtAB^2+BC^2=sqrth^2+5a^2.$

Suy ra $S_ABC=frac12AB.BC=fracasqrth^2+4a^22;S_ACD=frac12AD.DC=asqrth^2+a^2.$

Suy ra $V_ABCD=frac2S_ABC.S_ACD.sin left( (ABC),(ACD) ight)3AC=fraca^2sqrth^2+4a^2sqrth^2+a^23sqrth^2+5a^2sqrt1-left( fracsqrt13065 ight)^2(2).$

Kết đúng theo (1), (2) suy ra: $h=3aRightarrow V_ABCD=a^3.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3:Cho hình chóp $S.ABCD$ gồm đáy là hình thoi cạnh $a,widehatABC=120^0.$ ở bên cạnh $SA$ vuông góc với đáy với góc giữa hai khía cạnh phẳng $(SBC),(SCD)$ bằng $60^0,$ lúc đó $SA$ bằng

A. $dfracsqrt6a4.$

B. $sqrt6a.$

C. $dfracsqrt6a2.$

D. $dfracsqrt3a2.$

Có $SA=x>0Rightarrow V_S.BCD=dfrac13S_BCD.SA=dfracsqrt3x12(1),left( a=1 ight).$

Mặt không giống $V_S.BCD=dfrac2S_SBC.S_SCD.sin left( (SBC),(SCD) ight)3SC=dfrac2left( dfracsqrt4x^2+34 ight)^2dfracsqrt323sqrtx^2+3(2).$

Trong kia $BC=1,SB=sqrtx^2+1,SC=sqrtx^2+3Rightarrow S_SBC=dfracsqrt4x^2+34;Delta SBC=Delta SDC(c-c-c)Rightarrow S_SCD=dfracsqrt4x^2+34.$

Từ (1) và (2) suy ra Chọn câu trả lời A.

Ví dụ 4: cho tứ diện $ABCD$ gồm $ABC$ cùng $ABD$ là tam giác hầu như cạnh bằng $a.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn nhất bằng

A. $dfraca^38.$

B. $dfraca^3sqrt212.$

C. $dfraca^3sqrt38.$

D. $dfraca^3sqrt312.$

Có $V_ABCD=dfrac2S_ABCS_ABDsin left( (ABC),(ABD) ight)3AB=dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( dfracsqrt3a^24 ight)3asin left( (ABC),(ABD) ight)le dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( fracsqrt3a^24 ight)3a=dfraca^38.$

Dấu bằng đạt tại $(ABC)ot (ABD).$ Chọn đáp án A.

Công thức 6:Mở rộng mang đến khối chóp có diện tích s mặt mặt và phương diện đáy

Khối chóp $S.A_1A_2...A_n$ có $V=dfrac2S_SA_1A_2.S_A_1A_2...A_n.sin left( (SA_1A_2),(A_1A_2...A_n) ight)3A_1A_2.$

Công thức 7: Khối tứ diện khi biết các góc tại và một đỉnh

Khối chóp $S.ABC$ gồm $SA=a,SB=b,SC=c,widehatBSC=alpha ,widehatCSA=eta ,widehatASA=gamma .$

Khi đó $V=dfracabc6sqrt1+2cos alpha cos eta cos gamma -cos ^2alpha -cos ^2eta -cos ^2gamma .$

*

Ví dụ 1:Khối tứ diện $ABCD$ gồm $AB=5,CD=sqrt10,AC=2sqrt2,BD=3sqrt3,AD=sqrt22,BC=sqrt13$ rất có thể tích bằng

A. $20.$

B. $5.$

C. $15.$

D. $10.$

Giải.

Xem thêm: Code First Là Gì - Entity Framework Làm Quen Với Asp

Tứ diện này có độ dài toàn bộ các cạnh ta tính các góc tại một đỉnh rồi áp dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa trên 3 góc bắt đầu từ cùng 1 đỉnh:

Có $left{ egingatheredhfill cos widehatBAD=dfracAB^2+AD^2-BD^22AB.AD=sqrtdfrac211 \ hfill cos widehatDAC=dfracAD^2+AC^2-CD^22AD.AC=dfrac52sqrt11 \ hfill cos widehatCAB=dfracAC^2+AB^2-BC^22AC.AB=dfrac1sqrt2 \ endgathered ight..$

Vì vậy $V_ABCD=dfrac16.5.2sqrt2.sqrt22sqrt1+2sqrtdfrac211dfrac52sqrt11dfrac1sqrt2-left( sqrtdfrac211 ight)^2-left( dfrac52sqrt11 ight)^2-left( dfrac1sqrt2 ight)^2=5.$

Chọn câu trả lời B.

*