Bài viết này plovdent.com tổng phù hợp và reviews lại một vài công thức tính nhanh thể tích của khối tứ diện cho một vài trường hợp đặc biệt hay gặp
https://www.plovdent.com/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2021-mon-toan-danh-cho-teen-2k3-12
Đồng thời trình diễn công thức tổng thể tính thể tích đến khối tứ diện bất kể khi biết độ dài tất cả 6 cạnh của tứ diện. Việc ghi nhớ các công thức này giúp các em giải quyết và xử lý nhanh một số dạng bài xích khó về thể tích khối tứ diện trong đề thi THPT quốc gia 2019 - Môn Toán.
Bạn đang xem: Công thức tính thể tích tứ diện
Bài viết này trích lược một số trong những công thức cấp tốc hay cần sử dụng cho khối tứ diện. Những công thức cấp tốc khác liên quan đến thể tích khối tứ diện cùng thể tích khối lăng trụ chúng ta đọc xem thêm khoá full bộ X bởi vì plovdent.com xây đắp tại đây:https://www.plovdent.com/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2020-mon-toan-danh-cho-teen-2k2-9
Công thức tổng quát:Khối tứ diện $ABCD$ có $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ ta gồm công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau:
Công thức 1: Khối tứ diện đều
Khối tứ diện đầy đủ cạnh $a,$ ta gồm $V=dfraca^3sqrt212.$
Ví dụ 1: Cho tứ diện đều có chiều cao bởi
A.
B.
C.
D.
Giải.Thể tích tứ diện phần đông cạnh $a$ là $V=fracsqrt2a^312.$
Chiều cao tứ diện đông đảo là $h=frac3VS=frac3left( fracsqrt2a^312 ight)fracsqrt3a^24=sqrtfrac23aRightarrow a=sqrtfrac32h.$
Vì vậy $V=fracsqrt212left( sqrtfrac32h ight)^3=fracsqrt3h^38.$ Chọn lời giải B.
Công thức 2: Khối tứ diện vuông (các góc tại một đỉnh của tứ diện là góc vuông)
Với tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc cùng $AB=a,AC=b,AD=c,$ ta có $V=dfrac16abc.$
Công thức 3: Khối tứ diện gần hầu như (các cặp cạnh đối tương xứng bằng nhau)
Với tứ diện $ABCD$ bao gồm $AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c$ ta gồm
Ví dụ 1:Chokhối tứ diện $ABCD$có $AB=CD=8,AD=BC=5$ cùng $AC=BD=7.$ Thể tích khối tứ diện đã cho bằng
A. $fracsqrt303.$ | B. $frac20sqrt113.$ | C. $sqrt30.$ | D. $20sqrt11.$ |
Giải. Ta có $V_ABCD=fracsqrt212sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac20sqrt113.$ Chọn đáp án B.
Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ bao gồm $AB=CD=8,AD=BC=5$ với $AC=BD=7.$ gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB.$Khoảng cách từ điểm $A$ mang đến mặt phẳng $(CMD)$bằng
A. $fracsqrt312.$ | B. $fracsqrt552.$ | C. $fracsqrt212.$ | D. $fracsqrt332.$ |
Giải. Ta tất cả $V_AMCD=fracAMABV_ABCD=frac12V_ABCD=fracsqrt224sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac10sqrt113.$
Tam giác $MCD$ bao gồm $CD=8$ và theo phương pháp đường trung con đường ta có:
$MC=sqrtfrac2(CA^2+CB^2)-AB^24=sqrtfrac2(7^2+5^2)-8^24=sqrt21.$
và $MD=sqrtfrac2(DA^2+DB^2)-AB^24=sqrtfrac2(5^2+7^2)-8^24=sqrt21.$
Vậy $S_MCD=4sqrt5.$ vì thế $d(A,(MCD))=frac3V_AMCDS_MCD=frac10sqrt114sqrt5=fracsqrt552.$ Chọn câu trả lời B.
Ví dụ 3:Khối tứ diện $ABCD$ gồm $AB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=7a$ có thể tích bằng
A. $sqrt95a^3.$
B. $8sqrt95a^3.$
C. $2sqrt95a^3.$
D. $4sqrt95a^3.$
Giải.Áp dụng cách làm tính thể tích khối tứ diện gần rất nhiều có
$V_ABCD=dfracsqrt212sqrtleft( 5^2+6^2-7^2 ight)left( 6^2+7^2-5^2 ight)left( 7^2+5^2-6^2 ight)a^3=2sqrt95a^3.$
Chọn giải đáp C.
Công thức 4: Khối tứ diện có khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối diện của tứ diện
Tứ diện $ABCD$ gồm $AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=alpha ,$ ta gồm $V=dfrac16abdsin alpha .$
Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ gồm $AB=AC=BD=CD=1.$ lúc thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất thì khoảng cách giữa hai tuyến phố thẳng $AD$ và $BC$ bằng| A. $frac2sqrt3.$ | B. $frac1sqrt3.$ | C. $frac1sqrt2.$ | D. $frac13.$ |
Ví dụ 2:Cho nhì mặt mong $(S_1),(S_2)$ gồm cùng trọng điểm $I$ và bán kính lần lượt $R_1=2,R_2=sqrt10.$ Xét tứ diện $ABCD$ tất cả hai đỉnh $A,B$ nằm tại $(S_1);$ nhì đỉnh $C,D$ nằm trong $(S_2).$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có mức giá trị lớn nhất bằng
A. $3sqrt2.$
B. $2sqrt3.$
C. $6sqrt3.$
D. $6sqrt2.$
Giải.Gọi $a,b$ thứu tự là khoảng cách từ chổ chính giữa $I$ đến hai tuyến đường thẳng $AB,CD.$
Ta bao gồm $AB=2sqrtR_1^2-a^2=2sqrt4-a^2;CD=2sqrtR_2^2-b^2=2sqrt10-b^2$ với $d(AB,CD)le d(I,AB)+d(I,CD)=a+b$ và $sin (AB,CD)le 1.$
Do đó áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng tầm cách chéo nhau của cặp cạnh đối lập có:
$egingathered V_ABCD = frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD) leqslant frac23(a + b)sqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 \ = frac23left( asqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 + bsqrt 10 - b^2 sqrt 4 - a^2 ight) = frac23left( sqrt 4a^2 - a^4 sqrt 10 - b^2 + sqrt frac10b^2 - b^42 sqrt 8 - 2a^2 ight) \ leqslant frac23sqrt left( 4a^2 - a^4 + 8 - 2a^2 ight)left( 10 - b^2 + frac10b^2 - b^42 ight) = frac23sqrt left( - (a^2 - 1)^2 + 9 ight)left( - frac12(b^2 - 4)^2 + 18 ight) leqslant frac23sqrt 9.18 = 6sqrt 2 . \ endgathered $
Dấu bằng đạt tại $(a;b)=(1;2).$ Chọn lời giải D.
Ví dụ 3:Cho một hình trụ gồm thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh bằng $a.$ biết rằng $AB$ với $CD$ là hai 2 lần bán kính tương ứng của hai đáy cùng góc giữa hai đường thẳng $AB$ với $CD$ bởi $30^circ .$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$
A. $fraca^312.$ | B. $fraca^3sqrt36.$ | C. $fraca^36.$ | D. $fraca^3sqrt312.$ |
Có $h=2r=a;V_ABCD=frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)=frac13.2r.2r.h.sin 30^0=fraca^36.$ Chọn giải đáp C.
Công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích s hai khía cạnh kề nhau
Ví dụ 1: mang lại khối chóp $S.ABC$ tất cả đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=a,widehatSBA=widehatSCA=90^circ ,$ góc giữa hai khía cạnh phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ bằng $60^circ .$ Thể tích của khối chóp đã đến bằng
A. $a^3.$
B. $fraca^33.$
C. $fraca^32.$
D. $fraca^36.$
Lời giải đưa ra tiết. điện thoại tư vấn $H=mathbfh/c(S,(ABC))$ ta bao gồm $left{ egingathered AB ot SB hfill \ AB ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AB ot (SBH) Rightarrow AB ot BH;left{ egingathered AC ot SC hfill \ AC ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AC ot (SCH) Rightarrow AC ot CH.$ Kết hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $A,AB=a$ suy ra $ABHC$ là hình vuông.
Mặt khác $V_S.ABC=frac2S_SAB.S_SAC.sin left( (SAB),(SAC) ight)3SA=frac2left( fracasqrta^2+h^22 ight)left( fracasqrta^2+h^22 ight)fracsqrt323sqrt2a^2+h^2(2).$
Từ (1) cùng (2) suy ra $h=aRightarrow V=fraca^36.$ Chọn đáp án D.
Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ gồm $widehatABC=widehatBCD=widehatCDA=90^0,BC=a,CD=2a,cos left( (ABC),(ACD) ight)=dfracsqrt13065.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng
A. $fraca^33.$
B. $a^3.$
C. $frac2a^33.$
D. $3a^3.$
Lời giải chi tiết. gọi $H=mathbfh/c(A,(BCD)).$ Đặt $AH=hRightarrow V_ABCD=frac13S_BCD.AH=frac13.frac12CB.CD.AH=fraca^2h3(1).$
Ta có $left{ egingathered CB ot tía hfill \ CB ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CB ot (ABH) Rightarrow CB ot HB.$ tương tự $left{ egingathered CD ot da hfill \ CD ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CD ot (ADH) Rightarrow CD ot HD.$
Kết phù hợp với $widehatBCD=90^0Rightarrow HBCD$ là hình chữ nhật.
Suy ra $AB=sqrtAH^2+HB^2=sqrth^2+4a^2,AD=sqrtAH^2+HD^2=sqrth^2+a^2;AC=sqrtAB^2+BC^2=sqrth^2+5a^2.$
Suy ra $S_ABC=frac12AB.BC=fracasqrth^2+4a^22;S_ACD=frac12AD.DC=asqrth^2+a^2.$
Suy ra $V_ABCD=frac2S_ABC.S_ACD.sin left( (ABC),(ACD) ight)3AC=fraca^2sqrth^2+4a^2sqrth^2+a^23sqrth^2+5a^2sqrt1-left( fracsqrt13065 ight)^2(2).$
Kết hợp (1), (2) suy ra: $h=3aRightarrow V_ABCD=a^3.$ Chọn câu trả lời B.
Ví dụ 3:Cho hình chóp $S.ABCD$ gồm đáy là hình thoi cạnh $a,widehatABC=120^0.$ lân cận $SA$ vuông góc cùng với đáy với góc giữa hai khía cạnh phẳng $(SBC),(SCD)$ bằng $60^0,$ lúc ấy $SA$ bằng
A. $dfracsqrt6a4.$ | B. $sqrt6a.$ | C. $dfracsqrt6a2.$ | D. $dfracsqrt3a2.$ |
Có $SA=x>0Rightarrow V_S.BCD=dfrac13S_BCD.SA=dfracsqrt3x12(1),left( a=1 ight).$
Mặt không giống $V_S.BCD=dfrac2S_SBC.S_SCD.sin left( (SBC),(SCD) ight)3SC=dfrac2left( dfracsqrt4x^2+34 ight)^2dfracsqrt323sqrtx^2+3(2).$
Trong đó $BC=1,SB=sqrtx^2+1,SC=sqrtx^2+3Rightarrow S_SBC=dfracsqrt4x^2+34;Delta SBC=Delta SDC(c-c-c)Rightarrow S_SCD=dfracsqrt4x^2+34.$
Từ (1) cùng (2) suy ra
Ví dụ 4: mang đến tứ diện $ABCD$ bao gồm $ABC$ và $ABD$ là tam giác đầy đủ cạnh bằng $a.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn số 1 bằng
A. $dfraca^38.$ | B. $dfraca^3sqrt212.$ | C. $dfraca^3sqrt38.$ | D. $dfraca^3sqrt312.$ |
Có $V_ABCD=dfrac2S_ABCS_ABDsin left( (ABC),(ABD) ight)3AB=dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( dfracsqrt3a^24 ight)3asin left( (ABC),(ABD) ight)le dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( fracsqrt3a^24 ight)3a=dfraca^38.$
Dấu bằng đạt tại $(ABC)ot (ABD).$ Chọn câu trả lời A.
Ví dụ 5: Cho lăng trụ $ABC.A"B"C"$ có diện tích tam giác $A"BC$ bởi $4,$ khoảng cách từ $A$ mang đến $BC$ bằng $3,$ góc giữa hai khía cạnh phẳng $left( A"BC ight)$ cùng $left( A"B"C" ight)$ bởi $30^circ .$ Thể tích khối lăng trụ $ABC.A"B"C"$ bằng
A. $3sqrt3.$ B.$6.$ C.$2.$ D.$12.$
Giải. Áp dụng cách làm tính thể tích tứ diện mang lại trường hòa hợp biết góc và ăn diện tích của nhị mặt
$V_ABC.A"B"C"=3V_A".ABC=3left( dfrac2S_A"BC.S_ABC.sin left( left( A"BC ight),left( ABC ight) ight)3BC ight)$
$=dfracS_A"BC.dleft( A,BC ight).BC.sin left( left( A"BC ight),left( ABC ight) ight)BC=S_A"BC.dleft( A,BC ight).sin left( left( A"BC ight),left( ABC ight) ight)=4.3.dfrac12=6.$ Chọn đáp án B.
Công thức 6:Mở rộng cho khối chóp có diện tích s mặt mặt và phương diện đáy
Khối chóp $S.A_1A_2...A_n$ tất cả $V=dfrac2S_SA_1A_2.S_A_1A_2...A_n.sin left( (SA_1A_2),(A_1A_2...A_n) ight)3A_1A_2.$
Công thức 7: Khối tứ diện lúc biết những góc tại và một đỉnh
Khối chóp $S.ABC$ gồm $SA=a,SB=b,SC=c,widehatBSC=alpha ,widehatCSA=eta ,widehatASA=gamma .$
Khi kia $V=dfracabc6sqrt1+2cos alpha cos eta cos gamma -cos ^2alpha -cos ^2eta -cos ^2gamma .$
Ví dụ 1:Khối tứ diện $ABCD$ gồm $AB=5,CD=sqrt10,AC=2sqrt2,BD=3sqrt3,AD=sqrt22,BC=sqrt13$ hoàn toàn có thể tích bằng
A. $20.$
B. $5.$
C. $15.$
D. $10.$
Giải.
Xem thêm: Phát Biểu Mệnh Đề Đảo Và Hai Mệnh Đề Tương Đương, Mệnh Đề Đảo
Tứ diện này có độ dài tất cả các cạnh ta tính những góc tại một đỉnh rồi vận dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa vào 3 góc khởi nguồn từ cùng 1 đỉnh:
Có $left{ egingatheredhfill cos widehatBAD=dfracAB^2+AD^2-BD^22AB.AD=sqrtdfrac211 \ hfill cos widehatDAC=dfracAD^2+AC^2-CD^22AD.AC=dfrac52sqrt11 \ hfill cos widehatCAB=dfracAC^2+AB^2-BC^22AC.AB=dfrac1sqrt2 \ endgathered ight..$
Vì vậy $V_ABCD=dfrac16.5.2sqrt2.sqrt22sqrt1+2sqrtdfrac211dfrac52sqrt11dfrac1sqrt2-left( sqrtdfrac211 ight)^2-left( dfrac52sqrt11 ight)^2-left( dfrac1sqrt2 ight)^2=5.$
Chọn giải đáp B.
