Phép cộng véc-tơ – Phép trừ nhì véc-tơ (Tổng hiệu của nhì véc-tơ)1. Phép cùng véc-tơ (tổng của hai véc-tơ)2. Phép trừ nhị vecto (Hiệu của hai véc-tơ)
Phép cùng véc-tơ – Phép trừ hai véc-tơ (Tổng hiệu của hai véc-tơ)

Phép cùng véc-tơ, phép trừ nhị véc-tơ là những phép toán cơ bản, với phép nhân véc-tơ với một số thực với tích vô vị trí hướng của hai véc-tơ.

Bạn đang xem: Cộng vector

Nguồn gốc sinh ra véc-tơ là nhằm biểu diễn những lực trong thiết bị lý, lúc đó có một vụ việc được đặt ra là việc tổng thích hợp lực. Bài học này để giúp trả lời sự việc trên.

Trước lúc học bài này, những em học sinh cần nắm vững kiến thức Véc-tơ là gì?

1. Phép cùng véc-tơ (tổng của nhị véc-tơ)

1.1. Phép cùng hai véc-tơ

Phép cộng hai véc-tơ $ veca+vecb$ trong khía cạnh phẳng.

Từ điểm $ O $ bất kì, dựng $ overrightarrowOA=veca,overrightarrowAB=vecb $ thì véc-tơ $ overrightarrowOB$ được điện thoại tư vấn là tổng của hai véc-tơ $ veca $ cùng $ vecb $, kí hiệu là $ veca+vecb=overrightarrowOB. $

*

Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC $, hãy dựng các véc-tơ:

$ overrightarrowAB+overrightarrowBC$,$overrightarrowAB+overrightarrowAC $.

Hướng dẫn.

Lấy một điểm $O$ bất kể trong phương diện phẳng. Theo thứ tự dựng những véc-tơ $ overrightarrowOM=overrightarrowAB$, $overrightarrowMN=overrightarrowBC$ thì ta gồm $$overrightarrowON=overrightarrowAB+overrightarrowBC.$$Vẫn thực hiện điểm $O$ sinh sống trên, ta dựng tiếp $overrightarrowMP=overrightarrowAC$ thì ta có $$overrightarrowOP=overrightarrowAB+overrightarrowAC.$$

*

1.2. Quy tắc tía điểm

Chú ý rằng, tư tưởng trên trọn vẹn không dựa vào vào câu hỏi chọn vị trí điểm $ O $. Cho nên vì vậy ta rất có thể chọn nó trùng với điểm đầu của 1 trong hai véc-tơ và việc dựng các véc-tơ $overrightarrowOA, overrightarrowAB$ đã trở nên tiện lợi hơn. Chẳng hạn, chúng ta chọn $O$ trùng với điểm đầu của $veca$ thì $overrightarrowOA$ chính là $veca$ cần ta chỉ việc dựng $overrightarrowAB$.

*

Khi đó, chúng ta có quy tắc bố điểm quy tắc ba điểm như sau:

Cho véc-tơ $overrightarrowAB$ thì với cùng một điểm $M$ tùy ý, ta luôn luôn có $$ overrightarrowAB=overrightarrowAM+overrightarrowMB. $$

Tức là, để di chuyển một trang bị từ địa điểm $ A $ cho vị trí $ B $, thay vị đi trực tiếp từ $ A $ cho tới $ B $, bạn có thể đi từ bỏ $ A $ tới một điểm $ M $ làm sao đó, rồi new từ $ M $ cho tới $ B. $ phép tắc này cũng có thể mở rộng lớn ra cho $ n $ điểm.

Lưu ý, về mặt phiên bản chất, phép cùng hai véc-tơ $ veca$ và $vecb$ là chúng ta thay nuốm (dựng) các véc-tơ đó bằng những véc-tơ lần lượt bởi $ veca, vecb$. Nhưng các véc-tơ bắt đầu này có điểm lưu ý là chúng nối liền nhau (điểm đầu của véc-tơ này lại là điểm cuối của véc-tơ kia).

Hiển nhiên, nếu có $vecc=vecb$ thì $$veca+vecb=veca+vecc.$$

Ví dụ 2. Cho hình vuông $ ABCD $ bao gồm cạnh dài 5 cm, hãy tính độ dài của các véc-tơ:

$ overrightarrowAB+overrightarrowBC$,$overrightarrowAB+overrightarrowCD$,$ overrightarrowAB+overrightarrowDC. $

Hướng dẫn. thực hiện quy tắc tía điểm, ta có:

*

$ overrightarrowAB+overrightarrowBC=overrightarrowAC$, nên suy ra $left| overrightarrowAB+overrightarrowBC ight| =left| overrightarrowAC ight| = AC=5sqrt2$ cm.$overrightarrowAB+overrightarrowCD=overrightarrowAB+overrightarrowBA=overrightarrowAA=vec0$, vì $overrightarrowCD=overrightarrowBA$. Vì thế $left|overrightarrowAB+overrightarrowCD ight| =0$.$ overrightarrowAB+overrightarrowDC. $ Dựng $overrightarrowBE =overrightarrowDC$ thì $B$ là trung điểm $AE$. Lúc đó, $overrightarrowAB+overrightarrowDC=overrightarrowAB+overrightarrowBE=overrightarrowAE$. Trường đoản cú đó kiếm được đáp số $10$ cm.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ ABC $ vuông trên $ A, AB=a,AC=2a. $ Tính độ dài của véc-tơ $ overrightarrowAB+ overrightarrowAC$ cùng $ overrightarrowBA +overrightarrowCB $.

1.3. Nguyên tắc hình bình hành

Tứ giác $ ABCD $ là hình bình hành thì $$ overrightarrowAC=overrightarrowAB+overrightarrowAD. $$

Chứng minh. Theo quy tắc tía điểm, bọn họ có $$overrightarrowAC=overrightarrowAB+overrightarrowBC$$ mặt khác, vì $ ABCD $ là hình bình hành nên tiện lợi chỉ ra được $overrightarrowAD=overrightarrowBC$, cho nên vì thế $$overrightarrowAC=overrightarrowAB+overrightarrowAD.$$

Ví dụ 4. cho hai lực $ overrightarrowF_1, overrightarrowF_2 $ đều có độ phệ 50N, vị trí đặt tại $ O $ và phù hợp với nhau góc $ 60^circ. $ Tính độ bự lực tổng hợp của nhị lực này.

Hướng dẫn. Có $ overrightarrowF_1+overrightarrowF_2=overrightarrowF=overrightarrowOF $ trong các số ấy tứ giác $ OF_1FF_2 $ là hình thoi. Vì vậy $ |overrightarrowF|=50sqrt3 $ N.

Ví dụ 5. Cho hình vuông $ ABCD $ cạnh bằng $ a $, tâm là vấn đề $ O $. Hãy dựng với tính độ dài của những véc-tơ sau:

$ vecu=overrightarrowAB+overrightarrowBC. $$ vecv=overrightarrowAB+overrightarrowOC. $$ veck=overrightarrowAO +overrightarrowDO +overrightarrowCD. $

Ví dụ 6. Cho tư điểm $ A,B,C,D $, minh chứng rằng < overrightarrowAC+overrightarrowBD=overrightarrowAD+overrightarrowBC. >

Hướng dẫn. Chúng ta chuyển đổi vế trái của đẳng thức trên

$$VT = overrightarrow AC + overrightarrow BD = overrightarrow AD + overrightarrow DC + overrightarrow BC + overrightarrow CD = overrightarrow AD + overrightarrow BC + left( overrightarrow DC + overrightarrow CD ight) = VP$$

Ví dụ 7. đến năm điểm $ A,B,C,D,E $, minh chứng rằng$$overrightarrow AB + overrightarrow CD + overrightarrow EA = overrightarrow CB + overrightarrow ED $$

Ví dụ 8. Cho sáu điểm $ A,B,C,D,E,F $, chứng minh rằng$$overrightarrow AD + overrightarrow BE + overrightarrow CF = overrightarrow AE + overrightarrow BF + overrightarrow CD $$

Ví dụ 9. cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $ O. $ chứng minh rằng$$overrightarrowDO+overrightarrowAO=overrightarrowAB,quad overrightarrowOD+overrightarrowOC=overrightarrowBC.$$

2. Phép trừ hai vecto (Hiệu của hai véc-tơ)

2.1. Véc-tơ đối

Hai véc-tơ đối nhau nếu chúng ngược phía và tất cả độ dài bởi nhau. Véc-tơ đối của $ veca $ được lí hiệu là $ -veca. $

Ví dụ 1. mang lại hình bình hành $ABCD$, hãy chỉ ra một số trong những cặp véc-tơ đối nhau.

Ví dụ 2. cho hình bình hành $ABCD$ tất cả tâm $ O $, chứng minh rằng$$overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC+overrightarrowOD=vec0 $$

2.2. Hiệu của nhì véc-tơ

Hiệu của nhì véc-tơ $ veca $ cùng $ vecb $ là tổng của $ veca $ với véc-tơ đối của $ vecb $, kí hiệu là $ veca-vecb $.$$ veca-vecb=veca+(-vecb).$$

Ví dụ 3. mang lại hình chữ nhật $ABCD$ có $ AB=3,AD=4. $ Dựng cùng tính độ nhiều năm của véc-tơ< overrightarrowAB – overrightarrowAD,quad overrightarrowCA – overrightarrowAB. >

Ví dụ 4. mang lại tam giác rất nhiều $ ABC $ có cạnh bằng $ a $ cùng $ I $ là trung điểm của $ BC $. Tính độ dài của các véc-tơ$$ overrightarrowAB-overrightarrowAC,quad overrightarrowBA-overrightarrowBI. $$

Ví dụ 5.  Cho tư điểm $A,B,C,D$. Minh chứng rằng< overrightarrowAB-overrightarrowCD=overrightarrowAC-overrightarrowBD >

Ví dụ 6. mang đến tứ giác $ ABCD $ bao gồm $ O $ là trung điểm $ AB $. Chứng minh rằng< overrightarrowOD + overrightarrowOC =overrightarrowAD+overrightarrowBC. >

Ví dụ 7. cho tam giác $ABC$ có $ M,N,P $ theo lần lượt là trung điểm của $ BC, CA, AB $ cùng $ O $ là 1 trong điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng< overrightarrowAM+overrightarrowBN +overrightarrowCP = vec0. >< overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC = overrightarrow OM + overrightarrow ON + overrightarrow OP.>

Ví dụ 8. mang lại sáu điểm $ A,B,C,D,E,F $. Chứng minh rằng

$overrightarrowAD-overrightarrowFC-overrightarrowEB=overrightarrowCD-overrightarrowEA-overrightarrowFB$.$overrightarrowAB-overrightarrowDC-overrightarrowFE=overrightarrowCF-overrightarrowDA+overrightarrowEB$.$overrightarrowCD+overrightarrowFA-overrightarrowBA-overrightarrowED+overrightarrowBC-overrightarrowFE=vec0$.

Ví dụ 9. mang đến tam giác $ ABC $. Hãy xác minh điểm $ M $ sao cho:

$overrightarrowMA-overrightarrowMB+overrightarrowMC=vec0$.$overrightarrowMB-overrightarrowMC+overrightarrowBC=vec0$.$overrightarrowMB-overrightarrowMC+overrightarrowMA=vec0$.

Hướng dẫn.

$overrightarrowMA-overrightarrowMB+overrightarrowMC=vec0Leftrightarrow overrightarrowBA+overrightarrowMC=vec0Leftrightarrow overrightarrowBA=overrightarrowCM$ xuất xắc $ BAMC $ là hình bình hành.$overrightarrowMB-overrightarrowMC+overrightarrowBC=vec0Leftrightarrow overrightarrowMB+overrightarrowBM=vec0$ tốt $ M $ là vấn đề tuỳ ý.$overrightarrowMB-overrightarrowMC=vec0Leftrightarrow overrightarrowCB+overrightarrowMA=vec0Leftrightarrow overrightarrowCB=overrightarrowAM$ tuyệt $ CBMA $ là hình bình hành.

Xem thêm: Dấu Hiệu Thỏ Sắp Chết Nhiều, Chết Nhanh Sau Vài Tiếng Dẫn Đến "Xoá Sổ" Đàn Thỏ

Ví dụ 10. mang lại hai điểm $ A $ và $ B $ phân biệt, hoàn toàn có thể tìm lấy điểm $ M $ hài lòng một trong các điều kiện sau tuyệt không?

$overrightarrowMA-overrightarrowMB=overrightarrowAB $.$overrightarrowMA-overrightarrowMB=overrightarrowBA$$overrightarrowMA+overrightarrowMB=overrightarrow0$