Dạng Bài Tập Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Đường thẳng d được gọi là vuông góc với khía cạnh phẳng (α) nếu như d vuông góc với tất cả đường thẳng phía bên trong (α).

Bạn đang xem: Dạng bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Khi kia ta còn nói (α) vuông góc với d với kí hiệu d

(α) hoặc (α) d.

II. ĐIỂU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Nếu mặt đường thẳng d vuông góc với hai tuyến đường thẳng cắt nhau phía trong mặt phẳng (α) thì d vuông góc với (α).

III. TÍNH CHẤT

1. Có duy tuyệt nhất một phương diện phẳng đi sang một điểm mang lại trước với vuông góc với một mặt đường thẳng cho trước.

2. Có tốt nhất một mặt đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một phương diện phẳng đến trước.

IV. SỰ LIÊN quan tiền GIỮA quan HỆ VUÔNG GÓC VÀ quan lại HỆ tuy nhiên SONG

1. a) Cho hai đường thẳng tuy nhiên song. Phương diện phẳng làm sao vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với mặt đường thẳng kia.

b) hai tuyến phố thẳng khác nhau cùng vuông góc cùng với một mặt phẳng thì song song với nhau.

2. a) mang đến hai khía cạnh phẳng tuy vậy song. Đường thẳng làm sao vuông góc với khía cạnh phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

b) hai mặt phẳng minh bạch cùng vuông góc cùng với một mặt đường thẳng thì tuy nhiên song với nhau.

3. a) đến đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng như thế nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với

b) nếu như một con đường thẳng cùng một khía cạnh phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một mặt đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

V. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỊNH LÍ bố ĐƯỜNG VUÔNG GÓC

1. Định nghĩa. đến đường trực tiếp d vuông góc với phương diện phẳng (α). Phép chiếu tuy vậy song theo phương d lên phương diện phẳng (α) được call là phép chiếu vuông góc lên phương diện phẳng (α).

2. Định lí cha đường vuông góc. Cho đường thẳng a phía trong mặt phẳng (α) cùng b là mặt đường thẳng ko thuộc (α) đồng thời không vuông góc với (α). Call b’ là hình chiếu vuông góc của b bên trên (α). Lúc ấy a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’

3. Góc giữa đường thẳng cùng mặt phẳng

Cho con đường thẳng d với mặt phẳng (α). Ta gồm định nghĩa :

Nếu con đường thẳng d vuông góc với phương diện phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d cùng mặt phẳng (α) bởi 90°.Nếu con đường thẳng d không vuông góc với phương diện phẳng (α) thì góc thân d và hình chiếu d’ của nó trên (à) được điện thoại tư vấn là góc giữa đường thẳng d cùng mặt phẳng (α).

Lưu ý rằng góc giữa mặt đường thẳng cùng mặt phẳng không vượt thừa 90°.

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Vấn đề 1

Chứng minh đưòng thẳng vuông góc với khía cạnh phẳng

1. Cách thức giải

Muốn chứng minh đường trực tiếp a vuông góc với khía cạnh phẳng (α) tín đồ ta hay được sử dụng một trong nhị cách dưới đây :

Chứng minh con đường thẳng a vuông góc với hai tuyến đường thẳng cắt nhau nằm trong (α).Chứng minh đường thẳng a song song với mặt đường thẳng b nhưng b vuông góc với (α).

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Hình chóp S.ABCD gồm đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với khía cạnh phẳng (ABCD). điện thoại tư vấn H, I vầK theo lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD.

a) chứng tỏ BC

(SAB), CD (SAD) và BD (SAC).

b) minh chứng SC 

(ẠHK) cùng điểm I ở trong (AHK).

c) minh chứng HK

(SAC), từ kia suy ra HK AI.

Giải

a) BC 

AB vì đáy ABCD là hình vuông (h.3.24)

BC 

SA do SA (ABCD) cùng BC nằm trong (ABCD).

Do kia BC

(SAB) bởi vì BC vuông góc với hai đường thẳng giảm nhau vào (SAB).

Lập luận giống như ta có CD

AD với CD SA đề xuất CD (SAD).

Ta gồm BD

AC vì đáy ABCD là hình vuông vắn và BD SA phải BD (SAC). 

b) BC

(SAB) cơ mà AH ⊂ (,SAB) bắt buộc BC AH và theo đưa thiết SB AH ta suy ra AH (SBC).

Vì SC ⊂ (SBC) nên AH 

SC.

Lập luận giống như ta chứng minh được AK

SC. Hai tuyến phố thẳng AH, AK cắt nhau và cùng vuông góc cùng với SC cần chúng phía bên trong mặt phẳng đi qua điểm A với vuông góc với SC. Vậy SC (AHK). Ta có AI ⊂ (.AHK) bởi vì nó đi qua điểm A và cùng vuông góc cùng với SC.

Hai tam giác vuông SAB cùng SAD đều nhau vì chúng gồm cạnh SA tầm thường và AB AD (c.g.c). Vì vậy SB = SD, SH = SK nên HK // BD.

Vì BD

(SAC) đề nghị HK (SAC) và vày AI c= (SAC) phải HK AI.

Ví dụ 2. Hình chóp S.ABCD gồm đáy là hình thoi ABCD chổ chính giữa O và gồm SA = SC, SB = SD.

a) chứng minh so vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

b) gọi I, K theo lần lượt là trung điểm của những cạnh BA, BC.

Chứng minh rằng IK

(SBD) với IK SD.

Giải

a) O là trung khu hình thoi ABCD nên O là trung điểm của đoạn AC (h.3.25). Tam giác SAC gồm SA = SC đề xuất so

ÁC. Chứng minh giống như ta gồm SO BD. Từ đó ta suy ra SO (ABCD).

b) bởi đáy ABCD là hình thoi cần AC

BD

Mặt không giống ta bao gồm AC

SO. Do đó AC (SBD). Ta bao gồm IK là con đường trung bình của tam giác BAC bắt buộc IK // AC cơ mà AC (SBD) phải IK (SBD).

Ta lại sở hữu SD nằm trong mặt phẳng (SBD) đề nghị IK

SD.

Vấn đề 2

Chứng minh hai tuyến phố thẳng vuông góc với nhau bằng phương pháp chứng minh con đường thẳng nàỵ vuông góc với khía cạnh phẳng chứa đường trực tiếp kia

1. Phương pháp giảiMuốn chứng minh đường trực tiếp a vuông góc với đường thẳng b, ta tìm mặt phẳng (β) chứa đường thẳng b thế nào cho việc chứng minh a (β) dễ dàng thực hiện.Sử dụng định lí tía đường vuông góc.2. Ví dụ

Ví dụ 1. đến tứ diện gần như ABCD. Minh chứng các cặp cạnh đối lập của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.

Giải

Giả sử ta cần chứng tỏ AB

CD.

Gọi I là trung điểm của cạnh AB (h3.26). Ta bao gồm :

Do đó AB

CD vày CD phía bên trong mặt phẳng (CID).

Bằng lập luận tựa như ta chứng tỏ được BC

AD và AC BD.

Ví dụ 2. đến tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC song một vuông góc với nhau. Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) trên H. Chứng minh :

a) OA 

BC, OB  CA cùng OC  AB

b) H là trực trọng điểm của tam giác ABC;

Giải

⇒ OA 

(OBC) ⇒ OA  BC (h.3.27).

Tương từ bỏ ta chứng tỏ

OB

(OCA) ⇒ OB CA

OC

(OAB) ⇒ OC AB.b) vày OH  (ABC) bắt buộc OH BC cùng OA BC

⇒ BC

(OAH) ⇒ BC AH. (1)

Chứng minh tương tự ta tất cả AC

(OBH) ⇒ AC BH. (2)Từ (1) với (2) ta suy ra H là trực trung ương của tam giác ABC.

Gọi K là giao điểm của AH và Trong tam giác AOK vuông trên O, ta tất cả OH là con đường cao. Nhờ vào hệ thức lượng trong tam giác vuông của hình học phẳng ta tất cả :

Vì BC vuông góc vói phương diện phẳng (OAH) phải BC _L OK. Vì chưng đố vào tam giác OBC vuông trên o với mặt đường cao OK ta có :

Ví dụ 3. Hình chóp S.ABCD tất cả đáy là hình chữ nhật ABCD và có ở bên cạnh SA vuông góc với khía cạnh phẳng đáy. Chứng tỏ các mặt mặt của hình chóp đã mang lại là phần đa tam giác vuông.

Giải

SA

AB cùng SA AD (h.3.28).

Vậy các tam giác SAB với SAD là các tam giác vuông trên A.

Vậy tam giác SDC vuông trên D cùng tam giác SBC vuông trên B.

Chú thích. Muốn chứng minh tam giác SDC vuông trên D ta hoàn toàn có thể áp dụng định lí bố đường vuông góc cùng lập luận như sau

Đường thẳng SD có hình chiếu vuông góc cùng bề mặt phẳng (ABCD) là AD. Theo định lí bố đường vuông góc vì chưng CD

AD buộc phải CD SD và ta gồm tam giác SDC vuông tại D.

Tương tự, ta chứng tỏ được CB

SB cùng ta bao gồm tam giác SBC vuông trên B.

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

3.16. Một đoạn thẳng AB không vuông góc với khía cạnh phẳng (α) giảm mặt phẳng này tại trung điểm O của đoạn trực tiếp đó. Các đường trực tiếp vuông góc với (α) qua A với B lần lượt cắt mặt phẳng (α) trên A’ với B’.

Chứng minh cha điểm A’, O, B’ trực tiếp hàng và AA’ = BB’.

⇒ Xem giải đáp tại đây.

3.17. Cho tam giác gọi (α) là phương diện phẳng vuông góc với mặt đường thẳng CA tại A cùng (β) là phương diện phẳng vuông góc với con đường thẳng CB trên B. Chứng tỏ rằng nhì mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau và giao tuyến d của bọn chúng vuông góc với khía cạnh phẳng (ABC).

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.18. Cho hình lăng trụ tam giác A’B’C’. điện thoại tư vấn H là trực vai trung phong của tam giác ABC và biết rằng A’H vuông góc với khía cạnh phẳng (ABC). Minh chứng rằng :

a )AA’

BC và lAA’ B’C’.

b) hotline MM’ là giao tuyến đường của phương diện phẳng (ẠHA’) với mặt bên BCC’B’ trong các số đó M ∈ BC cùng M’ ∈ B’C’. Chứng minh rằng tứ giác BCC’B’ là hình chữ nhật và MM’ là mặt đường cao của hình chữ nhật đó.

⇒ Xem lời giải tại đây.

3.19. Hình chóp tam giác ABC có đáy ABC là tam giác vuông trên A và bao gồm canh bên SA vuông góc với khía cạnh phẳng đáy là (ABC). Gọi D là vấn đề đối xứng của điểm B qua trung điểm o của cạnh AC. Chứng minh rằng CD

CA với CD (SCA).

⇒ Xem câu trả lời tại đây.

3.20. Hai tam giác cân ABC cùng DBC nằm trong hai phương diện phẳng khác nhau có phổ biến cạnh đáy BC tạo cho tứ diện hotline I là trung điểm của cạnh BC.

a) chứng tỏ BC

AD

b) gọi AH là mặt đường cao của tam giác ADI

Chứng minh rằng AH vuông góc vói phương diện phẳng (BCD).

⇒ Xem lời giải tại đây.

Xem thêm: Hãy Chỉ Ra Một Trong Những Chức Năng Của Tiền Tệ, Các Chức Năng Của Tiền Tệ

3.21. Chứng minh rằng tập hợp phần nhiều điểm phương pháp đều cha đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng d vuông góc với phương diện phẳng (ABC) tại trọng tâm O của đường tròn (C) nước ngoài tiếp tam giác ABC đó.