Để tính đạo hàm của hàm phân thức hữu tỉ thì các bạn sử dụng tầm thường một công thức:
$left(dfracuv ight)’=dfracu’.v-u.v’v^2$
Một số dạng đặc biệt quan trọng của hàm phân thức:
$ left (dfrac1x ight)’=dfrac-1x^2$; $ left (dfrac1u ight)’=dfrac-u’u^2$
Tuy nhiên cũng đều có một số hàm phân thức chúng ta cũng có thể sử dụng những phương pháp tính đạo hàm nhanh. Thầy đã nói rõ ràng trong từng dạng dưới nhé.
1. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 1/ bậc 1
$y=dfracax+bcx+d$
Công thức tính cấp tốc đạo hàm: $y’=dfracad-bc(cx+d)^2$
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số sau:a. $y=dfrac2x+34x+2$ b. $y=dfrac-x-22x+5$
Hướng dẫn:
a. $y=dfrac2x+34x+2$
=> $y’=dfrac(2x+3)’.(4x+2)-(2x+3).(4x+2)’(4x+2)^2$
=> $y’=dfrac2(2x+2)-(2x+3).4(4x+2)^2$
=> $y’=dfrac8x+4-8x-12(4x+2)^2$
=> $y’=dfrac-8(4x+2)^2$
Sử dụng công thức tính cấp tốc đạo hàm:
$y’=dfrac2.2-3.4(4x+2)^2$ => $y’=dfrac-8(4x+2)^2$
b. $y=dfrac-x-22x+5$
=> $y’=dfrac(-x-2)’.(2x+5)-(-x-2)(2x+5)’(2x+5)^2$
=> $y’=dfrac-1.(2x+5)-(-x-2).2(2x+5)^2$
=> $y’=dfrac-2x-5+2x+4(2x+5)^2$
=> $y’=dfrac-1(2x+5)^2$
Sử dụng phương pháp nhanh tính đạo hàm:
$y= dfrac-x-22x+5$ => $y’=dfrac(-1).5-(-2).2(2x+5)^2=dfrac-5+4(2x+5)^2=dfrac-1(2x+5)^2$
2. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 1
$y=dfracax^2+bx+cdx+e$
Công thức tính nhanh đạo hàm:$y=dfracadx^2+2aex+be-cd(dx+e)^2$
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số sau:a. $y=dfracx^2+2x+34x+5$b. $y=dfrac2x^2+3x-4-5x+6$
Hướng dẫn:
a. $y’=dfrac(x^2+2x+3)’.(4x+5)-(x^2+2x+3)(4x+5)’(4x+5)^2$
=> $y’=dfrac(2x+2).(4x+5)-(x^2+2x+3).4(4x+5)^2$
=> $y’=dfrac8x^2+18x+10-4x^2-8x-12(4x+5)^2$
=> $y’=dfrac4x^2+10x-2(4x+5)^2$
Sử dụng phương pháp giải nhanh đạo hàm:
$y’=dfrac1.4x^2+2.1.5x+2.5-3.4(4x+5)^2=dfrac4x^2+10x-2(4x+5)^2$
b. $y’=dfrac(2x^2+3x-4)’.(-5x+6)-(2x^2+3x-4).(-5x+6)’(-5x+6)^2$
=> $y’=dfrac(4x+3).(-5x+6)-(2x^2+3x-4).(-5)(-5x+6)^2$
=> $y’=dfrac-20x^2+9x+18-(-10x^2-15x+20)(-5x+6)^2$
=> $y’=dfrac-20x^2+9x+18+10x^2+15x-20)(-5x+6)^2$
=> $y’=dfrac-10x^2+24x-2(-5x+6)^2$
Sử dụng công thức tính nhanh đạo hàm:
$y’=dfrac2.(-5)x^2+2.2.6x+3.6-(-4)(-5)(-5x+6)^2=dfrac-10x^2+24x-2(-5x+6)^2$
3. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2
$y=dfraca_1x^2+b_1x+c_1a_2x^2+b_2x+c_2$
Công thức tính cấp tốc đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2
=> $y’=dfrac(a_1b_2-a_2b_1)x^2+2(a_1c_2-a_2c_1)x+b_1c_2-b_2c_1(a_2x^2+b_2x+c_2)^2$
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số sau:a. $y=dfracx^2+x-2-x^2+3x+2$
Ta có:
$y’=dfrac(x^2+x-2)’.(-x^2+3x+2)-(x^2+x-2).(-x^2+3x+2)’(-x^2+3x+2)^2$
=> $y’=dfrac(2x+1).(-x^2+3x+2)-(x^2+x-2).(-2x+3)(-x^2+3x+2)^2$
=> $y’=dfrac-2x^3+6x^2+4x-x^2+3x+2+2x^3-3x^2+2x^2-3x-4x+6(-x^2+3x+2)^2$
=> $y’=dfrac4x^2+8(-x^2+3x+2)^2$
Sử dụng phương pháp tính nhanh đạo hàm:
$y’=dfrac<1.3-1.(-1)>x^2+2<1.2-(-2)(-1)>x+<1.2-(-2).3> (-x^2+3x+2)^2 $
=> $y’=dfrac4x^2+8(-x^2+3x+2)^2$
4. Một trong những trường hợp quan trọng đặc biệt khi tính đạo hàm của hàm phân thức
Ví dụ 4: Tính đạo hàm những hàm số sau:a. $y=dfrac2x^2-2x+3$b. $y=left(dfracx+23x-1 ight)^3$
Hướng dẫn:
a. $y’=dfrac-2.(x^2-2x+3)’(x^2-2x+3)^2=dfrac-2(2x-2)(x^2-2x+3)^2$
b. $y’=3.left(dfracx+23x-1 ight)^2left(dfracx+23x-1 ight)’= 3.left(dfracx+23x-1 ight)^2.dfrac-7(3x-1)^2 $
(ý này chúng ta áp dụng cách làm đạo hàm $u^alpha=alpha.u^alpha-1.u’$ nhé)
Bài giảng trên cũng khá chi tiết và rất đầy đủ về những dạng toán tính đạo hàm của một số hàm phân thức hữu tỉ.
Bạn đang xem: Đạo hàm hàm phân thức
Xem thêm: Mẫu Hình Vẽ Tranh Nét Đứt Mẫu Tập Tô Chữ Cái Cho Bé 5 Tuổi Bản Đẹp
Nói chúng để tính được đạo hàm dạng này thì chúng ta chỉ cần sử dụng chung duy nhất một cách làm $(dfracuv)’$ là hoàn toàn có thể tính dễ chịu và thoải mái rồi. Nếu chúng ta có thêm phương pháp tính nào giỏi thì hãy chia sẻ dưới khung phản hồi nhé.