Hàm số luỹ quá là hàm số có dạng(y=x^alpha), trong đó(alpha)là một hằng số tuỳ ý.Từ định nghĩa các luỹ thừa, ta thấy:
- Hàm số(y=x^n)với n nguyên dương, xác định với mọi(x in mathbbR).
Bạn đang xem: Đạo hàm hàm số lũy thừa
- Hàm số (y=x^n), cùng với n nguyên âm hoặc n = 0,xác định với mọi(x in mathbbRackslash left 0 ight\).
- Hàm số(y=x^alpha), với (alpha)không nguyên, tất cả tập xác minh là tập hợp những số thực dương(left( 0; + infty ight))
Người ta chứng tỏ được rằng hàm số lũy thừa liên tiếp trên tập xác minh của nó.
Chú ý:
Theo định nghĩa, đẳng thức(sqrt
2. Đạo hàm của hàm số luỹ thừa
a) Định lý
- Hàm số luỹ quá (y = x^alpha (alpha in mathbbR))có đạo hàm tại hầu như điểm (x>0)và(left( x^alpha ight)" = alpha x^alpha - 1).
- ví như hàm số(u=u(x))nhận giá trị dương và tất cả đạo hàm bên trên (J)thì hàm số (y = u^alpha (x).)cũng gồm đạo hàm trên (J)và(left( u^alpha left( x ight) ight)" = alpha .u^alpha - 1(x).u"(x)).
b) Chú ý:- Áp dụng định lí trên, ta dễ dàng chứng tỏ công thức đạo hàm của hàm số căn bậc n sau đây:(left( sqrt
- giả dụ (u=u(x))là hàm số gồm đạo hàm trên (J)và toại nguyện điều kiện(u(x)>0)với số đông (x in J)khi n chẵn,(u(x) e0)với mọi(x in J)khi n lẻ thì:
(left( sqrt
Nhận xét: Do(1^alpha =1)với mọi(alpha)nên vật dụng thị của mọi hàm số lũy thừa đều đi qua điểm(1;1).
3. điều tra khảo sát hàm số lũy thừa(y=x^alpha)
- Tập khẳng định của hàm số lũy thừa luôn chưa khoảng(left( 0; + infty ight))với mọi(alpha in mathbbR).
- vào trường hợp tổng quát ta điều tra hàm số(y=x^alpha)trên khoảng chừng này, ta được bảng bắt tắt sau:
- ngoại hình của thứ thị hàm số lũy thừa trong những trường hòa hợp xét bên trên tập(left( 0; + infty ight)):
Chú ý:
Khi điều tra khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cầm cố thể, ta cần xét hàm số kia trên toàn bộ tập khẳng định của nó.
4. Bài tập minh họa
Ví dụ 1:Tìm tập xác minh của các hàm số sau:
a)(y=x^6)
b)(y=(1-x)^sqrt2)
c)(y=(x+2)^-3)
Lời giải:a) Hàm số(y=x^6)xác định cùng với mọi(xinmathbbR).
Xem thêm: Sở Gd Hà Nội - Tin Giáo Dục Hà Nội
Vậy tập khẳng định của hàm số là(D=mathbbR.)
b) Hàm số(y=(1-x)^sqrt2)xác định khi(1 - x > 0 Leftrightarrow x Ví dụ 2:
Tính đạo hàm những hàm số
a)(y = x^sqrt 2 + 1)
b)(y = x^3pi )
c)(y=x^-0,9)
Lời giải:a)(y" = - frac12x^ - frac12 - 1 = - frac12x^ - frac32 = - frac12sqrt x^3 .)
b)(y" = 3pi .x^3pi - 1).
c)(y" = - 0,9x^ - 0,9 - 1 = - 0,9x^ - 1,9.)
Ví dụ 3:Tính đạo hàm các hàm số sau:
a)(y = (2x + 1)^pi )
b)(y = (3x^2 - 1)^ - sqrt 2 )
c)(y = left( 2x^2 + x - 1 ight)^frac23)
Lời giải:a)(y" = pi (2x + 1)^pi - 1(2x + 1)" = 2pi (2x + 1)^pi - 1.)
b)(y" = - sqrt 2 left( 3x^2 - 1 ight)^ - sqrt 2 - 1(3x^2 - 1)" = - 6sqrt 2 x(3x^2 - 1)^ - sqrt 2 - 1.)