Điều Kiện Có Nghiệm Của Phương Trình Lượng Giác, Phương Trình Lượng Giác Có Điều Kiện

Phương trình lượng giác luôn là dạng toán gây khó khăn cho nhiều em, vị dạng toán cũng rất đa dạng và tập nghiệm lại mang tính tổng quát. Và câu hỏi giải biện luận phương trình có tham số m đã càng tinh vi hơn bởi đòi hỏi kiến thức tổng thể hơn.

Bạn đang xem: Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác

Việc giải cùng biện luận phương trình lượng giác gồm chứa thông số m sẽ giúp các em nắm được giải pháp giải một các tổng quát, thông qua đó khi giải những phương trình lượng giác rõ ràng sẽ cảm thấy thuận tiện hơn siêu nhiều.

Với các câu hỏi lượng giác đựng tham số thường yêu ước tìm đk của tham số để phương trình bao gồm nghiệm hoặc tìm điều kiện của tham số để phương trình bao gồm n nghiệm ở trong một khoảng tầm D như thế nào đó. Nội dung bài viết dưới đây, sẽ giúp đỡ các em thâu tóm được phương pháp giải dạng phương trình này.

I. Biện pháp giải phương trình lượng giác cất tham số m

Cho phương trình lượng giác gồm chứa tham số m dạng Q(m,x) = 0 (*)

Để giải bài toán biện luận phương trình lượng giác tất cả chứa thông số m ta thường áp dụng hai phương pháp sau:

• cách 1: phương pháp tam thức bậc 2 (áp dụng khi đưa Q(m,x) về dạng tam thức bậc 2)

- cách 1: Đặt ẩn phụ t = h(x) trong những số ấy h(x) là 1 trong những biểu thức thích hợp trong phương trình (*)

- bước 2: kiếm tìm miền giá trị (điều kiện) của t bên trên tập khẳng định D (x ∈ D). Hotline miền cực hiếm của t là D1

- cách 3: Đưa phương trình (*) về phương trình dạng f(m,t) = at2 + bt + c = 0 (**)

- bước 4: Giải (**) tìm đk để tam thức f(m,t) gồm nghiệm

- cách 5: Kết luận

• Cách 2: Phương pháp đạo hàm

- bước 1: Từ phương trình (*): Q(x,m) = 0 ta thường biến đổi về dạng F(x) = m và đặt ẩn phụ để lấy về dạng G(t) = m.

- Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác minh D (x ∈ D). điện thoại tư vấn miền quý hiếm của t là D1

- bước 3: Lập bảng đổi mới thiên của hàm số G(t) bên trên miền khẳng định D1

- cách 4: nhờ vào bảng phát triển thành thiên của hàm số nhằm biện luận nghiệm của phương trình.

• Một số dạng đặc biệt quan trọng như phương trình: asinx + bcosx = c gồm nghiệm ⇔ a2 + b2 ≥ c2.

II. Giải và biện luận phương trình tất cả chứa tham số m qua lấy ví dụ minh họa

* ví dụ như 1: kiếm tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2sin2x - sinx.cosx - cos2x - m = 0 (*)

* Lời giải:

- Ta có:

(*) tất cả nghiệm ⇔ 12 + 32 ≥ (1 - 2m)2

⇔ 4m2 - 4m - 9 ≤ 0

⇔

Vậy cùng với

thì phương trình (*) gồm nghiệm.

* lấy ví dụ 2: tìm m để phương trình sau tất cả nghiệm x (0; π/4)

mcos2x - 4sinx.cosx + m - 2 = 0 (*)

* Lời giải:

Với x∈(0; π/4) suy ra cosx ≠ 0.

Có sử dụng các công thức lượng giác cơ bản:

Ta chia cả nhị vế của phương trình đến cos2x ≠ 0 ta được:

m - 4tanx + (m - 2)(1 + tan2x) = 0

⇔ (m - 2)tan2x - 4tanx + 2m - 2 = 0 (**)

Đặt t = tanx vì x∈(0; π/4) phải t∈(0;1), ta được

(m - 2)t2 - 4t + 2m - 2 = 0 (***)

Khi kia (*) có nghiệm x∈(0;π/4) khi và chỉ khi (***) có nghiệm t∈(0;1)

Ta rất có thể sử dụng một trong những hai phương pháp giải đã nêu ngơi nghỉ trên và vấn đề này.

* biện pháp 1: áp dụng tam thức bậc 2 (giải giống như cách giải với biện luận phương trình bậc 2 một ẩn có tham số).

+) cùng với m - 2 = 0 ⇔ m = 2 lúc ấy (***) bao gồm dạng:

-4t + 2 = 0 ⇔ t = 1/2∈(0;1)

Vậy m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài bác toán

+) Với m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 lúc ấy (***) có nghiệm t∈(0;1) rất có thể xảy ra 2 ngôi trường hợp

- TH1: pt(***) có một nghiệm thuộc đoạn (0;1), tức là:

f(0).f(1)

⇔ 1

- TH2: pt(***) tất cả 2 nghiệm ở trong đoạn (0;1)

Không có mức giá trị nào m thỏa

(Giải thích ý nghĩa sâu sắc hệ trên: Δ"≥0 nhằm phương trình gồm 2 nghiệm; af(1)>0 nhằm 1 ở ngoài khoảng tầm 2 nghiệm; af(0)>0 nhằm 0 ở ngoài khoảng tầm hai nghiệm; 0

⇒ Kết luận: với 1

* cách 2: Dùng cách thức đạo hàm (hàm số)

- Viết lại phương trình: (m - 2)t2 - 4t + 2m - 2 = 0

⇔ mt2 - 2t2 - 4t + 2m - 2 = 0

⇔ (t2 + 2)m = 2t2 + 4t + 2