Cưc đại và cực tiểu là gì? Cách xác định điểm rất trị của hàm số

 Định nghĩa điểm cực đại cực tiểu

Cho hàm số $y=fleft( x ight)$ xác định và thường xuyên trên khoảng $left( a;b ight)$ (có thể $a$ là $-infty $; $b$ là $+infty $) cùng điểm $x_0in left( a;b ight)$

a) Nếu tồn trên số $h>0$ sao cho $fleft( x ight)0$ sao cho $fleft( x ight)>fleft( x_0 ight)$ với mọi $xin left( x_0-h;x_0+h ight)$ với $x e x_0$ thì ta nói hàm số $fleft( x ight)$ đạt cực tiểu trên $x_0$.

Bạn đang xem: Giá trị cực đại là x hay y

Chú ý về điểm rất trị

- Nếu hàm số $fleft( x ight)$đạt cực lớn (cực tiểu) tại điểm $x_0$ thì $x_0$được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; $fleft( x_0 ight)$ được call là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, ký kết hiệu là $f_CDleft( f_CT ight)$, còn điểm $Mleft( x_0;fleft( x_0 ight) ight)$ được hotline là điểm cực to (điểm rất tiểu) của đồ thị hàm số.

- Các điểm cực đại cực đái được điện thoại tư vấn chung là điểm cực trị.

- Dễ dàng minh chứng được rằng, nếu hàm số $y=fleft( x ight)$ có đạo hàm trên khoảng $left( a;b ight)$ cùng đạt cực đại hoặc rất tiểu tại $x_0$ thì $f"left( x_0 ight)=0.$

 Định lý 1: Giả sử hàm số $y=fleft( x ight)$liên tục trên khoảng chừng $K=left( x_0-h;x_0+h ight)$ và gồm đạo hàm trên $K$ hoặc bên trên $Kackslash left x_0 ight,$ cùng với $h>0$.

- nếu như $f"left( x_0 ight)>0$ trên khoảng chừng $left( x_0-h;x_0 ight)$và $f"left( x_0 ight)

- Nếu $f"left( x ight)$ đổi vệt khi qua điểm $x_0$ thì $x_0$ là điểm rất trị của hàm số.

- Nếu $f"left( x ight)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại của hàm số.

- Nếu $f"left( x ight)$ đổi dấu từ âm sang trọng dương khi qua điểm $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Chú ý: Hàm số $y=sqrtx^2=left| x ight|$ có đạo hàm là $y"=frac2x2sqrtx^2$ không tồn tại đạo hàm trên điểm $x=0$ mặc dù $y"$ vẫn đổi lốt từ âm quý phái dương khi qua điểm $x=0$ yêu cầu hàm số đạt cực tiểu trên điểm $x=0$.

 Định lý 2: đưa sử hàm số  có đạo hàm cung cấp hai trong vòng  với . Khi đó:

- ví như $left{ eginmatrix f"left( x_0 ight)=0 \ f""left( x_0 ight)>0 \endmatrix ight.Rightarrow x_0$ là điểm cực tiểu.

- nếu như $left{ eginmatrix f"left( x_0 ight)=0 \ f""left( x_0 ight)Chú ý: Nếu $f"left( x_0 ight)=0$ cùng $f""left( x_0 ight)=0$ thì không thể khẳng định được $x_0$ là điểm cực to hay điểm rất tiểu hay cực trị của hàm số.

Bài tập: Hàm số $y=x^3$ gồm $left{ eginmatrix f"left( 0 ight)=0 \ f""left( 0 ight)=0 \endmatrix ight.$ mặc dù hàm số này không đạt rất trị trên điểm $x=0$.

Hàm số $y=x^4$ tất cả $left{ eginmatrix f"left( 0 ight)=0 \ f""left( 0 ight)=0 \endmatrix ight.$ tuy vậy hàm số này đạt rất tiểu trên điểm .

Xem thêm: Istqb Là Gì - Istqb Foundation Là Gì

Do vậy ta chú ý định lý 2 chỉ đúng theo một chiều (không tất cả chiều ngược lại).
Luyện bài bác tập áp dụng tại đây!