Bất đẳng thức Cô-si: lý thuyết cần ghi nhớ và những dạng bài xích tập thường xuyên gặp

Bất đẳng thức Cô-si hay bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và vừa đủ nhân của n số thực ko âm. Nội dung bài viết hôm nay, trung học phổ thông Sóc Trăng sẽ reviews về một số kiến thức yêu cầu nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cô si) và một trong những dạng bài xích tập hay gặp. Bạn tò mò nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI


1. Bất đẳng thức Cô-si là gì ?

Bạn sẽ xem: Bất đẳng thức Cô-si: kim chỉ nan cần ghi lưu giữ và những dạng bài xích tập hay gặp

Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Gồm nhiều cách để chứng minh bđt này mà lại hay duy nhất là cách chứng minh quy nạp của Cauchy.

Bạn đang xem: Hệ quả bất đẳng thức cosi


Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được tuyên bố như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn to hơn hoặc bởi trung bình nhân của chúng, với trung bình cùng chỉ bởi trung bình nhân khi còn chỉ khi n số đó bởi nhau.

*
*

Dấu “=” xẩy ra khi còn chỉ khi a = b

– Bất đẳng thức Cô mê man với n số thực ko âm:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi 

*

2. Những dạng tuyên bố của bất đẳng thức Cô-si

a. Dạng bao quát của bất đẳng thức Cô-si

Cho 

*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
x_1 - x_2 và ne 0 <3pt> left( x_1 - x_2 right) ^2 và > 0 <3pt> x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2 và > 0 <3pt> x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2 và > 4 x_1 x_2 <3pt> left( x_1 + x_2 right) ^2& > 4 x_1 x_2 <3pt> Bigl( fracx_1 + x_22 Bigr)^2 & > x_1 x_2 <3pt> fracx_1 + x_22 & > sqrtx_1 x_2 endalign " />

điều đề nghị chứng minh.

d. Trường phù hợp n = 2k

Xem xét các trường hợp n= 2 k, với k là một vài nguyên dương. Cửa hàng chúng tôi tiến hành bằng quy nạp toán học.

Trong trường thích hợp cơ bản,k = 1, tức n = 2, bất đẳng thức đang được chứng tỏ ở trên.

Khi, có một giá trị k> 1 bất kỳ, trả sử rằng bất đẳng thức đúng với n = 2k−1, với cần chứng minh rằng nó vẫn đúng khi n = 2k. Để làm như vậy, các bước được thực hiện như sau:

*
*
*
*
sqrt<2^k>x_1 x_2 cdots x_2^k" />

(điều cần chứng minh).

e. Trường vừa lòng n k

Nếu n không phải là 1 trong những hàm mũ tự nhiên cơ số 2, thì nó chắc hẳn rằng là nhỏ tuổi hơn một vài nào đó theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2, bởi chuỗi 2, 4, 8,…, 2k,… không bị ngăn trên. Vì đó, nhưng mà không mất tính tổng quát, với m giá trị tuân thủ theo đúng hàm mũ tự nhiên và thoải mái cơ số 2 khủng hơn n.

Xem thêm: Đón Xem Bài Giải Các Môn Thi Online Thpt Quốc Gia 2019 Có Đáp Án

Vì vậy, nếu ta có n số, thì ta có thể biểu diễn quý giá trung bình cộng α, và được không ngừng mở rộng như sau:

*
*
và = fracfracmn left( x_1 + x_2 + cdots + x_n right)m <6pt> & = fracx_1 + x_2 + cdots + x_n + fracm-nn left( x_1 + x_2 + cdots + x_n right)m <6pt> & = fracx_1 + x_2 + cdots + x_n + left( m-n right) alpham <6pt> và = fracx_1 + x_2 + cdots + x_n + x_n+1 + cdots + x_mm <6pt> và > sqrtx_1 x_2 cdots x_n x_n+1 cdots x_m <6pt> và = sqrtx_1 x_2 cdots x_n alpha^m-n,, endalign " />

như vậy

x_1 x_2 cdots x_n alpha^m-n <5pt> alpha^n và > x_1 x_2 cdots x_n <5pt> alpha & > sqrtx_1 x_2 cdots x_n endalign " />

điều buộc phải chứng minh.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

a. Bài tập tất cả lời giải:

Bài 1: Tìm giá bán trị nhỏ nhất của biểu thức 

*
 với x > 0

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0 cùng ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi 

*
(do x > 0)

Vậy min

*

Bài 2: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện 

*
. Tìm giá chỉ trị lớn số 1 của biểu thức 
*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si mang lại hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

*

Lại có, vận dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi 

*

Vậy minA = 4 khi và chỉ khi x = y = 4

Bài 3: Chứng minh với cha số a, b, c ko âm vừa lòng a + b + c = 3 thì:

*

Nhận xét: Bài toán đã đạt được dấu bằng khi và bỏ ra khi a = b = c = 1. Ta sẽ sử dụng cách thức làm trội làm sút như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô yêu thích cho ba số a, b, c không âm có:

*

Tương từ ta có 

*
 và 
*

Cộng vế với vế ta có:

*

*

*

*

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ còn khi a = b = c = 1

Bài 1: Tìm giá bán trị bé dại nhất của những biểu thức sau:

a, 

*
với x > 0

(gợi ý: thay đổi đổi 

*
 rồi vận dụng bất đẳng thức Cô si)

b, 

*
 với x > 0

c, 

*
với x > 2

(gợi ý: đổi khác rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

Bài 2: Tìm giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức 

*
 với x > y > 0

(gợi ý: phát triển thành đổi 

*
)

Bài 3: Với a, b, c là các số thực ko âm, triệu chứng minh:

*

(gợi ý vận dụng bất đẳng thức Cô đê mê cho ba số a, b, c không âm)

Bài 4: Cho bố số thực dương a, b, c vừa lòng a + b + c = 3. Chứng tỏ rằng:

*

(gợi ý sử dụng cách thức làm trội)