Ôn tập lại triết lý và hướng dẫn phương pháp giải những dạng toán về hệ thức lượng vào tam giác ở lớp 10 qua các ví dụ có giải mã chi tiết.
Bạn đang xem: Hệ thức lượng lớp 10
Chúng ta phải nhớ các công thức và định lý trước lúc áp dụng vào giải bài tập.
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định lí côsinTrong tam giác $ABC$ cùng với $BC = a$, $AC = b$ cùng $AB = c.$ Ta có: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc.cos A.$ $b^2 = c^2 + a^2 – 2ca.cos B.$ $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab.cos C.$
Áp dụng bí quyết đường trung con đường với tam giác $ABC$ và $ADC$ ta có: $AB^2 + BC^2 = 2BE^2 + fracAC^22$ $(1).$ $CD^2 + DA^2 = 2DE^2 + fracAC^22$ $(2).$ từ bỏ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = 2left( BE^2 + DE^2 ight) + AC^2.$ còn mặt khác $EF$ là con đường trung tuyến đường tam giác $BDF$ nên: $BE^2 + DE^2 = 2EF^2 + fracBD^22.$ Suy ra $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2 + 4EF^2.$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP bài 1: chứng tỏ rằng trong hầu như tam giác $ABC$ ta có: a) $a = b.cos C + c.cos B.$ b) $sin A = sin Bcos C + sin Ccos B.$ c) $h_a = 2Rsin Bsin C.$ d) $m_a^2 + m_b^2 + m_c^2$ $ = frac34left( a^2 + b^2 + c^2 ight).$ e) $S_Delta ABC = frac12sqrt AB^2.AC^2 – (overrightarrow AB .overrightarrow AC )^2 .$
a) Áp dụng định lí côsin ta có: $VP = b.fraca^2 + b^2 – c^22ab$ $ + c.fracc^2 + a^2 – b^22ca$ $ = fraca^2 + b^2 – c^2 + c^2 + a^2 – b^22a$ $ = a = VT.$ b) $sin A = sin Bcos C + sin Ccos B$ $ Leftrightarrow fraca2R = fracb2R.cos C + fracc2R.cos B$ $ Leftrightarrow a = bcos C + ccos B$ (câu a). C) $h_a = 2Rsin Bsin C$ $ Leftrightarrow frac2Sa = 2Rfracb2Rsin C$ $ Leftrightarrow S = frac12absin C$ (đúng). D) Áp dụng công thức đường trung tuyến. E) $sqrt AB^2.AC^2 – (overrightarrow AB. overrightarrow AC )^2 $ $ = AB.ACsqrt 1 – cos ^2A $ $ = AB.AC.sin A.$ Từ kia suy ra điều buộc phải chứng minh.
Bài 2: đến tam giác $ABC.$ chứng tỏ rằng: a) $b + c = 2a$ $ Leftrightarrow frac2h_a = frac1h_b + frac1h_c.$ b) Góc $A$ vuông $ Leftrightarrow m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2.$
a) $b + c = 2a$ $ Leftrightarrow frac2Sh_b + frac2Sh_c = 2.frac2Sh_a$ $ Leftrightarrow frac1h_b + frac1h_c = frac2h_a.$ b) $m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2$ $ Leftrightarrow frac2left( a^2 + c^2 ight) – b^24$ $ + frac2left( a^2 + b^2 ight) – c^24$ $ = 5.frac2left( b^2 + c^2 ight) – a^24.$ $ Leftrightarrow b^2 + c^2 = a^2$ $ Leftrightarrow $ góc $A$ vuông.
Bài 3: cho tam giác $ABC$ vừa lòng $a^4 = b^4 + c^4.$ chứng tỏ rằng: a) Tam giác $ABC$ nhọn. B) $2sin ^2A = an B an C.$
a) hay thấy $a > b$, $a > c$ $ Rightarrow $ góc $A$ là mập nhất. Và $a^4 = b^4 + c^4 ngoài ra theo định lí côsin ta có: $cos A = fracb^2 + c^2 – a^22bc$ $ Rightarrow cos A > 0.$ vì thế $widehat A b) $2sin ^2A = an B an C$ $ Leftrightarrow 2sin ^2Acos Bcos C = sin Bsin C.$ $ Leftrightarrow 2left( fraca2R ight)^2.fraca^2 + c^2 – b^22ac.fraca^2 + b^2 – c^22ab$ $ = fracb2R.fracc2R$ $ Leftrightarrow a^4 = b^4 + c^4.$
Bài 4: gọi $S$ là diện tích s tam giác $ABC.$ chứng minh rằng: a) $S = 2R^2sin Asin Bsin C.$ b) $S = Rr(sin A + sin B + sin C).$
a) Ta tất cả $S = fracabc4R$ $ = frac2Rsin A.2Rsin B.2Rsin C4R$ $ = 2R^2sin Asin Bsin C.$ b) $S = pr$ $ = fraca + b + c2r$ $ = frac2Rsin A + 2Rsin B + 2Rsin C2r.$
Bài 5: mang lại tứ giác lồi $ABCD$, gọi $alpha $ là góc hợp vì chưng hai đường chéo cánh $AC$ và $BD.$ chứng tỏ diện tích $S$ của tứ giác cho bởi vì công thức: $S = frac12AC.BD.sin alpha .$
Gọi $I$ là giao điểm hai tuyến phố chéo. Khi đó: $S = S_ABI + S_BC1 + S_CDI + S_DAI.$ $ = frac12AI.BI.sin widehat AIB$ $ + frac12BI.CI.sin widehat BIC$ $ + frac12CI.DI.sin widehat CID$ $ + frac12DI.AI.sin widehat DIA.$ Ta có các góc $widehat AIB$, $widehat BIC$, $widehat CID$ cùng $widehat DIA$ song một bù nhau suy ra: $sin widehat AIB = sin widehat BIC$ $ = sin widehat CID = sin widehat DIA$ $ = sin alpha .$ cho nên vì thế $S = frac12BI.AC.sin alpha $ $ + frac12ID.AC.sin alpha $ $ = frac12AC.BD.sin alpha .$
DẠNG TOÁN 4: NHẬN DẠNG TAM GIÁC1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng định lí côsin, định lí sin, công thức đường trung tuyến, phương pháp tính diện tích tam giác để biến đổi giả thiết về hệ thức tương tác cạnh (hoặc góc) từ đó suy ra dạng của tam giác.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: mang đến tam giác $ABC$ bằng lòng $sin C = 2sin Bcos A.$ minh chứng rằng tam giác $ABC$ cân.
Áp dụng định lí côsin và sin ta có: $sin C = 2sin Bcos A$ $ Leftrightarrow fracc2R = 2.fracb2R.fracb^2 + c^2 – a^22bc.$ Suy ra tam giác $ABC$ cân tại đỉnh $C.$
Ví dụ 2: đến tam giác $ABC$ thỏa mãn $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C.$ chứng tỏ rằng tam giác $ABC$ vuông.
Xem thêm: Cm Câu Tục Ngữ Uống Nước Nhớ Nguồn (9 Mẫu Bài Làm Chi Tiết), Chứng Minh Câu Tục Ngữ Uống Nước Nhớ Nguồn
Ta có: $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C$ $ Leftrightarrow sin A(cos B + cos C)$ $ = sin B + sin C.$ $ Leftrightarrow fraca2Rleft( fracc^2 + a^2 – b^22ca + fraca^2 + b^2 – c^22ab ight)$ $ = fracb + c2R.$ $ Leftrightarrow bleft( c^2 + a^2 – b^2 ight) + cleft( a^2 + b^2 – c^2 ight)$ $ = 2b^2c + 2c^2b.$ $ Leftrightarrow b^3 + c^3 + b^2c + bc^2 – a^2b – a^2c = 0$ $ Leftrightarrow (b + c)left( b^2 + c^2 ight) – a^2(b + c) = 0.$ $b^2 + c^2 = a^2$ $ Leftrightarrow Delta ABC$ vuông trên $A.$
Ví dụ 3: nhấn dạng tam giác $ABC$ trong những trường thích hợp sau: a) $asin A + bsin B + csin C$ $ = h_a + h_b + h_c.$ b) $fraccos ^2A + cos ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + cot ^2B ight).$
a) Áp dụng công thức diện tích s ta gồm $S = frac12bcsin A = frac12ah_a$ suy ra: $asin A + bsin B + csin C$ $ = h_a + h_b + h_c$ $ Leftrightarrow a.frac2Sbc + b.frac2Sca + c.frac2Sab$ $ = frac2Sa + frac2Sb + frac2Sc.$ $ Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ $ Leftrightarrow (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 = 0.$ $ Leftrightarrow a = b = c.$ Vậy tam giác $ABC$ đều. B) Ta có: $fraccos ^2A + cos ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + cot ^2B ight).$ $ Leftrightarrow fraccos ^2A + cos ^2B + sin ^2A + sin ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + 1 + cot ^2B + 1 ight).$ $ Leftrightarrow frac2sin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( frac1sin ^2A + frac1sin ^2B ight)$ $ Leftrightarrow left( sin ^2A + sin ^2B ight)^2$ $ = 4sin ^2Asin ^2B.$ $ Leftrightarrow sin ^2A = sin ^2B$ $ Leftrightarrow left( fraca2R ight)^2 = left( fracb2R ight)^2$ $ Leftrightarrow a = b$ $ Leftrightarrow Delta ABC$ cân tại $C.$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP bài 1: mang lại tam giác $ABC.$ minh chứng tam giác $ABC$ cân nếu $h_a = csin A.$
Sử dụng phương pháp $S = frac12ah_a = frac12bcsin A$ ta có: $h_a = csin A$$ Leftrightarrow bh_a = ah_a$ $ Leftrightarrow a = b$ suy ra tam giác $ABC$ cân tại $C.$
Bài 2: mang lại tam giác $ABC.$ chứng tỏ tam giác $ABC$ cân nếu $4m_a^2 = b(b + 4ccos A).$
Sử dụng cách làm đường trung tuyến và định lí sin. $4m_a^2 = b(b + 4ccos A)$ $ Leftrightarrow 4frac2left( b^2 + c^2 ight) – a^24$ $ = bleft( b + 4c.fracb^2 + c^2 – a^22bc ight)$ $ Leftrightarrow a = b.$
Bài 3: chứng tỏ rằng tam giác $ABC$ đông đảo khi và chỉ còn khi: $a^2 + b^2 + c^2 = 36r^2.$
Ta có: $r^2 = fracS^2p^2$ $ = frac(p – a)(p – b)(p – c)p.$ Theo Cauchy: $(p – a)(p – b)(p – c)$ $ le left( frac3p – a – b – c3 ight)^3$ $ = left( fracp3 ight)^3.$ Suy ra $36r^2 le frac4p^33p$ $ = frac(a + b + c)^23$ $ le a^2 + b^2 + c^2.$ lốt bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi $a = b = c$ giỏi tam giác $ABC$ đều.
Bài 4: cho tam giác $ABC.$ tra cứu góc $A$ vào tam giác biết các cạnh $a$, $b$, $c$ tán đồng hệ thức: $bleft( b^2 – a^2 ight) = cleft( c^2 – a^2 ight)$ $(b e c).$
$bleft( b^2 – a^2 ight) = cleft( c^2 – a^2 ight)$ $ Leftrightarrow b^3 – c^3 = a^2(b – c)$ $ Leftrightarrow b^2 + bc + c^2 = a^2.$ Theo định lí côsin thì $a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A$ $ Leftrightarrow cos A = frac12$ $ Leftrightarrow widehat A = 60^0.$