Ta thấy ở nhì ví dụ trên đều có
Bạn đang xem: Nguyên hàm của cosx
Ký hiệu:
VD:
b) Tính chất
•
•
•
•
2. Bảng nguyên hàm của một số hàm số hay gặp
3. Các phương pháp
Phương pháp 1. Áp dụng cách làm nguyên hàm cơ bản
Ví dụ 1. Tìm những nguyên hàm:
• x$I=intx^8dx=frac19x^9+C$
.• $I=intfracdxx^5=intx^-5dx=frac1-5+1x^-5+1+C=-frac14x^-4+C$
•$I=intfracdx2x=frac12intfracdxx=frac12ln left$
• $I=int an 2xdx=intfracsin 2xcos 2xdx=-frac12int cos 2x ight$
• $I=intsin x.cos ^4xdx=-intcos ^4xdleft( cos x ight)=-frac15cos ^5x+C$
• $I=intfracsin x+cos xsin x-cos xdx=intfracdleft( sin x-cos x ight)sin x-cos x=ln left| sin x-cos x ight|+C$
• $I=intfrace^xdxe^x+1=intfracdleft( e^x+1 ight)e^x+1=ln left| e^x+1 ight|+C$
Phương pháp 2. Phương thức đổi biến
a) những dạng đổi vươn lên là số hay gặp
b) Ví dụ
• $I=intsqrtx^2004+1.x^2003dx$
Đặt $t=x^2004+1Rightarrow dt=2004x^2003dxRightarrow x^2003dx=frac12004dt$. Từ kia ta được:
$I=frac12004intsqrttdt=frac12004intt^frac12dt=frac12004.frac23t^frac32+C$
$=frac13006sqrtt^3+C=frac13006sqrtleft( x^2004+1 ight)^3+C$
• $I=intx^2left( 1-x ight)^10dx$
Đặt $1-x=tRightarrow dx=-dt$. Từ đó ta được:
$O=intleft( 1-t ight)^2t^10left( -dt ight)=-intleft( 1-2t+t^2 ight).t^10dt=-intt^10dt+2intt^11dt-intt^12dt$
$,,,,,=-frac111t^11+frac16t^12-frac113t^13+C=-frac111left( 1-x ight)^11+frac16left( 1-x ight)^12-frac113left( 1-x ight)^13+C$
• $I=intfracsin x.cos ^3x1+cos ^2xdx=frac12intfrac2sin xcos x.cos ^2x1+cos ^2xdx=frac12intfraccos ^2x1+cos ^2x.sin 2xdx$
Đặt $1+cos ^2x=tRightarrow sin 2xdx=-dt$
$Rightarrow S=frac12fract-1tleft( -dt ight)=-frac12int+C$
Phương pháp 3. Phương thức nguyên hàm từng phần
a) ngôn từ phương pháp
Phương pháp này thường xuyên được sử dụng khi ta yêu cầu tính nguyên hàm của một tích. Mang sử cần tính $I=intf_1left( x ight).f_2left( x ight)dx$, ta làm như sau:
b) Chú ý
Thứ từ ưu tiên đặt $u$ trong phương pháp Nguyên hàm từng phần:
Lôgarít $ o $ Đa thức $ o $ lượng chất giác $ o $ Hàm mũ
c) Ví dụ
•$I=intx extsin2xdx$
$Rightarrow I=-frac12xcos 2x+frac12intcos 2xdx=-frac12xcos 2x+frac14sin 2x+C$
•$I=intxcos ^22xdx=intx.frac1+cos 4x2dx=frac12intxdx+intfrac12xcos 4xdx=frac14x^2+I_1$
Tính $I_1=intfrac12xcos 4xdx$.
$Rightarrow I_1=frac18xsin 4x-frac18intsin 4xdx=frac18xsin 4x+frac132cos 4x+C$
Từ đó: $I=frac14x^2+frac18xsin 4x+frac132cos 4x+C$
•$I=intfracxln left( x+sqrtx^2+1 ight)sqrtx^2+1dx$
Ta được $I=sqrtx^2+1ln left( x+sqrtx^2+1 ight)-x+C$
•$I=intln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)dx$
$=xln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)-2sqrtx^2+1.ln left( x+sqrtx^2+1 ight)+2x+C$
•$I=intleft( fracln xx ight)^2dx$. Ta có $I=intfracln ^2xx^2dx$.
Ta được $I=-frac1xln x-frac1x+C$
Phương pháp 4. Phối hợp đổi đổi thay số và cách thức nguyên hàm từng phần
•$I=intsin sqrtxdx$
Đặt $sqrtx=tRightarrow x=t^2Rightarrow dx=2tdtRightarrow I=intsin t.left( 2tdt ight)=int2tsin tdt$
Vậy $I=2sin sqrtx-2sqrtxcos sqrtx+C$
•$I=intsin left( ln x ight)dx$.
Từ đó $I=inte^tsin tdt=fracxleft< sin left( ln x ight)-cos left( ln x ight) ight>2+C$
•$I=intx^8e^x^3dx$.
Từ đó $I=frac13intt^2e^tdt=frac13left( x^6-2x^3+2 ight)e^x^3+C$
•$I=inte^sqrtxdx$.
Phương pháp 5. Tìm nguyên hàm bằng phương thức dùng nguyên hàm phụ
Giả sử nên tính $I=intfleft( x ight)dx$. Lúc ấy ta kiếm tìm nguyên hàm phụ $J=intgleft( x ight)dx$ làm sao để cho việc tính $I+J$ và $I-J$ đơn giản dễ dàng hơn. Chẳng hạn:
• $I=intfracsin xsin x+cos xdx$
Ta hoàn toàn có thể xét $J=intfraccos xsin x+cos xdx$
Khi đó:
$I+J=intfracsin x+cos xsin x+cos xdx=intdx=x+C$
$I-J=intfracsin x-cos xsin x+cos xdx=-intfracdleft( sin x+cos x ight)sin x+cos x=-ln left| sin x+cos x ight|+C$
Từ đó suy ra: $2I=x-ln left| sin x+cos x ight|+CRightarrow I=frac12left( x-ln left| sin x+cos x ight| ight)+C$
• $I=intfrac4sin xleft( sin x+cos x ight)^3dx$
Ta hoàn toàn có thể xét $J=intfrac4cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx$
Khi đó:
$I+J=4intfracsin x+cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx=4intfracdxleft( sin x+cos x ight)^2=4intfracdxleft< sqrt2sin left( x+fracpi 4 ight) ight>^2$
$=2intfracdleft( x+fracpi 4 ight)sin ^2left( x+fracpi 4 ight)=-2cot left( x+fracpi 4 ight)+C$
$I-J=4intfracsin x-cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx=-4intfracdleft( sin x+cos x ight)left( sin x+cos x ight)^3=2left( sin x+cos x ight)^-2+C$
Từ đó suy ra:
$2I=-2cot left( x+fracpi 4 ight)+2left( sin x+cos x ight)^-2+CRightarrow I=frac1left( sin x+cos x ight)^2-cot left( x+fracpi 4 ight)+C$
B. Bài bác tập tự luyện
Câu 1: Tìm $int(x^3-2x)dx$
A. <3x^2-2+C> B.
C.
Câu 2: Tìm $int(sin x+cos 3x),dx$
A.
C. <-cos x-frac13sin 3x+C> D. <-cos x+frac13sin 3x+C>
Câu 3: Tìm $intleft( 5e^3x-frac16x+7 ight),dx$
A.
C.
Câu 4: Tìm $intsqrtxdx$
A.
C. $frac32xsqrtx+C$ D.
Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=sin ^2x$
A. $intf(x)dx=frac12x+frac14sin ,2x+C$ B.
C.
Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=cos x.cos 3x$
A. $intf(x)dx=-frac18sin ,4x-frac14sin ,2x+C$ B.
C.
Câu 7: Cho
A.
C.
Câu 8: Tìm $int(x+1)e^x^2+2xdx$
A. <2(x+1)e^x^2+2x+C> B.
C.
Câu 9: Khẳng định nào tiếp sau đây sai ?
A.
C.
Câu 10: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
C.
Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số $y=f(x)=frac3cos ^2(2x-1)$
A.
C. <-3 an (2x-1)+C> D. <-frac32cot (2x-1)+C>
Câu 12: $int2e^xleft( e^x-1 ight)^4dx=fracmn(e^x-1)^k+C$. Khi đó
A.
Xem thêm: Khái Niệm Diện Tích - Lý Thuyết Diện Tích Hình Chữ Nhật, 1
m + n + k = 5 B. m + n + k = 7
C. m + n + k =12 D. m + n + k = 16
Câu 13: $intxsin 2xdx=fracm2xcos 2x+fracsin 2xn+C$. Lúc đó
A. 2m + n = 0 B. 2m + n = 2 C. 2m + n =6 D. 2m + n = 8
Câu 14: $intleft( x+3 ight)e^-2xdx=frac-1me^-2x(2x+n)+C$. Khi ấy