1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) xác minh trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K nếu như F"(x) = f(x) với đa số x ∈ K.

Bạn đang xem: Nguyên hàm ln u

2. Tính chất nguyên hàm

Nguyên hàm bao gồm 3 tính chất đặc biệt cần nhớ:

*

2. Bảng nguyên hàm

a) Bảng bí quyết nguyên hàm cơ bản

*

b) Bảng nguyên hàm mở rộng

*

3. Các cách thức tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng cách thức ĐỔI BIẾN nhằm tìm nguyên hàm

a) Đổi biến hóa tổng quát

Bước 1: lựa chọn t = φ(x). Trong số ấy φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân hai về dt = φ"(x)dxBước 3: biểu hiện f(x)dx = g<φ(x)>φ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: lúc đó $I = int fleft( x ight)dx $ $ = int gleft( t ight)dt $ $ = Gleft( t ight) + C$

Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $I = int frac1xsqrt ln x + 1 dx $

Hướng dẫn giải

Bước 1: chọn $t = sqrt ln x + 1 Rightarrow t^2 = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân hai về dt = – 3sinx.dxBước 3: biểu thị $int fleft( x ight)dx = – frac13int frac1t.dt $Bước 4: khi ấy $I = – frac13ln left| t ight| + C$ $ = – frac13ln left| 1 + 3cos x ight| + C$

b) Đổi biến tấu 1

*

c) Đổi biến dị 2

*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần

*

Nguyên tắc chung để tại vị u cùng dv: kiếm được v thuận lợi và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: đồ vật tự ưu tiên khi lựa chọn đặt u: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm nhiều thức, hàm lượng giác, hàm mũ).

Ví dụ: tra cứu nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ eginarrayl u = ln left( 2x ight)\ dv = x.dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac1x\ v = fracx^22 endarray ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x ight) = int fleft( x ight) dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – int frac1x.fracx^22 dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – fracx^24 + C$ $ = fracx^22.left( ln left( 2x ight) – frac12 ight) + C$

Dạng 4. Cách tính nguyên hàm bằng máy tính

Cho nguyên hàm $int fleft( x ight)dx $ = F(x) + C. Hãy search f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình sẽ hướng dẫn biện pháp bấm máy vi tính nguyên hàm nhanh theo 3 cách sau:

Bước 1: dấn shift $fracddxleft( Fleft( x ight) ight) – fleft( X ight)$

Bước 2: thừa nhận phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá nghiệm

Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0 ) thì đó là đáp án nên chọn

Ví dụ: Tìm toàn bộ nghiệm của hàm số f(x) = $frac12x + 3$ là

A. $frac12.lnleft| 2x + 3 ight| + C$

B. $frac12.lnleft( 2x + 3 ight) + C$

C. Ln|2x + 3| + C

D. $frac1ln 2.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm sản phẩm công nghệ tính

Bước 1: Nhập vào máy tính casio $fracddxleft( frac12.ln left( left ight) ight) – frac12x + 3$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong công dụng A với C nếu mang đến X = 2 thì gần như cho tác dụng là 0. Vậy khi tất cả trị tuyệt đối hoàn hảo thì mang lại X một giá bán trị mang lại biểu thức trong trị tuyệt vời âm.

Kết luận: Chọn đáp án A.

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm dạng $left< eginarrayl I = int P(x)sin axdx \ I = int P(x)c mosaxdx endarray ight.$ với $P(x)$ là một nhiều thứcTa lựa chọn một trong hai phương pháp sau:

Cách 1: áp dụng nguyên hàm từng phần, triển khai theo các bước sau:

Bước 1: Đặt: $left{ eginarrayl u = P(x)\ dv = left< eginarrayl mathop m s olimits minaxdx\ mcosaxdx endarray ight. endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = P"(x)dx\ v = left< eginarrayl frac – 1ac mosax\ frac m1 masin ax endarray ight. endarray ight.$Bước 2: cố vào bí quyết nguyên hàm từng phần.Bước 3: liên tiếp thủ tục như trên ta đang khử được bậc của nhiều thức.

Xem thêm: Chứng Minh Câu Đoàn Kết Là Sức Mạnh, Là Then Chốt Của Thành Công"

Cách 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định, tiến hành theo công việc sau:

Bước 1: Ta có: $I = int P(x)c mosaxdx $ $ m = A(x)sinax + B(x)cosax + C$ $(1)$, trong những số ấy $A(x)$ và $B(x)$ là những đa thức thuộc bậc cùng với $P(x).$ Bước 2: mang đạo hàm nhì vế của $(1)$: $P(x)c mosax$ $ m = A"(x)cosax – A(x)a m.sinax$ $ m + B"(x)sinax + aB(x)cosax.$Bước 3: Sử dụng cách thức hệ số biến động ta khẳng định được $A(x)$ cùng $B(x).$

Nhận xét: giả dụ bậc của nhiều thức to hơn $3$ thì cách 1 trầm trồ cồng kềnh, vì lúc ấy ta triển khai số lần nguyên hàm từng phần bằng với số bậc của đa thức, vì thế ta đi đến đánh giá như sau:

Nếu bậc của nhiều thức nhỏ dại hơn hoặc bằng $2$: Ta sử dụng cách 1.Nếu bậc của nhiều thức to hơn hoặc bởi $3$: Ta thực hiện cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int xsin ^2xdx .$

Giải

Ta có: $I = int xleft( frac1 – c mos2x2 ight)dx $ $ = frac12int xdx – frac12int xcos 2xdx $ $ = frac14x^2 – frac12J$ $(1).$

Tính: $J = int xcos 2xdx .$

Đặt: $left{ eginarrayl u = x\ dv = c mos2xdx endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12sin 2x endarray ight.$ $ Rightarrow J = fracx2sin 2x – frac12int sin 2xdx $ $ = fracx2sin 2x + frac14c mos2x + C.$

Thay vào $(1)$: $I = frac14x^2 – frac12left( fracx2sin 2x + frac14c mos2x ight)$ $ = frac14left( x^2 – xsin 2x – frac12c mos2x ight) + C.$

3. Bài bác tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx .$

Giải

Theo dấn xét trên, ta sử dụng cách thức hệ số bất định. Ta có: $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx $ $ = left( a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 ight)c mosx$ $ m + left( a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2 ight)mathop m s olimits minx$ $(1).$

Lấy đạo hàm hai vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minx$ $ m = < ma_ m2x^3 + left( 3a_1 + b_2 ight)x^2$ $ + left( 2b_1 + c_2 ight)x + c_1 + d_2 m>cosx$$ – < ma_ m1x^3 – left( 3a_2 – b_1 ight)x^2$ $ – left( 2b_2 – c_1 ight)x + c_2 – d_1>sin x$ $(2).$

Đồng duy nhất thức ta được: $left{ eginarrayl a_2 = 0\ 3a_1 + b_2 = 0\ 2b_1 + c_2 = 0\ c_1 + d_2 = 0 endarray ight.$ và $left{ eginarrayl – a_1 = 1\ 3a_2 – b_1 = – 1\ 2b_2 – c_1 = 2\ – c_2 + d_1 = – 3 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayl a_1 = – 1;a_2 = 0\ b_1 = 1;b_2 = 3\ c_1 = 4;c_2 = – 2\ d_1 = 1;d_2 = – 4 endarray ight.$

Khi đó: $I = left( – x^3 + x^2 + 4x + 1 ight)c mosx$ $ m + left( m3 mx^ m2 – 2x + 4 ight)mathop m s olimits minx + C.$