Phân tích đa thức thành nhân tử là kỹ năng và kiến thức cơ sở cho những bài học tập về nhân chia đối kháng thức, nhiều thức đặc biệt trong các biểu thức phân số có chứa trở nên trong chương trình toán 8 và cả các lớp sau này.
Bạn đang xem: Phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8
Chính bởi vậy, mà việc nắm vững những cách phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương thức đặt nhân tử chung, đội hạng tử, hay cách thức dùng hằng đẳng thức là điều rất đề xuất thiết. Nội dung bài viết dưới đây sẽ tổng đúng theo các cách thức phân tích nhiều thức thành nhân tử và vận dụng giải những dạng bài bác tập này.
I. Các phương pháp phân tích nhiều thức thành nhân tử
1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương thức đặt nhân tử chung
* Phương pháp:
- Tìm nhân tử thông thường là những đối chọi thức, nhiều thức có mặt trong tất cả các hạng tử.
- so sánh mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.
- Viết nhân tử chung ra phía bên ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử sót lại của từng hạng tử vào trong vết ngoặc (và cả vệt của chúng).
* Ví dụ. so với các nhiều thức sau thành nhân tử.
a) 15x3 - 5x2 + 10x = 5x.(3x2) + 5x.(-x) + 5x.(2) = 5x(3x2 - x + 2)
b) 28x2y2 - 21xy2 + 14x2y = 7xy.(4xy) + 7xy.(-3y) + 7xy.(2x) = 7xy(4xy - 3y + 2x)
2. Phân tích nhiều thức thành nhân tử với phương pháp dùng hằng đẳng thức
* Phương pháp:
- đổi khác đa thức các bạn đầu về dạng không còn xa lạ của hằng đẳng thức, tiếp nối sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiên nhân tử chung.
- Cần chú ý đến việc vận dụng linh hoạt những hằng đẳng thức đáng nhớ:
♦ (A+B)2= A2+2AB+B2
♦ (A–B)2= A2– 2AB+ B2
♦ A2–B2= (A-B)(A+B)
♦ (A+B)3= A3+3A2B +3AB2+B3
♦ (A – B)3= A3- 3A2B+ 3AB2- B3
♦ A3+ B3= (A+B)(A2- AB +B2)
♦ A3- B3= (A- B)(A2+ AB+ B2)
♦ (A+B+C)2= A2+ B2+C2+2 AB+ 2AC+ 2BC
* Chú ý: a+b= -(-a-b) ; (a+b)2= (-a-b)2 ; (a-b)2= (b-a)2 ; (a+b)3= -(-a-b)3 ; (a-b)3=-(-a+b)3
* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)
b) 8 – 27x3y6 = 23 – (3xy2)3 = (2 – 3xy2)(4 + 6xy2 + 9x2y4)
c) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2
3. Bí quyết phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử
* Phương pháp:
- kết hợp các hạng tử tương thích thành từng nhóm.
- Áp dụng thường xuyên các cách thức đặt nhân tử thông thường hoặc dùng hằng đẳng thức.
* Ví dụ: Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử
a) 2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3)
= 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3)
b) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)
4. Cách thêm giảm 1 hạng tử hoặc tách hạng tử nhằm phân tích đa thức thành nhân tử
* Phương pháp:
- vận dụng thêm giảm hạng tử linh hoạt để lấy về đội hạng tử bình thường hoặc dùng hằng đẳng thức
* Ví dụ: Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử
a) x4 + 4 = x4 + (4x2 - 4x2) + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x2+2)2 - 4x2
= (x2+2-2x)(x2+2+2x)
b) x4 + 1 = x4 + 2x2 - 2x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 - 2x2 = (x2+1)2 - 2x2 = (x2+1)2 - (x√2)2
= (x2+1-x√2)(x2+1+x√2)
c) 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 8x + 16 - 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = 3(x2 - 4) + 8(x+2)
=3(x-2)(x+2) + 8(x+2) =(x + 2)<3(x-2)+8> =(x + 2)(3x + 2)
hoặc: 3x2 + 8x + 4 = 4x2 - x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2
= (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) = (x + 2)(3x + 2)
5. Phối đúng theo nhiều cách thức để phân tích đa thức thành nhân tử
* Phương pháp: Sử dụng các phương pháp trên theo sản phẩm tự ưu tiên.
- phương pháp đặt nhân tử chung.
- cách thức dùng hằng đẳng thức.
- cách thức nhóm những hạng tử.
* Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) 3xy2 - 6xy + 3x
= 3x(y2 – 2y + 1) (đặt nhân tử chung)
= 3x(y – 1)2 (dùng hằng đẳng thức (A–B)2= A2– 2AB+ B2 trong bước này A là y B là 1)
b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2
= 2((x2 + 2x +1) - y2) (đặt nhân tử chung)
= 2((x+1)2 - y2) (dùng hằng đẳng thức: (A+B)2= A2+2AB+B2) trong bước này A là x; B là 1)
= 2(x+1-y)(x+1+y) (dùng hằng đẳng thức: A2–B2= (A-B)(A+B) trong công đoạn này A là x+ 1 còn B là y)
II. áp dụng giải một trong những dạng bài bác tập phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 3x - 6y;
b)
c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2;
d)
e) 10x(x - y) - 8y(y - x).
* giải mã bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1:
a) 3x - 6y = 3(x-2y)
b)
c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x - 7xy.3y +7xy.4xy = 7xy(2x-3y+4xy)
d)
e) 10x(x - y) - 8y(y - x)
- Ta thấy: y - x = –(x – y) đề xuất ta có:
10x(x - y) - 8y(y - x) =10x(x - y) - 8y<-(x - y)> =10x(x - y) + 8y(x - y) =2(x-y)(5x+4y)
Bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tính quý hiếm của biểu thức
a) 15.91,5 + 150.0,85;
b) x(x - 1) - y(1 - x) trên x = 2001 cùng y = 1999.
* giải thuật bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1:
- lưu giữ ý: cùng với dạng bài tập này bọn họ cần phân tích hạng tử để lộ diện nhân tử phổ biến rồi so sánh thành nhân tử trước khi tính giá bán trị.
a) 15.91,5 + 150.0,85 =15.91,5 + 15.10.0,85 =15(91,5 + 10.0,85) =15(91,5 + 8,5) =15.100 =1500.
b) x(x - 1) - y(1 - x)
- Ta thấy: 1 - x = -(x - 1) buộc phải ta có:
x(x - 1) - y(1 - x) =x(x-1)-y<-(x-1)> =x(x-1)+y(x-1) =(x-1)(x+y)
- Thay x = 2001 với y = 1999 ta được: (2001-1)(2001+1999) =2000.4000 =8000000
Bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:
a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0;
b) x3 – 13x = 0
* lời giải bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1:
a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0
⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0
⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0
⇔
- kết luận có 2 quý giá x ưng ý là x = 2000 cùng x = 1/5.
b) x3 = 13x ⇔ x3 – 13x = 0 ⇔ x(x2 – 13) = 0
⇔
- Kết luận: Có tía giá trị của x vừa lòng là x = 0, x = √13 và x = –√13.
Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1: chứng minh rằng 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số trường đoản cú nhiên)
* Lời giải Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1:
- Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n.55 - 55n = 55n (55 - 1) = 55n.54
- vày 54 phân tách hết cho 54 cần 55n.54 luôn luôn chia hết cho 54 cùng với n là số từ bỏ nhiên.
⇒ Vậy 55n + 1 – 55n chia hết đến 54.
Bài 43 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 + 6x + 9; b) 10x – 25 – x2
c) ; d)
* giải thuật bài 43 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1:
a) x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2.(x).(3) + (3)2 = (x+3)2
b) 10x – 25 – x2 = –(–10x + 25 + x2) = –(x2 - 10x + 25)
= –<(x)2 – 2.(5).(x) + (5)2> = –(x–5)2
c)
d)
Bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) ; b) (a + b)3 – (a – b)3
c) (a + b)3 + (a – b)3 ;
d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3
e) - x3 + 9x2 – 27x + 27.
* lời giải bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1:
a)
b) (a + b)3 – (a – b)3
= <(a + b) – (a – b)> . <(a + b)2 + (a + b).(a – b) + (a – b)2>
= (a + b – a + b) . (a2 + 2ab + b2 + a2 – b2+ a2 – 2ab + b2)
= 2b.(3a2+ b2)
c) (a + b)3 + (a – b)3
= <(a + b) + (a – b)> . <(a + b)2 – (a + b)(a –b) + (a – b)2>
= <(a + b) + (a – b)> . <(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab + b2)>
= (a + b + a – b) . (a2 + 2ab + b2 – a2 + b2 + a2 – 2ab + b2)
= 2a.(a2 + 3b2)
d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3
e) –x3 + 9x2 – 27x + 27= (–x)3 + 3.(–x)2.3 + 3.(–x).32 + 33 = (–x + 3)3 = (3 – x)3
Bài 45 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:
a) 2 - 25x2 = 0
b)
* giải thuật bài 45 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1:
a) 2 - 25x2 = 0
- Kết luận: vậy gồm 2 nghiệm thoả là x = -√2/5 và x= √2/5.
b)
- Kết luận: vậy có một nghiệm thoả là x=1/2.
Xem thêm: Phân Tích Bài Thơ Tự Tình Ii, Phân Tích Bài Thơ Tự Tình 2 Của Hồ Xuân Hương
Bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1: Tính nhanh
a) 732 - 272 ; b) 372 - 132 ; c) 20022 - 22
* lời giải bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1:
a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600
b) 372 – 132 = (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 100.12 = 1200
c) 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000
Bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử
a) x2 –xy + x – y
b) xz + yz – 5(x + y)
c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y
* giải thuật bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1:
a) x2 – xy + x – y
+) Cách 1: Nhóm nhị hạng tử lắp thêm 1 và thứ 2, hạng tử sản phẩm 3 cùng thứ 4
x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 1)
+) bí quyết 2: Nhóm hạng tử thứ 1 và thứ 3 ; hạng tử thứ 2 và sản phẩm công nghệ 4
x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)= x.(x + 1) – y.(x + 1) = (x + 1)(x – y)
b) xz + yz – 5(x + y) = (xz + yz) – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5)
c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y
+) Cách 1: Nhóm nhì hạng tử đầu tiên với nhau cùng hai hạng tử cuối cùng với nhau:
3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x(x – y) – 5(x – y) = (x – y)(3x – 5)
+) phương pháp 2: Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử đồ vật 3; hạng tử thứ 2 với hạng tử thứ 4:
3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 5x) – (3xy – 5y) = x(3x – 5) – y(3x – 5)= (3x – 5)(x – y).