Toán 8

Phân tích đa thức thành nhân tử là chuyển đổi đa thức thành dạng tích của nhiều đa thức. Đây là một kĩ thuật cực kỳ hữu ích giúp bạn làm nhanh những bài toán rút gọn phân thức sau này.

Bạn đang xem: Toán 8

Vậy có những phương pháp phân tích nhiều thức thành nhân tử nào?

Hãy cùng tìm hiểu các phương thức phân tích đa thức thành nhân tử hay sử dụng như:

đặt nhân tử chungnhóm hạng tửdùng hằng đẳng thứcphối hợp nhiều phương pháptách hạng tửđổi biến

1-Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương thức đặt nhân tử chungBài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thức đặt nhân tử chung2- Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương thức dùng hằng đẳng thứcBài tập SGK: Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương thức dùng hằng đẳng thức3- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tửBài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thức nhóm hạng tử4-Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương pháp phối hợp các phương phápBài tập SGK: Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng cách phối hợp các phương pháp5-Phân tích đa thức thành nhân tử bởi phương pháp tách bóc hạng tử6-Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương thức thêm và giảm cùng một hạng tử

1-Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Cách làm:

A.B + A.C = A(B + C)

Như vậy, cách làm trên đó là phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

Mẹo phân tích nhiều thức thành nhân tử đầu tiên chính là xem bác ái tử phổ biến nào hay là không hoặc có thể tạo ra nhân tử chung không.

Video bài bác giảng:

Phân tích đa thức 15x³ − 5x² + 10x thành nhân tử.

Giải:

Ta nhận biết ba 1-1 thức thành phần tất cả điểm bình thường là đầy đủ chứa 5x. Vậy ta để 5x có tác dụng nhân tử chung.

Ta có: 15x³ − 5x² + 10x = 5x.3x² − 5x.x + 5x.2 = 5x(3x² − x + 2)

Phân tích nhiều thức thành nhân tử:

a) x² − x = x(x − 1)

b) 5x²(x − 2y) − 15x(x − 2y)

Ta để x − 2y là nhân tử chung.

5x²(x − 2y) − 15x(x − 2y) = (x − 2y)(5x² − 15x)

c) 3(x − y) − 5x(y − x)

Chú ý: đặc điểm A = −(−A)

Ta thấy có x − y với y − x, mong mỏi có phổ biến nhân tử x − y ta có tác dụng như sau:

3(x − y) − 5x(y − x) = 3(x − y) + 5xy(x − y) = (x − y)(3 + 5xy)

Tìm x thế nào cho 3x² − 6x = 0.

Giải:

Đầu tiên ta phân tích đa thức thành nhân tử:

3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0

Tích trên bằng 0 khi một trong những nhân tử bằng 0.

Ta bao gồm x = 0 hoặc x − 2 = 0.

Vậy x = 0 hoặc x = 2.

Bài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Bài 39.

Phân tích nhiều thức thành nhân tử:

a) 3x − 6y = 3(x − 2y);

c) 14x² − 21xy² + 28x²y² = 7x(2x − 3y² + 4xy²)

e) 10x(x − y) − 8y(y − x) = 10x(x − y) + 8y(x − y) = 2(x − y)(5x + 4y)

Bài 40.

Tính giá trị của biểu thức:

a) 15. 91,5 + 150.0,85 = 15(91,5 + 8,5) = 15.100= 1500

b) x(x − 1) − y(1 − x) trên x = 2001 và y = 1999.

Ta phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung:

x(x − 1) − y(1 − x)

= x(x − 1) + y(x − 1)

= (x − 1)(x + y)

= (2001 − 1)(2001 + 1999)

= 2000.4000 = 8000000

Bài 41.

Tìm x, biết:

a) 5x(x − 2000) − x + 2000 = 0

Đầu tiên ta bắt buộc phân tích đa thức thành nhân tử,. Vì chưa xuất hiện nhân tử chung, ta phải làm lộ diện nhân tử chung.

5x(x − 2000) − x + 2000

= 5x(x − 2000) − (x − 2000)

= (x − 2000)(5x − 1) = 0

⇔ x = 2000 hoặc 5x − 1 = 0

⇔ x = 2000 hoặc x = 1/5

b) x³ − 13x = 0

⇔ x(x² − 13) = 0

⇔ x = 0 hoặc x² = 13

⇔ x = 0 hoặc x = ±√13

Bài 42.

Chứng minh rằng

chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên).

Giải:

Ta phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương thức đặt nhân tử chung:

2- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thức dùng hằng đẳng thức

Cách làm:

Dùng đa số hằng đẳng thức lưu niệm để thay đổi đa thức về dạng tích các đa thức.

Vậy để sử dụng cách thức này nhằm phân tích đa thức thành nhân tử, ta cần thuộc đều hằng đằng thức lưu niệm và nhận ra dạng của nó.

(A + B)² = A² + 2AB + B²

(A − B)² = A² − 2AB + B²

A² − B² = (A − B)(A + B)

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

(A − B)³ = A³ − 3A²B + 3AB² − B³

A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²)

A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²)

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thức dùng hằng đẳng thức

Phân tích nhiều thức thành nhân tử:

a) x² − 4x + 4 = x² − 2.2x + 2² = (x − 2)²

b) x² − 4x + 4 − y² = (x − 2)² − y² = (x − 2 − y)(x − 2 + y)

c) 1 − 8x³ = 1³ − (2x)³ = (1 − 2x)(1 + 2x + 4x²).

a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x³ + 3x² + 3x + 1

Ta nhận ra đa thức trên tất cả dạng lập phương của một tổng bắt buộc ta có:

x³ + 3x² + 3x + 1 = (x + 1)³

b) Tính nhanh: 105² − 25

Ta nhận ra đa thức trên bao gồm dạng A² − B² nên ta có:

105² − 25 = 105² − 5² = (105 − 5)(105 + 5) = 100.110 = 11000

Chứng minh rằng (2n + 5)² − 25 phân chia hết đến 4 với tất cả số nguyên n.

Giải:

Muốn chứng tỏ một đa thức phân tách hết cho một trong những nào đó, ta chỉ cần phân tích nhiều thức thành nhân tử và chỉ ra rằng số đó là 1 trong những nhân tử của nhiều thức.

Ta thấy đa thức trên có dạng A² − B² bắt buộc ta dùng hằng đẳng thức A² − B² = (A − B)(A + B) để phân tích nhiều thức thành nhân tử:

(2n + 5)² − 25 = (2n + 5)² − 5²

= (2n + 5 − 5)(2n + 5 + 5)

= 2n(2n + 10)

= 4n(n + 5)

Vì núm (2n + 5)² − 25 phân tách hết mang đến 4 với mọi số nguyên n.

Video bài giảng: