Phép Biến Hình

- Điểm (M') call là hình ảnh của điểm (M) qua phép đổi thay hình (F) , tuyệt (M) là vấn đề tạo hình ảnh của điểm (M'), kí hiệu (M' = fleft( M ight))

- trường hợp (left( H ight)) là 1 trong hình nào kia thì (left( H' ight)) gồm những điểm (M') là ảnh của (M in m H) được điện thoại tư vấn là hình ảnh của (left( m H ight)) qua phép trở thành hình (F) .

Bạn đang xem: Phép biến hình

- Phép vươn lên là hình thay đổi mỗi điểm M thành bao gồm nó được điện thoại tư vấn là phép đồng nhất.

2. Phép tịnh tiến

a. Định nghĩa

(T_overrightarrow v (M) = M' Leftrightarrow overrightarrow MM' = overrightarrow v )

b. Tính chất

- nếu như phép tịnh tiến biến hai điểm (M,N) thành nhì điểm (M',N') thì (overrightarrow M'N' = overrightarrow MN ) , từ đó suy ra (M'N' = MN)

- Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm trực tiếp hàng cùng không làm thay đổi thứ tự cha điểm đó.

- Phép tịnh tiến biến hóa đường thẳng thành con đường thẳng tuy vậy song hoặc trùng với nó, vươn lên là đoạn thẳng thành đoạn thẳng bởi nó, thay đổi một tam giác thành một tam giác bởi nó, đường tròn thành con đường tròn có cùng chào bán kính.

c. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ $left( Oxy ight)$ mang lại vectơ (overrightarrow v = left( a;b ight),Mleft( x;y ight)).

Khi kia phép tịnh tiến theo vectơ (overrightarrow v :T_overrightarrow v (M) = M'left( x';y' ight)) tất cả biểu thức tọa độ: (left{ eginarraylx' = x + a\y' = y + bendarray ight.)

3. Phép đối xứng trục

a. Định nghĩa

Phép đối xứng qua một đường trực tiếp (a) là phép vươn lên là hình biến đổi điểm (M) thành điểm (M') đối xứng với (M) qua con đường thẳng (a). Kí hiệu : $D_a$ ((a)là trục đối xứng)

b. Tính chất

+) (D_aleft( M ight) = M' Leftrightarrow overrightarrow M_0M' = - overrightarrow M_0M ) với (M_0) là hình chiếu của (M) trên (a).

+) (D_aleft( M ight) = M Leftrightarrow M in a)

+) (D_aleft( M ight) = M' Leftrightarrow D_aleft( M' ight) = M), (a) là trung trực của đoạn (MM').

- Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

- Phép đối xứng trục trở thành đường trực tiếp thành mặt đường thẳng, đổi thay đoạn trực tiếp thành đoạn thẳng bởi nó, trở thành tam giác thành tam giác bởi nó, trở thành đường tròn thành con đường tròn bao gồm cùng bán kính.

- Phép đối xứng trục biến tía điểm thẳng sản phẩm thành tía điểm trực tiếp hàng và không làm biến hóa thứ tự ba điểm đó.

c. Biểu thức tọa độ

Trong phương diện phẳng tọa độ (Oxy): (D_a:Mleft( x;y ight) o M'left( x';y' ight))

- nếu (a equiv Ox Rightarrow left{ eginarraylx = x'\y = - y'endarray ight.)

- trường hợp (a equiv Oy Rightarrow left{ eginarraylx = - x'\y = y'endarray ight.)

4. Phép đối xứng tâm

a. Định nghĩa

Cho điểm (I). Phép biến hình đổi thay điểm (I) thành thiết yếu nó, đổi mới mỗi điểm (M) không giống (I) thành (M') làm thế nào cho (I) là trung điểm (MM') được gọi là phép đối xứng trọng tâm (I). Kí hiệu: (D_I) ((I) là vai trung phong đối xứng)

(D_Ileft( M ight) = M' Leftrightarrow overrightarrow IM' = - overrightarrow IM )

b. Tính chất

- nếu (D_Ileft( M ight) = M') và (D_Ileft( N ight) = N') thì (overrightarrow M'N' = - overrightarrow MN ) , từ đó suy ra (M'N' = MN)

- Phép đối xứng tâm trở thành đường thẳng thành mặt đường thẳng tuy vậy song hoặc trùng với nó, trở thành đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nóm phát triển thành đường tròn thành mặt đường tròn gồm cùng buôn bán kính.

- Phép đối xứng trung khu biến ba điểm thẳng hàng thành bố điểm trực tiếp hàng với không làm thay đổi thứ tự bố điểm đó.

- Phép đối xứng trung khu bảo toàn khoảng cách giữa nhì điểm bất kì.

c. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), mang lại (I_0left( x_0;y_0 ight)), điện thoại tư vấn (Mleft( x;y ight)) cùng (M'left( x';y' ight)) với (D_Ileft( M ight) = M' Rightarrow left{ eginarraylx' = 2x_0 - x\y' = 2y_0 - yendarray ight.)

5. Phép quay

a. Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho điểm $O$ cố định và thắt chặt và góc lượng giác $alpha $ ko đổi. Phép trở thành hình biến đổi mỗi điểm (M)

thành điểm $M'$ làm sao cho $OM = OM'$ với $left( OM,OM' ight) = alpha $ được call là phép quay chổ chính giữa $O$ góc con quay $alpha $.

Kí hiệu: $Q_left( O,alpha ight)$($O$ là trọng tâm phép quay, $alpha $ là góc quay lượng giác).

$Q_left( O,alpha ight)left( M ight) = M' Leftrightarrow left{ eginarraylOM = OM'\left( OM,OM' ight) = alpha endarray ight.$

b. Tính chất

- Chiều dương của phép tảo là chiều dương của mặt đường tròn lượng giác (chiều kim đồng hồ).

- cùng với $k in mathbbZ$ ta luôn luôn có: $Q_left( O,2kpi ight)$ là phép đồng nhất; $Q_left( O,left( 2k + 1 ight)pi ight)$ là phép đối xứng tâm.

- Phép con quay bảo toàn khoảng cách giữa nhị điểm bất kì.

- Phép quay trở nên đường thẳng thành mặt đường thẳng, thay đổi đoạn trực tiếp thành đoạn thẳng bằng nó, vươn lên là tam giác thành tam giác bởi nó, trở thành đường tròn thành đường tròn bao gồm cùng cung cấp kính.

- Phép cù biến cha điểm thẳng sản phẩm thành cha điểm trực tiếp hàng với không làm thay đổi thứ tự.

c. Biểu thức tọa độ

$left{ eginarraylx' - x_0 = left( x - x_0 ight)cos varphi - left( y - y_0 ight)sin varphi \y' - y_0 = left( x - x_0 ight)sin varphi + left( y - y_0 ight)cos varphi endarray ight.$

Đặc biệt:

+) $varphi = 90^circ Rightarrow left{ eginarraylx' = - y\y' = xendarray ight.$

+) nếu như $varphi = - 90^circ Rightarrow left{ eginarraylx' = y\y' = - xendarray ight.$

+) trường hợp $varphi = 180^circ Rightarrow left{ eginarraylx' = - x\y' = - yendarray ight.$

6. Phép vị tự

a. Định nghĩa

Cho điểm $O$ thắt chặt và cố định và số $k e 0$ ko đổi. Phép biến hóa hình vươn lên là mỗi điểm $M$ thành điểm (M') sao cho (overrightarrow OM' = koverrightarrow OM ) được gọi là phép vị tự trọng tâm $O,$ tỉ số $k.$

Kí hiệu: (V_left( O,k ight)) ($O$ là tâm vị tự, $k$ là tỉ số vị tự)

(V_left( o,k ight)left( M ight) = M' Leftrightarrow overrightarrow OM' = koverrightarrow OM )

b. Tính chất

- trường hợp phép vị từ bỏ tỉ số k biến hóa hai điểm $M, N$ tùy ý theo lắp thêm tự thành (M',,N') thì

(overrightarrow M'N' = koverrightarrow MN ) và (M'N' = left| k ight|MN).

- Phép vị trường đoản cú tỉ số $k:$

+ Biến ba điểm thẳng mặt hàng thành cha điểm trực tiếp hàng với bảo toàn sản phẩm tự giữa chúng.

+ biến đường trực tiếp thành con đường thẳng song song hoặc trùng với nó, trở nên tia thành tia, biến hóa đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

+ biến chuyển tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến đổi góc thành góc bởi nó.

+ vươn lên là đường tròn bán kính $ mR$ thành con đường tròn có nửa đường kính $left| k ight|.R$

c. Biểu thức tọa độ

Trong khía cạnh phẳng tọa độ (Oxy) có thể chấp nhận được vị trường đoản cú $V_left( I,k ight)$ trung tâm $Ileft( x_0;y_0 ight)$ trở thành điểm (Mleft( x;y ight)) thành (M'left( x';y' ight)).

Khi kia (left{ eginarraylx' = kx + left( 1 - k ight)x_0\y' = ky + left( 1 - k ight)y_0endarray ight.)

7. Phép đồng dạng

a. Định nghĩa

Một phép biến hình (F) được điện thoại tư vấn là phép đồng dạng tỉ số (k,,,left( k > 0 ight)) so với hai điểm ngẫu nhiên (M,N) và hình ảnh (M',N') khớp ứng của họ luôn gồm (M'N' = kMN.)

dấn xét:

- Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số (k = 1).

- Phép vị từ bỏ tỉ số (k) là phép đồng dạng tỉ số (left| k ight|).

- nếu thực hiện liên tục hai phép đồng dạng thì ta được một phép đồng dạng.

b. Tính chất

- Phép đồng dạng tỉ số (k):

+ Biến tía điểm thẳng hàng thành tía điểm trực tiếp hàng cùng bảo toán trang bị tự giữa chúng.

+ phát triển thành đường trực tiếp thành đường thẳng, vươn lên là tia thành tia, thay đổi đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

+ thay đổi một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến chuyển góc thành góc bởi nó.

+ biến một đường tròn bán kính (R) thành con đường tròn nửa đường kính (left| k ight|.R).

8. Phép dời hình với hai hình bằng nhau

- Phép dời hình là phép vươn lên là hình bảo toàn khoảng cách giữa nhì điểm bất kỳ.

Xem thêm: Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 3 Bài 156 : Luyện Tập Chung Trang 83

- nhì hình được gọi là đều nhau nếu bao gồm một phép dời hình vươn lên là hình này thành các hình kia.