Phương Trình Đường Tròn Bài Tập, Các Dạng Bài Tập Về Phương Trình Đường Tròn

Các dạng bài xích tập toán về phương trình con đường tròn là giữa những nội dung mà đa số chúng ta cảm thấy "dễ thở hơn" do nội dung cũng khá cụ thể và dễ hiểu, tuy vậy nội dung này cũng không hề thiếu các bài xích tập khó khăn nhằn đâu nhé.

Bạn đang xem: Phương trình đường tròn bài tập

Vì vậy, trong nội dung bài viết này bọn họ cùng hệ thống lại các dạng bài xích tập toán về phương trình đường tròn, vận dụng giải qua những ví dụ minh hoạ nuốm thể, để từ đó những em dễ ợt vận dụng với phân một số loại khi gặp gỡ các dạng bài tập về mặt đường tròn.

» Đừng vứt lỡ: Tổng hợp các dạng toán phương trình mặt đường thẳng trong phương diện phẳng cực hay

Đây cũng là nội dung nền tảng cho kiến thức về mặt mong trong không khí ở lớp 12, và trước khi bắt tay vào giải các dạng bài xích tập đường tròn thì bọn họ phải nắm vững được đặc thù của đường tròn qua phần lý thuyết.

I. Kim chỉ nan về phương trình con đường tròn

1. Phương trình con đường tròn:

- Phương trình con đường tròn có tâm I(a;b), bán kính R là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

- ví như a2 + b2 - c > 0 thì phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của con đường tròn tâm I(a;b), chào bán kính

2. Phương trình tiếp đường của đường tròn

- cho điểm M0(x0; y0) nằm trên phố tròn (C) trung khu I(a;b), tiếp tuyến tại M0 của (C) tất cả phương trình:

(x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0

II. Những dạng bài tập phương trình mặt đường tròn.

• Dạng 1: nhấn dạng phương trình mặt đường tròn, tìm điều kiện để 1 PT là phương trình mặt đường tròn

* Phương pháp:

+) giải pháp 1: Đưa phương trình đã mang đến về dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = p. (*)

- Nếu phường > 0 thì (*) là PT mặt đường tròn chổ chính giữa I(a;b) và chào bán kính

- trường hợp P ≤ 0 thì (*) là KHÔNG là PT con đường tròn.

+) phương pháp 2: Đưa phương trình đã cho về dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (**)

° Đặt phường = a2 + b2 - c

- Nếu p > 0 thì (**) là PT đường tròn chổ chính giữa I(a;b) và bán kính

- nếu như P ≤ 0 thì (**) là KHÔNG là PT con đường tròn.

Ví dụ 1: Trong những phương trình sau, phương trình nào biểu diễn phương trình con đường tròn, tìm trọng tâm và bán kính nếu có.

a) x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0

b) x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0

c) 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0

d) 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0

* Lời giải:

a) x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0,

- Ta tất cả a = -1; b = 2; c = 9 nên a2 + b2 - c = (-1)2 + (2)2 - 9 = -4 2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0,

- tương tự có: a2 + b2 - c = (3)2 + (-2)2 - 13 = 0 2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0 ⇔ x2 + y2 - 4x - 2y - 3 = 0

- tựa như có: a2 + b2 - c = (2)2 + (1)2 + 3 = 8 > 0, đây là phương trình con đường tròn trung tâm I(2;1) bán kính R=2√2.

d) 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0, phương trình này chưa phải pt con đường tròn vì hệ số của x2 và y2 không giống nhau.

Ví dụ 2: Cho mặt đường cong (Cm): x2 + y2 - 2mx - 4(m-2)y + 6 - m = 0

a) Tìm điều kiện của m nhằm (Cm) là phương trình đường tròn.

b) lúc (Cm) là pt con đường tròn kiếm tìm toạ độ trung ương và nửa đường kính theo m.

* Lời giải:

a) Để (Cm) là phương trình đường tròn thì: m2 +<2(m-2)>2 - (6 -m) > 0

⇔ mét vuông + 4m2 - 16m + 16 - 6 + m > 0

⇔ 5m2 - 15m + 10 > 0

⇔ m2 - 3m + 2 > 0

⇔ m 2

b) Với điều kiện trên thì (Cm) gồm tâm I và cung cấp kính

Ví dụ 3: Cho (Cα): x2 + y2 - 2xcosα - 2ysinα + cos2α = 0 (với α ≠ kπ)

a) CMR (Cα) là đường tròn

b) Xác định α để (Cα) có bán kính lớn nhất

c) search quỹ tính trọng điểm I của (Cα)

* Lời giải:

a) Để (Cα) là đường tròn thì : cos2α + sin2α - cos2α > 0

- Ta có; VT = cos2α + sin2α - cos2α = 1 - cos2α = 2sin2α > 0 (với α ≠ kπ)

- lưu lại ý: Nếu α = kπ đường tròn là 1 trong những điểm.

b) Để (Cα) có bán kính lớn nhất:

- Ta có: R2 = 2sin2α ≤ 2 (do 0 ≤ sin2α ≤ 1)

⇒ Rmax = √2 khi sinα = 1 ⇒ α = (π/2 + kπ).

c) Đường tròn Cα bao gồm toạ độ trung khu I(cosα; sinα) tức là:

khử α ta có: x2 + y2 = 1 chính là quỹ tích trung ương I của Cα.

• Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua những điểm

* Phương pháp:

° Cách 1:

- kiếm tìm toạ độ vai trung phong I(a;b) của con đường tròn (C)

- Tìm bán kính R của (C)

- Viết phương trình con đường tròn (C) dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

° phương pháp 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

- Từ điều kiện bài toán cho thiết lập cấu hình hệ pt 3 ẩn a, b, c

- Giải hệ tìm kiếm a, b, c nạm vào pt đường tròn (C).

* lưu ý: Đường tròn (C) trải qua điểm A, B thì IA2 = IB2 = R2 và thường được áp dụng vào bài toán yêu ước viết phương trình con đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (chính là viết pt mặt đường tròn qua 3 điểm A, B, C).

Ví dụ: Lập phương trình mặt đường tròn (C) trong số trường hòa hợp sau:

a) bao gồm tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0)

b) Có 2 lần bán kính AB với A(1;1), B(5,3).

c) Đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

* Lời giải:

a) (C) gồm tâm I(1;-3) và trải qua điểm O(0;0):

- Ta có R = OI, mà

⇒ Đường tròn (C) có tâm I(1;-3) và bán kính

có pt:

(x - 1)2 + (y + 3)2 = 10

b) (C) có 2 lần bán kính AB với A(1;1), B(5,3).

- Ta có toạ độ chổ chính giữa I của (C) là trung điểm A,B là:

- bán kính

⇒ Đường tròn (C) có tâm I(3;2) và bán kính

có pt:

(x - 3)2 + (y - 2)2 = 5

c) Đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

- Goi (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

- bởi vì (C) trải qua A, B, C buộc phải thay theo thứ tự toạ độ A, B, C vào pt mặt đường tròn (C) ta tất cả hệ sau:

- Giải hệ bên trên ta được

⇒ Đường tròn (C) là:

• Dạng 3: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với mặt đường thẳng

* Phương pháp: phụ thuộc vào tính chất tiếp tuyến

- Đường tròn (C) xúc tiếp với mặt đường thẳng (Δ) thì: d = R

- Đường tròn (C) xúc tiếp với đường thẳng (Δ) trên điểm A thì: d = IA = R

- Đường tròn (C) xúc tiếp với 2 mặt đường thẳng (Δ1) với (Δ2) thì: d = d = R

Ví dụ 1: Lập phương trình con đường tròn (C) trong mỗi trường vừa lòng sau:

a) (C) có tâm I(2;5) và tiếp xúc cùng với Ox

b) (C) bao gồm tâm I(-1;2) cùng tiếp xúc với đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

c) (C) trải qua A(2;-1) với tiếp xúc cùng với 2 trục toạ độ Ox, Oy

* Lời giải:

a) (C) bao gồm tâm I(2;5) cùng tiếp xúc với Ox

- Ox gồm phương trình: y = 0

- nửa đường kính R của đường tròn là khoảng cách từ I cho Ox ta có:

⇒ Phương trình con đường tròn (C) tất cả dạng: (x - 2)2 + (y - 5)2 = 25

b) (C) có tâm I(-1;2) với tiếp xúc với mặt đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

- Ta có:

⇒ Phương trình đường tròn (C) có dạng: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 5

c) (C) trải qua A(2;-1) và tiếp xúc cùng với 2 trục toạ độ Ox, Oy

- vày A nằm ở vị trí góc phần bốn thứ tư nên đường tròn cũng bên trong góc phần bốn thứ bốn này, buộc phải toạ độ trung ương I=(R;-R).

- Ta có:

⇔ R2 = R2 - 4R + 4 + R2 - 2R + 1

⇔ R2 - 6R + 5 = 0

⇔ R = 1 hoặc R = 5

⇒ Vậy có 2 con đường tròn thoả mãn điều kiện bài toán là:

(C1): (x - 1)2 + (y + 1)2 = 1

(C2): (x - 5)2 + (y + 5)2 = 25

Ví dụ 2: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai tuyến phố thẳng (d1): x + 2y - 3 = 0 và (d2): x + 3y - 5 = 0. Lập phương trình con đường tròn có bán kính bằng R=√10 tất cả tâm nằm trong d1 cùng tiếp xúc với d2.

* Lời giải:

- trọng điểm I ∈ d1 đề xuất I(-2a+3;a) bởi (C) tiếp xúc với d2 yêu cầu ta có:

⇒ I1(19;-8) với I2(-21;12)

⇒ tất cả 2 con đường tròn thoả mãn điều kiện là:

(C1): (x - 19)2 + (y + 8)2 = 10

(C2): (x + 21)2 + (y - 12)2 = 10

Ví dụ 3: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai tuyến phố thẳng (d1): x + 2y - 8 = 0 với (d2): 2x + y + 5 = 0 . Viết phương trình mặt đường tròn có tâm nằm ở (d): x - 2y + 1 = 0 tiếp xúc với (d1) và d2.

* Lời giải:

- Tâm I ∈ d nên I(2a-1;a) bởi (C) tiếp xúc với (d1) cùng (d2) nên ta có:

⇒ Vậy gồm 2 mặt đường tròn thoả mãn điều kiện.

- cùng với a = -12 thì I(-25;-12),

Phương trình đường tròn (C1):

- Với

thì

Phương trình con đường tròn (C2):

• Dạng 4: Viết phương trình con đường tròn nội tiếp tam giác

* Phương pháp:

° phương pháp 1:

- Tính diện tích s S cùng nửa chu vi p của tam giác nhằm tính được nửa đường kính đường tròn

- điện thoại tư vấn I(a;b) là trung tâm của mặt đường tròn nội tiếp thì khoảng cách từ I tới 3 cạnh của tam giác đều nhau và bởi r, từ đó lập thành hệ pt với 2 ẩn a, b.

- Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của a, b cùng phương trình đường tròn.

° biện pháp 2:

- Viết phương trình đường phân giác vào của 2 góc vào tam giác.

- tra cứu giao điểm 2 mặt đường phân giác đó ta được trọng điểm I của đường tròn

- Tính khoảng cách từ I tới 1 cạnh ngẫu nhiên của tam giác ta được bán kính.

Ví dụ 1: Cho 2 điểm A(4;0) với B(0;3)

a) Viết phương trình con đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB

b) Viết phương trình mặt đường tròn nội tiếp tam giác OAB

* Lời giải:

a) Tam giác OAB vuông trên O đề xuất tâm của mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác tam giác OAB là trung điểm của cạnh huyền AB nên tâm toạ độ vai trung phong I của con đường tròn nội tiếp là: I=(2;3/2).

⇒ chào bán kính: R = IA = 5/2

⇒ PT con đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: