Cho

*
là số nguyên dương không bao gồm phương. Xét phương trình
*
. Gỉa sử
*
là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất (nghiệm cơ sở) của
*
. Xét hai hàng số
*
như sau :

*

Chứng minh rằng

*
là 1 trong những nghiệm của
*
khi và chỉ khi trường thọ số nguyên dương
*
làm thế nào cho
*
.

Bạn đang xem: Phương trình pell

Lời giải :

Ta minh chứng với hầu hết

*
thì
*
là nghiệm của
*
. Thực vậy, ta bao gồm :

Với

*
thì hiển nhiên. Gỉa sử
*
là nghiệm của
*
. Xét cùng với
*
:

*

Vậy

*
cũng là nghiệm của
*
. Quy nạp xong. Ta hội chứng minh xong một chiều.

Bây giờ đồng hồ ta sẽ chứng tỏ nếu

*
là một trong những nghiệm của
*
thì trường tồn số nguyên dương
*
sao cho
*
.

Xem thêm: Thế Nào Là Hàm Số Nào Là Hàm Số Bậc Nhất ? Hàm Số Nào Dưới Đây Là Hàm Số Bậc Nhất

Nếu

*
thì
*
, lúc đó tồn tại
*
để
*
. Do
*
là nghiệm bé dại nhất của
*
yêu cầu ta xét
*
a" class="latex" />.

Ta lựa chọn cặp

*
. Ta chứng tỏ
*
phần nhiều nguyên dương. Thực vậy, ta có :

*
0\\ x^2-dy^2=1> 0 \endmatrix\right.\Rightarrow a> b\sqrtd,x> y\sqrtd\Rightarrow ax> bdy" class="latex" />