BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂNMục tiêu• gắng được những khái niệm về tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng. • làm được bài xích tập về tích phân bất định, tích phân xác định. • Áp dụng phần mềm Maple để tính tích phân.




Bạn đang xem: Tích phân xác định toán cao cấp

*

bài xích 3: Phép tính tích phân BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN mục tiêu • cầm cố được những khái niệm về tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng. • làm cho được bài xích tập về tích phân bất định, tích phân xác định. • Áp dụng ứng dụng Maple nhằm tính tích phân.Thời lượng nội dung • bài bác này reviews với các bạn các định nghĩa tíchBạn phải dành từng tuần khoảng chừng 90phút nhằm đọc kỹ kim chỉ nan và khoảng chừng phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy120 phút trong tầm hai tuần để rộng cùng các phương thức tính các loại tích phânlàm bài tập để nắm rõ nội dung này.bài học tập này. • Phép tính tích phân là 1 trong nhì phép tính cơ bản của giải tích, có không ít ứng dụng trong vấn đề kỹ thuật, khiếp tế…Hướng dẫn học• bạn nên đọc kỹ triết lý để vậy được những khái niệm tích phân bất định, tích phân xác định và những loại tích phân suy rộng.• chúng ta nên làm càng nhiều bài xích tập càng tốt để nhuần nhuyễn phuơng pháp tính các loại tích phân đó. 43 bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ3.1. Tích phân bất định3.1.1. Khái niệm về tích phân bất định3.1.1.1. Nguyên hàm bài bác này trình diễn về phép tính tích phân, đấy là phép toán ngược của phép tính đạo hàm (vi phân) của hàm số. Trường hợp ta đến trước một hàm số f (x) thì có tồn tại hay là không một hàm số F(x) có đạo hàm bởi f (x) ? nếu như tồn tại, hãy tìm tất cả các hàm số F(x) như vậy. Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f (x) bên trên một khoảng D nếu: F "(x) = f (x), ∀x ∈ D , hay dF(x) = f (x)dx . Ví dụ như 1: Vì: (sin x) " = cos x, ∀x ∈ R buộc phải sin x là nguyên hàm của hàm số cos x bên trên R . ⎛ 1⎞ 1 2x Vì: ⎜ arctg x + "= + , ∀x ≠ ±1 2⎟ 1− x ⎠ 1+ x (1 − x 2 ) 2 2 ⎝ 1 1 2x bên trên R ±1 . Nên: arctg x + + là một trong những nguyên hàm của hàm số 1− x 1 + x (1 − x 2 ) 2 2 2 Định lý dưới đây nói rằng nguyên hàm của một hàm số mang lại trước chưa hẳn là duy nhất, giả dụ biết một nguyên hàm thì ta có thể miêu tả được toàn bộ các nguyên hàm không giống của hàm số đó. Định lý: trường hợp F(x) là 1 trong nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng tầm D thì: Hàm số F(x) + C cũng là một trong nguyên hàm của hàm số f (x) , với C là một trong hằng số bất kỳ. Ngược lại, đa số nguyên hàm của hàm số f (x) phần đa viết được dưới dạng F(x) + C , trong những số ấy C là 1 trong những hằng số. Hội chứng minh: đưa sử C là một trong những hằng số bất kỳ, ta có: ( F(x) + C ) " = F "(x) = f (x) với đa số x ∈ D . Theo định nghĩa F(x) + C cũng là 1 nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng tầm D. Ngược lại, đưa sử ϕ( x) là một trong những nguyên hàm ngẫu nhiên của hàm số f (x) trên khoảng tầm D. Ta có: < F(x) − ϕ(x)> " = F"(x) − ϕ "(x) = f (x) − f (x) = 0, ∀x ∈ D . Suy ra F(x) − ϕ(x) nhận quý giá hằng số trên khoảng tầm D: F(x) − ϕ(x) = −C ⇔ ϕ(x) = F(x) + C, ∀x ∈ D . Bởi thế biểu thức F(x) + C biểu diễn tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) , mỗi hằng số C tương xứng cho ta một nguyên hàm.44 bài xích 3: Phép tính tích phân3.1.1.2. Tích phân cô động Định nghĩa: Tích phân cô động của một hàm số f (x) là họ những nguyên hàm F(x) + C ; cùng với x ∈ D ; trong những số đó F(x) là một trong nguyên hàm của hàm số f (x) và C là 1 trong hằng số bất kỳ. Tích phân cô động của f (x)dx được ký hiệu là: ∫ f (x)dx . Biểu thức f (x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu vết phân cùng hàm số f được hotline là hàm số dưới dấu tích phân. Vậy: ∫ f (x)dx = F(x) + C , cùng với F(x) là nguyên hàm của f (x) . Lấy ví dụ như 2: ∫ cos xdx = sin x + C ∫ e dx = e + C . X x3.1.1.3. Các tính chất cơ phiên bản của tích phân xác định ⎡ f (x)dx ⎤ " = f (x) xuất xắc d f (x)dx = f (x)dx ⎣∫ ∫ ⎦ ∫ F "(x)dx = F(x) + C giỏi ∫ dF(x) = F(x) + C ∫ af (x)dx = a ∫ f (x)dx , ( a là hằng số không giống 0) ∫ dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx . Nhị tính chất sau cuối là đặc thù tuyến tính của tích phân bất định, ta hoàn toàn có thể viết chung: ∫ <αf (x) + βg(x)> dx = α ∫ f (x)dx + β∫ g(x)dx trong các số đó α, β là các hằng số không đồng thời bằng 0 Các đặc điểm nói trên được chứng minh trực tiếp từ định nghĩa của tích phân bất định.3.1.1.4. Các công thức tích phân cơ bạn dạng Các phương pháp tích phân dưới đây được chứng tỏ bằng định nghĩa: dx x α+1 ∫ = ln x + C ∫ x dx = α + C, (α ≠ −1) x α +1 ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = − cos x + C dx dx ∫ cos = tg x + C ∫ sin = − cotg x + C 2 x 2 x ∫ e dx = e +C x x ax ∫ a dx = + C, (a > 0, a ≠ 1) x ln a dx 1 x ∫x = arctg + C a+x dx 1 +a 2 2 a a ∫a = ln +C −x 2a a − x 2 2 dx x ∫ = arcsin +C dx a a −x2 2 ∫ = ln x + x 2 + α + C x +α2 45 bài bác 3: Phép tính tích phân{{Ơ3.1.2. Các phương pháp tính tích phân bất định3.1.2.1. Cách thức khai triển Để tính một tích phân bất kỳ, ta cần áp dụng các cách thức thích hợp để mang về các tích phân đã bao gồm trong bảng các công thức tích phân cơ phiên bản ở trên. Một cách thức đơn giản là phương pháp khai triển. Cách thức này dựa trên đặc thù tuyến tính của tích phân bất định: ∫ <αf (x) + βg(x)> dx = α ∫ f (x)dx + β∫ g(x)dx . Ta so sánh hàm số dưới lốt tích chia thành tổng (hiệu) của các hàm số dễ dàng mà đã hiểu rằng nguyên hàm của chúng, những hằng số được gửi ra bên phía ngoài dấu tích phân. Lấy ví dụ 3: 3 45 ∫ (2x x − 3x )dx = 2∫ x 2 dx − 3∫ x dx = x 2 − x3 + C 2 2 5 x4 ⎛ 1⎞ dx ∫⎜ 2sin x + x3 − ⎟dx = 2∫ sin xdx + ∫ x3dx − ∫ = −2cos x + − ln x + C x⎠ x 4 ⎝ ⎛1 1⎞ dx 1 ∫x = ∫⎜ 2 − dx = − + arctg x + C . 2⎟ (1 + x ) ⎝ x 1+ x ⎠ 2 2 x3.1.2.2. Phương pháp đổi khác biểu thức vi phân nhận xét: ∫ f (u)du = F(u) + C ; trong những số ấy Nếu: ∫ f (x)dx = F(x) + C thì u = u(x) là 1 trong hàm số khả vi liên tục. Ta hoàn toàn có thể kiểm tra lại bằng phương pháp đạo hàm nhị vế theo x. Sử dụng tính chất này, ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân g(x)dx về dạng: g(x)dx = f (u(x))u "(x)dx trong số ấy f (x) là 1 trong những hàm số cơ mà ta dễ dãi tìm được nguyên hàm F(x) . Khi ấy tích phân đề nghị tính trở thành: ∫ g(x)dx = ∫ f (u(x))u "(x)dx = ∫ f (u(x))du = F(u(x)) + C ( a ≠ 0 ) trong trường hợp đơn giản và dễ dàng u (x) = ax + b thì du = adx , cho nên nếu 1 ∫ f (x)dx = F(x) + C ta suy ra: ∫ f (ax + b)dx = a F(ax + b) + C ( a ≠ 0 ) lấy ví dụ như 4: 1 ∫ sin axdx = − a cos ax + C . ( a ≠ 0 ) eax + C ( a ≠ 0) ∫ e dx = ax a ∫e cos xdx = ∫ esin x d(sin x) = esin x + C sin x46 bài xích 3: Phép tính tích phân tg 3 x dx ∫ cos4 x = ∫ (1 + tg x)d(tg x) = 3 + tg x + C 2 ) +C ( 1 1 3 ∫ x 1 + 3x dx = ∫ 1 + 3x d(1 + 3x ) = 9 1 + 3x 2 2 2 2 6 ⎛π ⎞ arccos x arcsin x I=∫ dx = ∫ ⎜ − arcsin x ⎟ arcsin xd(arcsin x) ⎝2 ⎠ 1− x2 π 1 ⇒I= arcsin 2 x − arcsin 3 x + C . 4 33.1.2.3. Phương pháp đổi vươn lên là Xét tích phân I = ∫ f (x)dx ; trong các số đó f (x) là 1 trong hàm số liên tục. Để tính tích phân này, ta tìm biện pháp chuyển thanh lịch tính tích phân khác của một hàm số khác bằng một phép thay đổi biến làm thế nào để cho biểu thức dưới vết tích phân đối với biến t hoàn toàn có thể tìm được nguyên hàm một cách dễ dàng và đơn giản hơn. Ta chia cách thức đổi đổi thay làm hai trường phù hợp là đổi biến đổi xuôi x = ϕ(t) với đổi phát triển thành ngược t = ψ(x) . • Phép đổi biến chuyển thứ nhất: Đặt x = ϕ(t) ; trong số đó ϕ( t) là 1 trong những hàm số đối chọi điệu, và gồm đạo hàm liên tục. Lúc đó ta có: I = ∫ f (x)dx = ∫ f < ϕ(t) > ϕ "(t)dt đưa sử hàm số g(t) = f < ϕ(t) > ϕ "(t) bao gồm nguyên hàm là hàm G(t) , cùng t = h(x) là hàm số ngược của hàm số x = ϕ(t) , ta có: I = ∫ g(t)dt = G(t) + C ⇒ I = G < h(x) > + C . • Phép đổi thay đổi thứ hai: Đặt t = ψ(x) , trong những số ấy ψ (x) là 1 trong những hàm số bao gồm đạo hàm liên tục, và ta viết được hàm f (x) = g < ψ (x) > ψ "(x) . Lúc đó ta có: CHÚ Ý : khi tính tích phân biến động I = ∫ f (x)dx = ∫ g < ψ(x) > ψ "(x)dx . Bằng cách thức đổi biến số, sau khi kiếm được nguyên giả sử hàm số g (t) tất cả nguyên hàm là hàm số hàm theo biến chuyển số mới, bắt buộc G (t) , ta có: đổi lại thành hàm số của thay đổi I = G < ψ (x) > + C . Số cũ. Lấy ví dụ 5: x a) Tính tích phân: I1 = ∫ dx 2−x ⎛ π⎞ Đặt x = 2sin 2 t, t ∈ ⎜ 0, ⎟ , ta tính được: ⎝ 2⎠ dx = 4sin t cos tdt ; 47 bài bác 3: Phép tính tích phân{{Ơ 2sin 2 t x = = tg t . 2−x 2(1 − sin 2 t) x Suy ra: I1 = ∫ dx = 4 ∫ sin 2 tdt = 2t − sin 2t + C . 2−x x Đổi lại trở thành x, với t = arcsin , ta thu được: 2 x x I1 = ∫ dx = 2 arcsin − 2x − x 2 + C . 2−x 2 e2 x b) Tính tích phân I 2 = ∫ dx . Ex + 1 Đặt e x = t ⇒ e x dx = dt , ta có: ⎛ 1⎞ t I2 = ∫ dt = ∫ ⎜1 − ⎟ dt = t − ln t + 1 + C . T +1 ⎝ t +1 ⎠ Đổi lại vươn lên là x, ta được: I 2 = e x − ln(e x + 1) + C . Dx c) Tính tích phân I3 = ∫ . 1 + 4x Đặt t = 2− x ⇒ dt = −2− x ln 2dx , tích phân trở thành: −dt 1 dt 1 I3 = ∫ ∫ t 2 + 1 = − ln 2 ln(t + t + 1) + C . =− 2 ln 2 −2 t ln 2 1 + t 1 ln(2− x + 4− x + 1) + C . Đổi lại đổi mới x, ta có: I3 = − ln 23.1.2.4. Phương pháp tích phân từng phần đưa sử u = u(x) và v = v(x) là những hàm số tất cả đạo hàm liên tục. Theo quy tắc lấy vi phân d(uv) = udv + vdu ⇒ uv = ∫ d(uv) = ∫ udv + ∫ vdu . Suy ra : ∫ udv = uv − ∫ vdu . Xét tích phân: I = ∫ f (x)dx . Ta đề xuất biểu diễn: f (x)dx = < g(x)h(x)> dx = g(x) < h(x)dx > = udv và áp dụng công thức tích phân từng phần với những hàm số u = g(x); v = ∫ h(x)dx . Ta hay sử dụng phương thức này khi biểu thức dưới vết tích phân cất một trong những hàm số sau đây: ln x;a x ; hàm con số giác, hàm số lượng giác ngược. Vậy thể: • trong số tích phân ∫ x n ekx dx; ∫ x n sin kxdx; ∫ x n cos kxdx , n nguyên dương, ta hay chọn: u = x n48 bài bác 3: Phép tính tích phân ∫x α• trong các tích phân ln n xdx , α ≠ −1 cùng n nguyên dương, ta thường chọn u = ln n x• trong tích phân ∫ x n arctg kxdx; ∫ x n arcsin kxdx , n nguyên dương, ta thường chọn: u = arctg kx hoặc u = arcsin kx ; dv = x n dx .Ví dụ 6:Tính các tích phân bất định:a) I1 = ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C .b) I 2 = ∫ x 2 sin xdx . Đặt u = x 2 , dv = sin xdx ⇒ v = − cos x , ta được: I 2 = − x 2 cos x + 2∫ x cos xdx . Đặt u = x, dv = cos xdx ⇒ v = sin x , ta được: ( ) I2 = −x 2 cos x + 2 x sin x − ∫ sin xdx = −x 2 cos x + 2xsin x + 2cos x + C. Xe cộ x dxc) I3 = ∫ . (x + 1) 2 dx 1 Đặt u = xe x ;dv = ⇒v=− ;du = (x + 1)e x dx , ta được: (x + 1) x +1 2 xe cộ x xe cộ x ex + ∫ e x dx = − I3 = − + ex + C = +C. X +1 x +1 x +1 xe cộ x dxd) I 4 = ∫ . 1 + ex e x dx Đặt 1 + e x = t ⇒ = 2dt ; ta có: 1 + ex I4 = 2∫ < ln(t − 1) + ln(t + 1)> dt = 2(t − 1) ln(t − 1) + 2(t + 1) ln(t + 1) − 4t + C . Đổi lại vươn lên là x ta có: ) ( xe cộ x dx ∫ = 2(x − 2) 1 + e x + 4 ln 1 + 1 + e x − 2x + C . 1+ e x x arcsin xe) I5 = ∫ dx . 1− x2 49 bài bác 3: Phép tính tích phân{{Ơ xdx dx Đặt u = arcsin x;dv = ⇒ du = ; v = − 1 − x 2 , ta được: 1− x 1− x 2 2 I5 = − 1 − x 2 arcsin x + ∫ dx = − 1 − x 2 arcsin x + x + C . F) I6 = ∫ e x cos 2xdx . Đặt u = cos 2x;dv = e x dx ⇒ v = e x ;du = −2sin 2xdx ; ta được: I6 = e x cos 2x + 2 ∫ e x sin 2xdx . Đặt u = sin 2x;dv = e x dx ⇒ v = e x ;du = 2 cos 2xdx ; ta được: ( ) I6 = ex cos2x + 2 ex sin2x − 2∫ ex cos2xdx = ex cos2x + 2ex sin2x − 4I6 + 5C . Ex ( cos 2x + 2sin 2x ) + C . Vậy: I6 = 5 trong những mục sau đây chúng ta sẽ xét tích phân bất định của một trong những dạng hàm cơ bản: Hàm phân thức hữu tỷ, hàm vị giác, hàm chứa căn thức và trình diễn một số phương thức giải chung so với tích phân các hàm này.3.1.3. Tích phân hàm phân thức hữu tỷ Định nghĩa: P(x) Một hàm phân thức hữu tỷ là 1 trong những hàm số gồm dạng: f (x) = , Q(x) trong những số ấy P(x), Q(x) là những đa thức của x. Một phân thức hữu tỷ có bậc của nhiều thức làm việc tử số bé dại hơn bậc của đa thức ở chủng loại số là một trong phân thức hữu tỷ thực sự. Bằng phép phân tách đa thức, chia P(x) mang lại Q(x) ta luôn đưa được một hàm phân thức hữu tỷ về dạng: r (x) f (x) = H(x) + Q(x) trong những số ấy H(x) là nhiều thức thương, r(x) là phần dư vào phép chia. R (x) khi đó là 1 phân thức hữu tỷ thực sự. Nguyên hàm của đa thức H(x) được Q(x) search bởi phương pháp tích phân cơ bản: x n +1 ∫ x dx = + C ; n nguyên dương. N n +1 r (x) Ta đang xét việc đào bới tìm kiếm nguyên hàm của phân thức hữu tỷ còn sót lại trong hai trường hợp Q(x) sệt biệt: mẫu số của phân thức là đa thức hàng đầu hoặc đa thức bậc hai. Trong số những trường hợp mẫu số tinh vi hơn, chúng ta sử dụng cách thức hệ số bất định để mang về nhì trường vừa lòng trên.50 bài xích 3: Phép tính tích phân3.1.3.1. Tích phân của phân thức hữu tỷ với mẫu mã số số 1 Xét tích phân: P(x) ∫ ax + b dx . Trong các số ấy P(x) là một trong những đa thức. Ta biểu diễn hàm dưới dấu tích phân sinh hoạt dạng sau: P(x) C = Q(x) + . Ax + b ax + b họ sử dụng hai công thức sau nhằm tính tích phân nói trên x n +1 dx 1 ∫ x dx = ∫ ax + b = a ln ax + b + C . + C, n ≥ 0 với n n +1 ví dụ 7: 2x 3 x 2 x ln 2x − 1 ⎛ ⎞ 4x 3 − 2x + 1 1 1 ∫ 2x − 1 dx = ∫ ⎜ 2x 2 + x − + dx = + −+ +C. ⎟ 2 2(2x − 1) ⎠ 3 22 4 ⎝3.1.3.2. Tích phân của phân thức hữu tỷ với chủng loại số bậc hai P(x) ∫x Xét tích phân: dx . + px + q 2 trong các số đó P(x) là một đa thức. Ta màn biểu diễn hàm dưới vết tích phân ngơi nghỉ dạng sau: Mx + N P(x) = Q(x) + 2 . X + px + q x + px + q 2 M Mp Ta viết lại: Mx + N = (2x + p) + N − 2 2 Mx + N M d(x 2 + px + q) ⎛ Mp ⎞ dx ∫ x 2 + px + q dx = ∫ 2 ⎟∫ 2 +⎜N− suy ra: x + px + q 2 ⎠ x + px + q 2 ⎝ ⎛ Mp ⎞ M dx ⎟∫ 2 = ln x 2 + px + q + ⎜ N − . 2 ⎠ x + px + q 2 ⎝ dx Tích phân còn lại ở vế đề nghị J = ∫ được tìm như sau : x + px + q 2 • giả dụ tam thức x 2 + px + q tất cả hai nghiệm rành mạch x1 ≠ x 2 ; ta có: ⎛1 1⎞ x−x dx 1 1 J=∫ ∫ ⎜ x − x1 − x − x 2 ⎟ dx = x1 − x 2 ln x − x 12 + C . = (x − x1 )(x − x 2 ) x1 − x 2 ⎝ ⎠ • ví như tam thức x 2 + px + q có nghiệm kép α , ta có: dx 1 J=∫ =− +C. (x − α) x −α 2 51 bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ • trường hợp tam thức x 2 + px + q vô nghiệm, ta viết lại: 2 p⎞ ⎛ p2 ⎞ ⎛ x 2 + px + q = ⎜ x + ⎟ + ⎜ q − ⎟ = X 2 + a 2 , (a 2 > 0) . ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ 2x + p. 1 suy ra: J = arctg +C. A 2a lấy ví dụ 8: 2x 2 − 3x + 2 5 2x + 1 − 1 ⎛ ⎞ 5x ∫ x 2 + x + 1 dx = ∫ ⎜ 2 − x 2 + x + 1 ⎟ dx = 2∫ dx − 2 ∫ x 2 + x + 1 dx Tính tích phân: ⎝ ⎠ 5 d(x 2 + x + 1) 5 dx ∫ x 2 + x + 1 + 2 ∫ (x + 1/ 2)2 + 3 / 4 = 2x − 2 2x + 1 5 5 = 2x − ln(x 2 + x + 1) + +C arctg 2 3 33.1.3.3. Phương thức hệ số cô động P(x) mang sử họ muốn đối chiếu một phân thức hữu tỷ thực sự thành tổng (hiệu) Q(x) của những phân thức hữu tỷ thực sự có mẫu số là nhiều thức hàng đầu hoặc bậc hai. Trước nhất ta phân tích đa thức ở mẫu số Q(x) thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai: Q(x) = (x − α1 )a1 ...(x − α m )a m (x 2 + p1x + quận 1 ) b1 ...(x 2 + phường n x + q n ) bn . Trong những số đó αi , phường j , q j là những hằng số, a i , b j là các số nguyên dương, 1 ≤ i ≤ m;1 ≤ j ≤ n . • nếu như trong đối chiếu của Q(x) mở ra đơn thức (x − α)a , a là số nguyên dương Ai P(x) thì trong so sánh của phân thức mở ra các hạng tử dạng , trong (x − α)i Q(x) kia A i là hằng số và 1 ≤ i ≤ a . • nếu trong đối chiếu của Q(x) mở ra biểu thức (x 2 + px + q) b , b là số nguyên P(x) dương thì trong phân tích của phân thức lộ diện các hạng tử dạng Q(x) B jx + C j , trong đó B j , C j là các hằng số cùng 1 ≤ j ≤ b . (x 2 + px + q) j P(x) sau khi viết được đối chiếu của , ta tìm những hằng số A i , B j , C j bằng cách quy Q(x) đồng mẫu số ở hai vế, rồi đồng nhất hệ số của x n , n ∈ ở nhị vế. Lấy một ví dụ 9: Tính những tích phân cô động x 4 − x 3 + 2x 2 − 2x + 1 a) I1 = ∫ dx . (x 2 + 2)(x − 1)52 bài 3: Phép tính tích phân loại tử số đến mẫu số ta được nhiều thức x cùng phần dư. Bởi vì mẫu số của phân thức có những nhân tử là x 2 + 2 và x − 1 buộc phải ta viết lại phân thức nghỉ ngơi dạng: x 4 − x 3 + 2x 2 − 2x + 1 Bx + C 1 A =x+ 2 =x+ +2 . (x + 2)(x − 1) (x + 2)(x − 1) x −1 x + 2 2 Quy đồng mẫu mã số ở nhị vế 3 = (A + B)x 2 + (C − B + 2)x − C Đồng nhất hệ số của x 2 , x và thông số tự do, ta được: ⎧A + B = 0 ⎧A = 1 ⎪ ⎪ ⎨C − B + 2 = 0 ⇒ ⎨B = −1 ⎪ −C ⎪C = −1 =1 ⎩ ⎩ x 4 − x 3 + 2x 2 − 2x + 3 1 1 2x 1 =x+ − −2 Suy ra: . (x + 2)(x − 1) x −1 2 x + 2 x + 2 2 2 ln(x 2 + 2) 1 x2 x Vậy tích phân bằng: I = + ln x − 1 − − + C. Arctg 2 2 2 2 2x 4 + 10x 3 + 17x 2 + 16x + 5 b) I 2 = ∫ dx . (x + 1) 2 (x 2 + 2x + 3) 2x 4 + 10x 3 + 17x 2 + 16x + 5 2 1 4 = 2+ − −2 Ta viết: . (x + 1) (x + 2x + 3) x + 1 (x + 1) x + 2x + 3 2 2 2 x +1 1 Suy ra: I = 2x + 2 ln x + 1 + − 2 2 arctg +C. X +1 23.1.4. Tích phân lượng chất giác3.1.4.1. Cách thức chung ∫ R (sin x, cos x)dx , trong các số ấy hàm dưới dấu vết phân là hàm số của Xét tích phân x sin x, cos x . Ta có thể sử dụng phép thay đổi biến tổng quát t = tg , lúc đó: 2 1− t2 2t 2t 2dt sin x = ;cos x = ; tg x = ;dx = 1+ t 1+ t 1− t 1+ t2 2 2 2 Tích phân đang xét được đem lại tích phân của hàm số của biến chuyển t . Ví dụ 10: sin x − cos x + 2 ∫ 1 + sin x + cos x dx . Tính tích phân: sin x − cos x + 2 d(1 + sin x + cos x) dx ∫ 1 + sin x + cos x dx = − ∫ + 2∫ Ta viết: . 1 + sin x + cos x 1 + sin x + cos x 53 bài xích 3: Phép tính tích phân{{Ơ x Đặt t = tg , suy ra: 2 dx dt ∫ 1 + sin x + cos x = ∫ 1 + t = ln 1 + t + C . Cầm lại biến chuyển cũ, ta được: sin x − cos x + 2 x ∫ 1 + sin x + cos x dx = − ln 1 + sin x + cos x + 2 ln 1 + tg 2 + C . ∫ sin m x cos n xdx , trong số ấy m, n là những số nguyên3.1.4.2. Tích phân dạng • nếu như m là số nguyên dương lẻ, ta đặt t = cos x . • nếu như n là số nguyên dương lẻ, ta để t = sin x . • nếu như m, n là những số nguyên dương chẵn, ta sử dụng công thức hạ bậc: 1 − cos 2x 1 + cos 2x sin 2 x = ;cos 2 x = 2 2 rồi mang lại tích phân dạng ∫ sin k 2x cos e 2xdx. Lấy một ví dụ 11: Tính các tích phân biến động a) I1 = ∫ sin 3 x cos 2 xdx Đặt cos x = t ⇒ − sin xdx = dt ; ta có: t5 t3 cos5 x cos3 x ∫ sin x cos xdx = ∫ (1 − t )t (−dt) = − +C = − +C. 3 2 22 53 5 3 b) I 2 = ∫ sin 4 x cos 2 xdx sử dụng công thức hạ bậc ta có: (1 − cos 2x)2 1 + cos 2x 1 dx = ∫ (1 − cos 2x − cos2 2x + cos3 2x ) dx I2 = ∫ 4 2 8 1 + cos 4x 1⎛ ⎞ sin 2x 1 −∫ dx + ∫ (1 − sin 2 2x)d(sin 2x) ⎟ ⇒ I2 = ⎜ x − 8⎝ 2 2 2 ⎠ 1 ⎛ x sin 2x sin 4x sin 2x sin 3 2x ⎞ ⇒ I2 = ⎜ − − + − ⎟+C. 8⎝ 2 2 8 2 6⎠ Đối với tích phân I 2 sau khoản thời gian sử dụng cách làm hạ bậc lần đầu tiên ta cũng hoàn toàn có thể tiếp tục hạ bậc của biểu thức lượng giác dưới vết tích phân vì công thức: 3sin x − sin 3x 3cos x + cos 3x sin 3 x = ;cos3 x = . 4 454 bài bác 3: Phép tính tích phân Áp dụng vào tích phân I 2 , ta có: 1 + cos 4x 3cos 2x + cos 6x ⎞ 1⎛ ∫ ⎜1 − cos2x − 2 + I2 = ⎟ dx 8⎝ 4 ⎠ 1 ⎛ x sin 2x sin 4x sin 6x ⎞ ⇒ I2 = ⎜ − − + ⎟+C. 8⎝ 2 8 8 24 ⎠ vào trường hòa hợp tổng quát sau khi sử dụng phương pháp hạ bậc, có thể xuất hiện những tích phân dạng: ∫ sin ax cos bxdx; ∫ cos ax cos bxdx; ∫ sin ax sin bxdx với a ≠ b . Các tích phân dạng này có thể tính dễ dàng dàng bằng phương pháp biến thay đổi tổng như sau: 1 ∫ sin ax cos bxdx = 2 ∫ dx 1 ⎡ cos(a + b)x cos(a − b)x ⎤ =− ⎢ + +C. A−b ⎥ 2⎣ a+b ⎦ 1 ∫ cos ax cos bxdx = 2 ∫ dx 1 ⎡ sin(a + b)x sin(a − b)x ⎤ = + +C. 2⎢ a+b a−b ⎥ ⎣ ⎦ 1 ∫ sin ax sin bxdx = 2 ∫ dx 1 ⎡ sin(a − b)x sin(a + b)x ⎤ = − + C. 2⎢ a−b a+b ⎥ ⎣ ⎦ ∫ R(sin x, cos x)dx khi tích phân tất cả thêm những tính chất đặc biệt, ta rất có thể sử dụng các phép đổi đổi thay như sau: Đặt t = cosx giả dụ R (–sinx, cosx) = –R(sinx, cosx). . Đặt t = sinx trường hợp R(sinx, –cosx) = –R(sinx, cosx). Đặt t = tgx nếu R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x) .Ví dụ 12: dx ∫ sin x cosTính tích phân: 4 xĐặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx , ta có: ⎡1 1 1⎤ −dt 1 1 1 t +1 dx 1∫ sin x cos =∫ = ∫⎢ 4 − 2 − + ⎥ dt = − 3t 3 − t + 2 ln t − 1 + C (1 − t )t 2(t − 1) 2(t + 1) ⎦ 4 24 x ⎣t t 1 1 + cos x dx 1 1⇒∫ =− − + ln +C 3cos x cos x 2 1 − cos x 4 3 sin x cos x 55 bài xích 3: Phép tính tích phân{{Ơ3.1.5. Tích phân hàm đựng căn thức ∫ R(x, ∫ R(x, α 2 ± x 2 )dx , x 2 − α 2 )dx , trong các số ấy R(u, v) là Xét tích phân tất cả dạng những hàm số hữu tỷ. • Đặt x = α tg t so với tích phân ∫ R(x, α 2 + x 2 )dx . • Đặt x = α sin t hoặc x = a cos t so với tích phân ∫ R(x, α 2 − x 2 )dx . α α so với tích phân ∫ R(x, x 2 − α 2 )dx . • Đặt x = hoặc x = cos t sin t lấy ví dụ 13: Tính các tích phân sau: 3 − ∫ (1 − x 2 a) ) dx . 2 ⎛ π π⎞ Đặt x = sin t, t ∈ ⎜ − , ⎟ ⇒ dx = cos tdt, 1 − x 2 = cos t , cùng ⎝ 2 2⎠ 3 dt − ∫ (1 − x ) dx = ∫ = tg t + C = tg(arcsin x) + C . 2 2 cos 2 t dx ∫x b) . 1+ x2 2 ⎛ ⎛ π π ⎞⎞ dt Đặt x = tg t ⎜ t ∈ ⎜ − , ⎟ ⎟ ⇒ dx = , ta có: cos 2 t ⎝ ⎝ 2 2 ⎠⎠ dx cos tdt 1 1 ∫x =∫ =− +C = − +C. 2 sin t sin t sin(arctg x) 1+ x2 23.2. Tích phân xác định3.2.1. Tư tưởng tích phân xác định. Điều kiện khả tích3.2.1.1. Bài xích toán diện tích s hình thang cong đến hàm số y = f (x) khẳng định và liên tiếp trên đoạn < a, b > và giả sử f (x) ko âm bên trên đoạn đó. Xét hình thang cong AabB là hình giới hạn bởi trang bị thị của hàm số y = f (x) ( x ∈ < a, b > ); những đường trực tiếp x = a, x = b cùng trục Ox. Tính diện tích S của hình thang cong AabB. Ta phân chia đoạn < a, b > thành n đoạn bé dại bởi các điểm chia: x 0 ≡ a bài 3: Phép tính tích phân chia hình thang cong AabB thành n hình thang cong nhỏ dại A i x i x i +1A i +1 . Ta hoàn toàn có thể xấp xỉ diện tích của từng hình thang cong nhỏ đó bởi diện tích s của hình chữ nhật tất cả cùng lòng dưới và độ cao f (ξi ) , trong đó ξi là một điểm bất kỳ nằm giữa x i cùng x i +1 . điện thoại tư vấn Si là diện tích s của hình thang cong nhỏ dại thứ i, ta có: đê mê ≈ f (ξi )(x i +1 − x i ) = f (ξi )Δx i . Vậy diện tích S của hình thang cong AabB rất có thể xấp xỉ vì chưng công thức: n −1 S ≈ ∑ f (ξi )Δx i . I=0 Tổng ở vế buộc phải được gọi là tổng tích phân ứng với phân hoạch π và cách chọn điểm ξi ∈ < x i , x i +1 > . Lúc số điểm chia n to lên vô hạn cùng độ dài các đoạn phân chia Δx i nhỏ tuổi dần thì cạnh bên trên của hình chữ nhật đồ vật i càng sát với hình dáng của đồ dùng thị của f (x) trên đoạn < x i , x i+1 > , phép xấp xỉ diện tích S vày tổng diện tích những hình chữ nhật nói bên trên càng chủ yếu xác. Lúc n tiến ra vô cùng, số lượng giới hạn của tổng sinh hoạt vế phải đó là diện tích S của hình thang cong AabB: S = lim σ (3.1) n →∞ trong toán học, giới hạn ở vế phải một trong những ràng buộc khăng khăng được điện thoại tư vấn là tích phân xác định của hàm số f (x) bên trên đoạn < a, b >3.2.1.2. Định nghĩa tích phân xác minh Định nghĩa: cho hàm số f (x) xác minh trên đoạn < a, b > . Phân hoạch đoạn < a, b > bởi các điểm phân chia x 0 ≡ a bài bác 3: Phép tính tích phân{{Ơ với cùng một phân hoạch π ngẫu nhiên của đoạn < 0,1> và bí quyết chọn điểm ξi ∈ < x i , x i +1 > , ta lập tổng tích phân: n −1 n −1 σ = ∑ f (ξi )Δx i = C∑ Δx i = C . I=0 i=0 Theo khái niệm tích phân xác định, ta có một ∫ Cdx = lim σ = C . Max Δx i → 0 0 CHÚ Ý : Tích phân xác minh của một hàm số khả tích f (x) trên đoạn < a, b > là một số trong những xác định, cho nên tích phân không phụ thuộc vào vào ký hiệu của biến đổi số dưới vết tích phân b b b ∫ f (x)dx = ∫ f (u)du = ∫ f (t)dt = ... A a a3.2.1.3. Điều khiếu nại khả tích Ta quá nhận các định lý sau về tính khả tích của các hàm số. Định lý 1: Điều kiện đề nghị để một hàm số f (x) khả tích bên trên đoạn < a, b > là nó bị chặn trên đoạn đó. Định lý 2: Một hàm số f (x) xác minh trên đoạn < a, b > khả tích trên đoạn đó nếu nó nhất trí một trong những điều kiện sau đây: f (x) liên tiếp trên đoạn < a, b > . • f (x) đơn điệu và bị chặn trên < a, b > . • f (x) bị ngăn và chỉ tất cả hữu hạn điểm ngăn cách trên < a, b > . • CHÚ Ý : từ định lý 2 khi đang biết hàm số f (x) khả tích bên trên đoạn < a, b > thì giới hạn của tổng tích phân không phụ thuộc vào bí quyết phân hoạch đoạn < a, b > và biện pháp chọn điểm ξi . Vì thế khi tính tích phân khẳng định của một hàm khả tích bởi định nghĩa, ta triển khai việc chia đông đảo đoạn < a, b > , và chọn điểm ξi trùng với một trong hai đầu mút của đoạn < x i , x i +1 > , (với 0 ≤ i ≤ n − 1 ). Khi ấy ta gồm i(b − a) b−a xi = a + ; Δx i = ; ξi = x i hoặc ξi = x i +1 n n58 bài bác 3: Phép tính tích phân ví dụ 15: 1 Tính tích phân ∫ x 2 dx . 0 dễ thấy hàm số f (x) = x 2 liên tiếp và vì vậy khả tích bên trên đoạn < 0,1> . Phân hoạch đoạn <0,1> bởi những điểm chia i 0 ≡ x 0 bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ b c b ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx . A a c • đặc thù tuyến tính của tích phân xác minh b b b ∫ <αf (x) + βg(x)> dx = α ∫ f (x)dx + β∫ g(x)dx a a a trong số ấy α, β là các hằng số với f (x);g(x) là những hàm số khả tích bên trên đoạn < a, b > . • mang sử f (x), g(x) là nhị hàm số khả tích bên trên đoạn < a, b > cùng f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ < a, b > , ta bao gồm : b b ∫ f (x)dx ≤ ∫ g(x)dx . A a vết “=” xẩy ra khi còn chỉ khi f (x) = g(x) với tất cả x ∈ < a, b > • nếu như f (x) khả tích bên trên đoạn < a, b > thì hàm số f (x) cũng khả tích bên trên đoạn đó với b b ∫ f (x)dx ≤ ∫ f (x) dx . A a • mang sử hàm số f (x) thường xuyên trên đoạn < a, b > thì tồn tại tối thiểu một điểm c ∈ < a, b > sao cho : b ∫ f (x)dx = f (c)(b − a) . A3.2.2. Phương pháp đạo hàm theo cận trên giả sử f (x) là 1 hàm số liên tục trên đoạn < a, b > . Khi ấy f (x) cũng khả tích trên đoạn < a, x > với x là một điểm bất kỳ thuộc đoạn < a, b > . X Xét hàm số: Φ (x) = ∫ f (t)dt, x ∈ < a, b > . A Hàm số Φ ( x) được điện thoại tư vấn là hàm cận trên. Định lý: ví như f (x) là hàm số liên tiếp trên đoạn < a, b > thì hàm cận trên Φ ( x) là hàm khả vi thường xuyên trên đoạn đó, và với mọi điểm x ∈ < a, b > ta có: ⎛x ⎞ Φ "(x) = ⎜ ∫ f (t)dt ⎟ " = f (x) . ⎝a ⎠ nhận xét: bí quyết nói trên mang đến ta thấy hàm cận bên trên Φ ( x) là 1 nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân f (x) trên đoạn < a, b > . Và do vậy mọi hàm số liên tục đều có nguyên hàm.60 bài xích 3: Phép tính tích phân3.2.3. Cách làm Newton – Leibnitz b ∫ f (x)dx = F(x) b = F(b) − F(a) a a trong số ấy F(x) là một trong nguyên hàm bất kỳ của hàm số tiếp tục f (x) . Phương pháp Newton – Leibnitz có thể chấp nhận được ta tính tích phân xác định thông qua nguyên hàm của hàm số đó. Triệu chứng minh: bởi vì hàm cận bên trên Φ ( x) là một trong những nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn < a, b > đề xuất ta bao gồm F(x) = Φ (x) + C . Vậy x = a ta có: F(a) = Φ (a) + C = C . X Suy ra: ∫ f (t)dt = Φ (x) = F(x) − C = F(x) − F(a) . A b ráng x = b ta được: ∫ f (t)dt = F(b) − F(a) . A ví dụ 16: Tính những tích phân xác định: 2 a) I1 = ∫ x − 1 dx . 0 Ta thấy rằng tích phân của hàm số f (x) = x − 1 ko suy ra trực tiếp được trường đoản cú bảng các tích phân cơ bản, cho nên vì vậy ta yêu cầu khử được lốt giá trị tuyệt vời và hoàn hảo nhất của hàm dưới dấu vết phân. Vì thế ta phân tách đoạn mang tích phân thành hai đoạn: trên đoạn <0,1> hàm số f (x) = 1 − x , trên đoạn <1, 2> hàm số f (x) = x − 1 . Tiếp nối dùng bí quyết Newton – Leibnitz ta tính được tích phân: 1 2 ⎛ x2 ⎞ ⎛ x2 ⎞ 1 2 I1 = ∫ (1 − x)dx + ∫ (x − 1)dx = ⎜ x − ⎟ + ⎜ − x ⎟ = 1 . 2 ⎠0 ⎝ 2 ⎝ ⎠1 0 1 0 b) I 2 = ∫ x arctg(x + 1)dx . −1 Ta tìm kiếm một nguyên hàm của hàm dưới dấu vết phân ⎛ x2 ⎞ x2 1 x 2 dx F(x) = ∫ x arctg xdx = ∫ arctg xd ⎜ ⎟ = arctg x − ∫ . 2 1+ x2 ⎝2⎠ 2 x2 1 Suy ra F(x) = arctg x − (x − arctgx) với theo cách làm Newton – Leibnitz: 2 2 0 π−2 ∫ x arctg(x + 1)dx = F(0) − F(−1) = . 4 −1 61 bài xích 3: Phép tính tích phân{{Ơ3.2.4. Các cách thức tính tích phân xác định Ta đang biết bí quyết Newton – Leibnitz chất nhận được tính tích phân xác minh khi sẽ biết nguyên hàm của hàm số dưới vết tích phân, do đó các phương pháp tính tích phân cô động đều được sử dụng để tính tích phân khẳng định như là: cách thức khai triển, chuyển đổi vi phân, đổi biến chuyển và tích phân từng phần. Mặc dù khi dùng phương thức đổi biến, ta không cần phải đổi lại biến thuở đầu mà chỉ việc tính lại cận tích phân tương ứng. Sau đây trình bày lại hai giải pháp đổi biến so với tích phân xác định, và phương pháp tích phân từng phần.3.2.4.1. Phương thức tích phân từng phần b b ∫ udv = ( uv ) a − ∫ vdu b a a trong các số ấy u (x), v(x) là các hàm số bao gồm đạo hàm liên tục. Cách thức này được vận dụng trong trường đúng theo hàm dưới vết tích phân có chứa những hàm số a x , e x , ln x , các hàm lượng giác và những hàm lượng giác ngược. Ví dụ 17: 1 Tính tích phân: I = ∫ xe3x dx . 0 ⎧du = dx ⎧u = x ⎪ ⇒⎨ Đặt: ⎨ e3 x dv = e3x dx ⎪ v = ⎩ ⎩ 3 1 1 2e3 + 1 xe3x e3 1 1 1 − ∫ e3x dx = − e3x = suy ra: I = . 3 0 30 39 9 03.2.4.2. Phương thức đổi vươn lên là b mang sử ta nên tính tích phân ∫ f (x)dx , trong đó f (x) là hàm số thường xuyên trên đoạn < a, b > . A • Phép đổi đổi mới thứ nhất: Đặt x = ϕ(t) , trong đó: Hàm số ϕ( t) xác định, thường xuyên và bao gồm đạo hàm liên tiếp trên đoạn < α, β> ϕ(α) = a, ϕ(β) = b . Lúc t biến đổi thiên trong khúc < α, β> hàm số x = ϕ(t) dìm giá trị tương xứng trong đoạn < a, b > .

Xem thêm: Dạy Nghề Cho Bộ Đội Xuất Ngũ Ở Bình Dương, Bộ Đội Xuất Ngũ Học Lái Xe Miễn Phí 100%

β β b ∫ f (x)dx = ∫ f <ϕ(t)> ϕ "(t)dt = ∫ g(t)dt . Lúc đó: α α a • Phép đổi biến hóa thứ hai: Đặt t = ϕ(x) , trong đó:62