TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 3 BIẾN

Nội dung bài giảng Bài 1: Hàm các biếnsau đây sẽ giúp các bạn tìm đọc về dạng toàn phương khẳng định dấu, đk đủ của cực trị địa phương của rất trị hàm các biến.

Bạn đang xem: Tìm cực trị của hàm số 3 biến

7. Rất trị hàm nhiều biến

7.1 Định nghĩa

7.2 Dạng toàn phương xác minh dấu

7.3 Định lý

7.4 Điều kiện đủ của rất trị địa phương

7.5 rất trị hàm 2 biến

7.6 cực trị gồm điều kiện

Cho hàm số(f(x) = f(x_1,x_2,...,x_n)) xác minh trên (D subset R^n) với (a = a(x_1,x_2,...,x_n) in D). Ta nói f đạt cực đại (cực tiểu) địa phương trên a giả dụ tồn trên tập(S = left{ {x in D/d(x,a) sao cho(f(a) ge f(x)) (hoặc (f(a) le f(x)),,forall x in S cap D.)

Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi thông thường là cực trị địa phương.

Định lý (điều khiếu nại cần): mang lại hàm số ( f(x_1,x_2,...,x_n)) khẳng định trên tập mở D chứa x0. Trường hợp hàm số ( f(x_1,x_2,...,x_n)) tất cả cực trị địa phương tại(x_0 = left( x_1^0,x_2^0,...,x_n^0 ight)) với giả sử những đạo hàm riêng cấp cho một(fracpartial fpartial x_i(x_0)) tồn tại(forall i = overline 1,n )thì:

(fracpartial fpartial x_i(x_0) = 0,forall i = overline 1,n)

Những điểm(x_0 = left( x_1^0,x_2^0,...,x_n^0 ight))thỏa điều kiện (fracpartial fpartial x_i(x_0) = 0,forall i = overline 1,n)được gọi là đông đảo điểm dừng. Những điểm dừng là phần đông điểm có thể đạt cực trị.

Ghi chú: Định lý bên trên chỉ là điều kiện cần. Tất cả khi những đạo hàm riêng tại (x_0 = left( x_1^0,x_2^0,...,x_n^0 ight)) củaf ko tồn tại cơ mà f vẫn có thể đạt cực trị tại x0.

Ví dụ:(f(x,y) = x^3 + y^3)có(fracpartial fpartial x(0,0) = fracpartial fpartial y(0,0) = 0)nhưng f không đạt cực trị trên (0,0).

Ví dụ:(f(x,y) = sqrt x^2 + y^2). Ta có(fracpartial fpartial x(0,0), fracpartial fpartial y(0,0) ) ko tồn tại nhưng mà f đạt cực tiểu trên (0,0).

7.2 Dạng toàn phương xác minh dấu

Hàm(A(h_1,h_2,...,h_n) = sumlimits_i,j = 1^n a_ijh_ih_j (*)) của các biến(h_1,h_2,...,h_n)được call là dạng toàn phương, những số aij được điện thoại tư vấn là hệ số của dạng toàn phương.

Dạng toàn phương (*) được hotline là xác định dương (hoặc xác định âm) nếu(forall h_1,h_2,...,h_n) thỏa(sumlimits_i,j = 1^n h_i^2 > 0)có (sumlimits_i,j = 1^n a_ijh_ih_j)giá trị dương (hoặc âm).

Dạng toàn phương xác định dương hay khẳng định âm gọi chung là dạng khẳng định dấu.

7.3 Định lý

Xét dạng toàn phương(Aleft( h_1,h_2,...,h_n ight) = sumlimits_i,j = 1^n a_ijh_i h_j,,(*))

Giả sử (a_ij = a_ij,forall i,j = overline 1,n). Khi đó ta có:

i) (*) là dạng toàn phương xác định dương(Leftrightarrow a_11 > 0)

(left| eginarray*20c a_11&a_12\ a_21&a_22 endarray ight| > 0,,,left| eginarray*20c a_11&a_12&a_13\ a_21&a_22&a_23\ a_31&a_32&a_33 endarray ight| > 0,...,left| eginarray*20c a_11&a_12&a_1n\ a_21&a_22&a_2n\ eginarrayl ....\ a_n1 endarray&eginarrayl \ a_n2 endarray&eginarrayl \ a_nm endarray endarray ight| > 0 )

ii) (*) là dạng toàn phương xác minh âm(Leftrightarrow a_11

(left| eginarray*20c a_11&a_12\ a_21&a_22 endarray ight| > 0,,,left| eginarray*20c a_11&a_12&a_13\ a_21&a_22&a_23\ a_31&a_32&a_33 endarray ight| 0 )

7.4 Điều kiện đủ của rất trị địa phương

Giả sử(forall i,j = overline 1,n ;,fracpartial ^2fpartial x_ipartial x_j)tồn tại và liên tiếp trong cạnh bên của điểm dừng(x_0 = left( x_1^0,x_2^0,...,x_n^0 ight))

Nếu(d^2f(x_0) = sumlimits_i,j = 1^n fracpartial ^2fpartial x_ipartial x_j dx_idx_j) là dạng toàn phương khẳng định dấu của các biến(dx_1, dx_2, dx_n) thì f đạt cực trị địa phương tại x0. Khi đó, nếu(d^2f(x_0) thì f đạt cực đại tại x0 và nếu(d^2f(x_0) > 0) thì f đạt cực tiểu tại x0.

7.5 cực trị hàm 2 biến

Giả sử(fracpartial ^2fpartial x^2,fracpartial ^2fpartial y^2,fracpartial ^2fpartial xpartial y) tồn tai và liên tục tai (M_0(x_0, y_0)). đưa sử(fracpartial fpartial x(x_0,y_0) = fracpartial fpartial y(x_0,y_0) = 0) (M0 là vấn đề dừng)

Đặt(a_11 = fracpartial ^2fpartial x^2(x_0,y_0),a_12 = fracpartial ^2fpartial xpartial y(x_0,y_0),a_21 = fracpartial ^2fpartial ypartial x(x_0,y_0))và(Delta (M_0) = left| eginarray*20c a_11&a_12\ a_21&a_22 endarray ight| = a_11a_22 - (a_12)^2)

Ta có:

i) Nếu(Delta (M_0) thì f ko đạt cực trị tại((x_0,y_0))

ii)(left{ eginarrayl a_11 > 0\ Delta (M_0) > 0 endarray ight.)thì f đạt rất tiểu tại((x_0,y_0))

iii)(left{ eginarrayl a_11 0 endarray ight.)thì f đạt cực đại tại((x_0,y_0))

Nhận xét:

Ví dụ:

(f(x, y) = x^3 + y^3)có(Delta left( 0,0 ight) m =0) với không đạt rất trị tại (0,0)

(f=(x,y)=x^4+y^4) có (Delta left( 0,0 ight) m =0) và đạt rất trị trên (0,0)

Ví dụ: Tìm rất trị (nếu có) của(u = f(x,y)) với(f(x,y)) là

(i)x^2 + y^2 + 2x - 6y - 3)

(ii)x^3 + y^2 + 12xy + 1)

(iii),,x + fracy4x + frac1y + 2)

(iv),,3 - sqrt x^2 + y^2)

(v),,xysqrt 1 - fracx^24 - fracy^29)

(vi),,2x^4 + y^4 - x^2 - 2y^2 + 6)

(vii),,x^4 + y^4 - x^2 - y^2 - 2xy + 5)

Giải

i)(u"_x = fracpartial upartial x = 2x + 2,u"_y = 2y - 6)

Tìm điểm dừng(left{ eginarrayl u"_x = 0\ u"_y = 0 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl x = - 1\ y = 3 endarray ight. )

(eginarrayl a_11 = u""_xx = u"_x^2 = fracpartial ^2upartial x^2( - 1,3) = 2,,,a_2 = u"_y^2 = fracpartial ^2upartial y^2( - 1,3) = 2\ \ a_12 = fracpartial ^2fpartial xpartial y( - 1,3) = fracpartial ^2fpartial ypartial x( - 1,3) = 0 endarray)

(Rightarrow Delta ( - 1,3) = left| eginarray*20c 2&0\ 0&2 endarray ight| = 4 > 0 )và(a_11>0)

⇒ Hàm đạt rất tiểu trên (-1,3) với UCT = -13

ii)(u"_x = 3x^2 + 12y,u"_y = 2y + 12x)

(left{ eginarrayl u"_x = 0\ u"_y = 0 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl x = 0\ y = 0 endarray ight. vee left{ eginarrayl x = 24\ y = - 14 endarray ight. )

(u""_x^2 = 6x,,,u""_y^2 = 2,,,u""_xy = 12)

(Delta (0,0) = left| eginarray*20c 0&12\ 12&2 endarray ight| = - 144

(Delta (24, - 144) = left| eginarray*20c 144&12\ 12&2 endarray ight| = 144 > 0 )và(a_11=144>0)

⇒ hàm đạt rất tiểu trên (24, -144)

Bạn phát âm tự giải những ví dụ còn lại

7.6 cực trị gồm điều kiện

Bài toán: Tìm rất trị của hàm(z = f(x_1,x_2,...,x_n))thỏa mãn điều kiện (với m ((I):,left{ eginarrayl g_1(x_1,x_2,...,x_n) = 0,,,(1)\ g_2(x_1,x_2,...,x_n) = 0,,,(2)\ ....\ g_m(x_1,x_2,...,x_n) = 0,,,(m) endarray ight. )

Cách 1: đưa sử m (left{ eginarrayl g_1(x_1,x_2,...,x_n) = 0,,\ g_2(x_1,x_2,...,x_n) = 0,\ ...............\ g_m(x_1,x_2,...,x_n) = 0,, endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl x_1 = h_1(x_m + 1,x_m + 2,...,x_n)\ x_2 = h_2(x_m + 1,x_m + 2,...,x_n)\ ............\ x_m = h_m(x_m + 1,x_m + 2,...,x_n) endarray ight. )

(z = f(x_m + 1,x_m + 2,...,x_n)) là hàm gồm n - m biến. Khi ấy ta tìm cực trị không đk của hàm n - m biến.

Ví dụ: Tìm rất trị của(fleft( x_1,x_2,x_3,x_4 ight) = m 2x_1 + m x_2^3 + 5x_3^2 - 3x_4)

thỏa điều kiện:((*):left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 - x_4 = 3\ x_1 + x_2 - 5x_3 + 3x_4 = 1 endarray ight. )

(ta có m = 2, n = 4 )

((*) Leftrightarrow left{ eginarrayl x_1 = 2 + 2x_3 - x_4\ x_2 = - 1 + 3x_3 + 2x_4 endarray ight. )

Thế vào biểu thức của hàm f ta có:(fleft( x_1,x_2,x_3,x_4 ight) = m 2x_1 + m x_2^3 + 5x_3^2 - 3x_4)

(= 2(2 + 2x_3 - x_4) + (- 1 + 3x_3 - 2x_4)^3 + 5x^2_3 - 3x_4 = F(x_3,x_4) )

Định lý (điều khiếu nại cần):Giả sử (f,g_1,g_2,...,g_m) có những đạo hàm riêng cấp 1 tại(x_0 = left( x_1^0,x_2^0,x_3^0,...,x_n^0 ight)) cùng f đạt cực trị tại x0. Khi đó tồn tại(lambda _1^0,lambda _2^0,...,lambda _m^0)sao cho(fracpartial phi (x_0)partial lambda _j = g_j(x_0) = 0,,forall j = overline 1,m)và(fracpartial phi partial x_k(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0,lambda _1^0,lambda _2^0,...,lambda _m^0) = 0,forall k = overline 1,n)

Do đó để tìm cực trị bao gồm điều kiện, ta giải hệ phương trình:

(left{ eginarrayl fracpartial phi partial lambda _i = 0,j = overline 1,m \ fracpartial phi partial x_k = 0,k = overline 1,n endarray ight. )

Định lý (điều kiện đủ)

Giả sử điều kiện cần của định lý bên trên được thỏa và(fracpartial ^2fpartial x_ipartial x_j) tồn tai, thường xuyên tai trạm dừng x0 ứng với(lambda _0=(lambda _1^0,lambda _2^0,...,lambda _m^0)). Đặt(a_ij = fracpartial ^2phi (x_0lambda _0)partial x_ipartial x_j,b_ij = fracpartial g_jpartial x_i = fracpartial ^2phi partial x_ipartial lambda _j(x_0))

(H_k = left| eginarray*20c a_11&a_12 cdots a_1k&b_11&b_12 cdots b_1m\ a_21&a_22 cdots a_2k&b_21&b_22 cdots b_2m\ .....&&&\ a_k1&a_k2 cdots a_kk&b_k1&b_k2 cdots b_km\ b_11&b_21 cdots b_k1&0&0 cdots 0\ b_12&b_22 cdots b_k2&0&0 cdots 0\ ....&&&\ b_1m&b_2m cdots b_km&0&0 cdots 0 endarray ight|;k = 1,2,...,n )

Đặt Hb là ma trận của tp hà nội (nghĩa là hà nội = |Hb|). Ta có :

i) Nếu(( - 1)^mH_k > 0,forall k = overline m + 1,n Rightarrow f) đạt rất tiểu thỏa đk (I) trên x0

ii) Nếu(( - 1)^kH_k > 0,forall k = overline m + 1,n Rightarrow f) đạt cực to thỏa đk (I) tại x0.

Ví dụ 1: n = 4, m = 1

(H_2 = left| eginarray*20c a_11&a_12&fracpartial gpartial x_1\ a_21&a_22&fracpartial gpartial x_2\ fracpartial gpartial x_1&fracpartial gpartial x_2&0 endarray ight|;,,H_3 = left| eginarray*20c a_11&a_12&a_13&fracpartial gpartial x_1\ a_21&a_22&a_23&fracpartial gpartial x_2\ a_31&a_32&a_33&fracpartial gpartial x_3\ fracpartial gpartial x_1&fracpartial gpartial x_2&fracpartial gpartial x_3&0 endarray ight| );(H_4 = left| eginarray*20c a_11&a_12&a_13&a_14&fracpartial gpartial x_1\ a_21&a_22&a_23&a_24&fracpartial gpartial x_2\ a_31&a_32&a_33&a_34&fracpartial gpartial x_3\ a_41&a_42&a_43&a_44&fracpartial gpartial x_4\ fracpartial gpartial x_1&fracpartial gpartial x_2&fracpartial gpartial x_3&fracpartial gpartial x_4&0 endarray ight| )

Ta có:

ii)(H_2>0,H_30)⇒ f đạt cực đại

Ví dụ 2: n = 3, ra = 1. Ta có:

i) H2 3 2 > 0, H3 3> 0, H4> 0⇒ fđạt cực tiểu

ii) H34> 0⇒ fđạt rất đại.

Xem thêm: Chúa Sinh Năm Bao Nhiêu - Chúa Giê Su Sinh Năm Nào

Ví dụ:Tìm cực trị của hàm (f(x,y,z) = 2x + y + 3z )thỏa mãn điều kiện(x^2 + 4y^2 - 2z^2 =35) (1)

Cách 1: cần sử dụng bất đẳng thức BCS.

Cách 2: Đặt(g(x,y,z)=x^2+4y^2+2z^2-35)

Đặt (F(x,y,z,lambda ) = f(x,y,z) + lambda g(x,y,z) = 2x + y + 3z + lambda (x^2 + 4y^2 + 2z^2 - 35))

(eginarrayl fracpartial Fpartial x = 2 + 2lambda x;fracpartial Fpartial y = 1 + 8lambda x\ \ fracpartial Fpartial z = 3 + 4lambda x;fracpartial Fpartial lambda = g = x^2 + 4y^2 + 2z^2 - 35\ \ fracpartial ^2Fpartial x^2 = 2lambda ;fracpartial ^2Fpartial y^2 = 8lambda ;fracpartial ^2Fpartial z^2 = 4lambda ;fracpartial ^2Fpartial lambda ^2 = 0\ \ fracpartial ^2Fpartial xpartial y = fracpartial ^2Fpartial xpartial z = fracpartial ^2Fpartial ypartial z = 0;fracpartial ^2Fpartial lambda partial x = fracpartial gpartial x = 2x\ \ fracpartial ^2Fpartial lambda partial y = fracpartial gpartial y = 8y;fracpartial ^2Fpartial lambda partial z = fracpartial gpartial z = 4z endarray)

Điều kiện đề nghị để F đạt cực trị tại((x,y,z,lambda ))

(left{ eginarrayl fracpartial Fpartial lambda = g = x^2 + 4y^2 + 2z^2 - 35 = 0\ fracpartial Fpartial x = 2 + 2lambda x = 0\ fracpartial Fpartial y = 1 + 8lambda y = 0\ fracpartial Fpartial z = 3 + 4lambda z = 0 endarray ight. )

(Leftrightarrow left{ eginarrayl x = frac - 1lambda = 8y\ y = frac - 18lambda \ z = frac - 34lambda = 6y\ 64y^2 + 4y^2 + 2.36y^2 - 35 = 0 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl x = 4\ y = frac12\ z = 3\ lambda = frac - 14 endarray ight.,hay,left{ eginarrayl x = - 4\ y = - frac12\ z = - 3\ lambda = frac14 endarray ight. )

i) Xét tại((x,y,z,lambda ) = left( 4,frac12,3, - frac14 ight))

(fracpartial gpartial x(4;frac12;3) = 8;,,fracpartial gpartial y(4;frac12;3) = 4;,,fracpartial gpartial z(4;frac12;3) = 12)

(eginarrayl a_11 = fracpartial ^2Fpartial x^2(4;frac12;3;frac - 14) = frac - 12;,,\ \ a_22 = fracpartial ^2Fpartial y^2(4;frac12;3;frac - 14) = - 2;,\ \ ,a_33 = fracpartial ^2Fpartial z^2(4;frac12;3;frac - 14) = - 1 endarray )

(a_12 = a_21 = a_31 = a_13 = a_23 = a_32 = 0)

Ta có:(H_b = left( eginarray*20c - 1/2&0&0&8\ 0& - 2&0&4\ 0&0& - 1&12\ 8&4&12&0 endarray ight) )

(H_1 = - 64;H_2 = left| eginarray*20c - 1/2&0&8\ 0& - 2&4\ 8&4&0 endarray ight| > 0;,H_3 = left| eginarray*20c - 1/2&0&0&8\ 0& - 2&0&4\ 0&0& - 1&12\ 8&4&12&0 endarray ight|

(Rightarrow ( - 1)^kH_k > 0,forall k = overline 2,3 Rightarrow f)đạt cực to thỏa điều kiện(x^2+4y^2+2z^2=35)tại(left( 4;frac12;3 ight))

ii) giống như xét tại((x,y,z,lambda ) = left( - 4; - frac12; - 3;frac14 ight))ta có:(( - 1)^mH_k = - H_k > 0,forall k = overline 2,3)

⇒ f đạt rất tiểu thỏa điều kiện(x^2 + 4y^2 + 2z^2 = 35)tại(left( -4;-frac12;-3 ight))

Ví dụ:

i) Tìm cực trị của (u=x+y+z) với(xyz = 125)

ii) Tìm cực trị của(u = x + y) với điều kiện(x^2 + fracy^24 + 2z^2 = 1)