Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng với PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1.Ví dụ mở đầu:

Ví dụ 1: từ là một đoạn thẳng bao gồm độ dài là a. Hãy chế tác thành 1 tam giác có diện tích lớn nhất

Ký hiệu cha cạnh tam giác là x, y, z và p. Là nửa chu vi tam giác.

Bạn đang xem: Tìm cực trị hàm 3 biến

Ta cần tìm tam giác có diện tích lớn nhất. Bài xích toán mang lại t2im cực lớn của hàm số:

*
Thông thường, phương trình f(x,y) = 0 là phương trình của mặt đường cong (C). Như vậy, ta chỉ đối chiếu
*
cùng với
*
khi M vị trí (C).

Tương tự, ta cũng đều có định nghĩa cực to có điều kiện.

Cực tè có đk và cực to có đk được gọi thông thường là rất trị tất cả điều kiện.

4. Các phương thức tìm cực trị bao gồm điều kiện:

4.1 cách 1: Đưa về bài toán tìm rất trị của hàm 1 biến

Nếu từ điều kiện (2) ta giải tìm kiếm được y = y(x) thì khi ráng vào hàm số

*
ta bao gồm z là hàm theo 1 biến số x:
*
. Như vậy, vấn đề trở về bài toán tìm cực trị của hàm tiên phong hàng đầu biến. —–> thừa quen thuộc!!!

Ví dụ: Tìm rất trị của hàm

*
với đk
*

Từ đk trên ta rút ra:

*
. Bởi thế y xác định với gần như x.

Thay vào hàm số ta có:

*

Đây là hàm tiên phong hàng đầu biến, hàm số này khẳng định khi

*

Ta có:

*

Như vậy, hàm số không tồn tại cực trị có đk vì

*
không thuộc miền xác định của hàm số.

4.2 phương pháp 2: cách thức Larrange:

Nếu từ bỏ pt (2) ta ko giải search y theo x được. Lúc đó, đưa sử (2) xác minh 1 hàm ẩn theo vươn lên là x:

*
. Để sống thọ hàm số ẩn, ta đưa thiết
*
(*)

Như vậy: hàm số

*
, với y là hàm theo x chính là hình ảnh hàm số đúng theo của đổi thay số x thông qua biến trung gian y.

Với các giá trị của x tạo cho z hoàn toàn có thể có rất trị thì đạo hàm của z theo x đề xuất triệt tiêu.

Vậy đem đạo hàm của (1) theo đổi thay x với quy tắc hàm hòa hợp (nhớ rằng y là hàm theo x) ta có:

*

Do đó, tại hầu như điểm rất trị ta phải có:

*
(3)

Từ điều kiện (2), ta lấy đạo hàm 2 vế theo x. Ta có:

*
(4)

Đẳng thức (4) này được thỏa mãn nhu cầu với số đông x, y vừa lòng phương trình (2).

Như vậy, tại hầu như điểm cực trị vừa lòng điều khiếu nại (2) thì sẽ thỏa mãn (3) cùng (4)

Nhân các số hạng của (4) với thông số chưa xác minh

*
cùng cộng chúng với các số hạng tương ứng của (3), ta được:

*

Hay:

*
(5)

Do đó, phương trình (5) cũng nghiệm đúng tại đa số điểm rất trị thỏa đk (2). Từ bỏ (5), ta lựa chọn hằng số

*
sao để cho tại phần lớn điểm cực trị, thông số của
*
đang triệt tiêu.

Nghĩa là:

*
(6)

Vì vậy, tự phương trình (5) cùng (6) ta có: gần như điểm cực trị có đk sẽ là nghiệm của hệ phương trình:

*

Bây giờ, ta xét hàm số Larrange:

*

Khi đó những điểm cực trị địa phương của hàm Larrange sẽ thỏa mãn hệ:

*

Từ (I) và (II) ta nhấn thấy: các điểm giới hạn của hàm Larrange hoàn toàn có thể là cực trị của hàm z = f(x,y) với đk (2).

Như vậy, việc cực trị có điều kiện trở về việc cực trị địa phương của hàm Larrange. Ở phía trên

*
chỉ vào vai trò phụ với sau khi kiếm được giá trị
*
thì không đề nghị đến.

Xem thêm: Tìm Hiểu Những Cơ Hội Và Thách Thức Của Toàn Cầu Hóa Đối Với Các Nước Đang Phát Triển

Điều kiện của rất trị có đk liên quan mang lại việc điều tra dấu của vi phân cấp 2 của hàm Larrange tại điểm

*

*

trong đó: dx, dy không phải là đa số giá trị bất kỳ mà nên thỏa điều kiện:

*
trong đó:
*

Nếu

*
0 " class="latex" /> với tất cả giá trị hoàn toàn có thể có của dx, dy thì hàm z = f(x,y) đạt cực tiểu bao gồm điều kiện.