Tìm giá bán tị lớn nhất (GTLN) với giá trị bé dại nhất (GTNN) của biểu thức (biểu thức cất dấu căn, biểu thức đựng dấu quý giá tuyệt đối,...) là trong những dạng toán lớp 9 có nhiều bài kha khá khó và yên cầu kiến thức vận dụng linh hoạt trong những bài toán.

Bạn đang xem: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức lớp 9


Bài viết này sẽ share với các em một vài cách tìm giá chỉ trị lớn số 1 (GTLN, Max) cùng giá trị bé dại nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số chứa dấu căn, cất dấu quý giá tuyệt đối,...) qua một số bài tập minh họa cầm cố thể.

° Cách tìm giá trị phệ nhất, giá chỉ trị bé dại nhất của biểu thức đại số:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 trở thành số)

- mong mỏi tìm giá chỉ trị lớn nhất hay giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của một biểu thức ta tất cả thể chuyển đổi biểu thức thành dạng: A2(x) + const ;(A biểu thức theo x, const = hằng số).

* lấy ví dụ 1: cho biểu thức: A = x2 + 2x - 3. Tìm GTNN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = x2 + 2x - 3 = x2 + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)2 - 4

- bởi vì (x + 1)2 ≥ 0 ⇒ (x + 1)2 - 4 ≥ -4 

 ⇒ A ≥ - 4 dấu bằng xảy ra, tức A = - 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

- Kết luận: Amin = -4 khi và chỉ khi x = -1.

* lấy ví dụ như 2: Cho biểu thức: A = -x2 + 6x - 5. Search GTLN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = -x2 + 6x - 5 = -x2 + 6x - 9 + 9 - 5 = -(x - 3)2 + 4 = 4 - (x - 3)2

- vày (x - 3)2 ≥ 0 ⇒ -(x - 3)2 ≤ 0 ⇒ 4 - (x - 3)2 ≤ 4

 ⇒ A ≤ 4 dấu bởi xảy ra, tức A = 4 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

- Kết luận: Amax = 4 khi và chỉ khi x = 3.

* lấy ví dụ như 3: Cho biểu thức: 

*

- search x để Amax; tính Amax =?

° Lời giải:

- Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức (x2 + 2x + 5) đạt giá trị bé dại nhất.

- Ta có: x2 + 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 4

- Vì (x + 1)2 ≥ 0 buộc phải (x + 1)2 + 4 ≥ 4 

 dấu "=" xảy ra khi và chỉ còn khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1

 Vậy

*

 

*

*

° Cách tìm giá bán trị phệ nhất, giá bán trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn:

* Phương pháp: (đối cùng với biểu thức 1 biến số)

- cũng tương tự như cách tìm ở phương pháp trên, vận dụng đặc thù của biểu thức không âm như:

 

*
 hoặc 
*

- lốt "=" xẩy ra khi A = 0.

* ví dụ như 1: Tìm GTNN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta thấy: 

*
 

 

*

 Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 + 3 ≥ 3

 nên 

*
 dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

*

* lấy một ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ -3(x - 1)2 ≤ 0 ⇒ -3(x - 1)2 + 5 ≤ 5

 nên 

*
 dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

 

*

* lấy ví dụ như 3: Tìm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta có:

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 nên giá chỉ trị nhỏ dại nhất của B là 
*
 đạt được khi:

 

*

* lấy ví dụ như 4: Tìm GTLN của biểu thức:

*

° Lời giải:

- Điều kiện: x≥0

- Để A đạt giá trị lớn số 1 thì 

*
 đạt giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất

- Ta có: 

*

 

*

 Lại có: 

*
*

 Dấu"=" xẩy ra khi 

*

*

*

- Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4.

° Cách tìm giá trị khủng nhất, giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

* Phương pháp: (đối cùng với biểu thức 1 biến chuyển số)

- vấn đề này cũng nhà yếu phụ thuộc vào tính ko âm của trị giỏi đối.

* lấy một ví dụ 1: tra cứu GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta có: |2x - 2| ≥ 0 ⇔ -|2x - 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x - 2| ≤ 5

 Dấu "=" xảy ra khi |2x - 2| = 0 ⇔ 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1

 Vậy Amax = 5 ⇔ x = 1

* lấy ví dụ như 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 - x| - 3

° Lời giải:

- Ta có: |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| - 3 ≥ -3

Dấu "=" xẩy ra khi |9 - x| = 0 ⇔ 9 - x = 0 ⇔ x = 9

 Vậy Amin = -3 ⇔ x = 9

Như vậy, các bài toán trên dựa trên các biến đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức không âm (bình phương, trị tuyệt đối,...) với hằng số để tìm ra lời giải. Thực tế, còn nhiều vấn đề phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) đến hai số a, b không âm: 

*
 (Dấu "=" xẩy ra khi a =b) hay áp dụng bất đẳng thức đựng dấu giá trị tuyệt đối:
*
 (dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi a.b≥ 0); 
*
, (dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi a.b≤ 0).

Xem thêm: Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 3 Bài, Vở Bài Tập Toán 3

* ví dụ 1: Tìm giá trị bé dại nhất của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- vày a,b>0 nên 

*

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means)).