Tài liệu hướng dẫn phương thức tính góc thân hai khía cạnh phẳng giảm nhau trong không gian, đó là một văn bản rất đặc trưng trong công tác Hình học 11 chương 3. Kiến thức và các ví dụ minh họa trong nội dung bài viết được xem thêm từ các tài liệu hình học không khí được share trên plovdent.com.

Bạn đang xem: Tìm góc giữa hai mặt phẳng

Bài toán: đến hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ giảm nhau, tính góc giữa hai phương diện phẳng $(α)$ cùng $(β).$

Ta áp dụng một trong các các phương thức sau đây:

Phương pháp 1Dựng hai đường thẳng $a$, $b$ lần lượt vuông góc với nhị mặt phẳng $left( alpha ight)$ và $left( eta ight)$. Khi đó, góc thân hai mặt phẳng $left( alpha ight)$ và $left( eta ight)$ là $left( widehat left( alpha ight),left( eta ight) ight) = left( widehat a,b ight).$ Tính góc $left( widehat a,b ight).$

Phương pháp 2+ xác định giao con đường $c$ của nhị mặt phẳng $left( alpha ight)$ và $left( eta ight).$+ Dựng hai đường thẳng $a$, $b$ lần lượt phía bên trong hai phương diện phẳng và thuộc vuông góc với giao con đường $c$ tại một điểm bên trên $c.$ Khi đó: $left( widehat left( alpha ight),left( eta ight) ight) = left( widehat a,b ight).$

*

Hiểu phương pháp khác: Ta xác minh mặt phẳng phụ $left( gamma ight)$ vuông góc với giao tuyến $c$ mà $left( alpha ight) cap left( gamma ight) = a$, $left( eta ight) cap left( gamma ight) = b.$ Suy ra $left( widehat left( alpha ight),left( eta ight) ight) = left( widehat a,b ight).$

Phương pháp 3 (trường hợp quánh biệt)

*

Nếu bao gồm một đoạn thẳng nối nhị điểm $A$, $B$ $left( A in left( alpha ight), B in left( eta ight) ight)$ mà $AB ot left( eta ight)$ thì qua $A$ hoặc $B$ ta dựng con đường thẳng vuông góc cùng với giao tuyến $c$ của nhì mặt phẳng tại $H.$ Khi đó $left( widehat left( alpha ight),left( eta ight) ight) = widehat AHB.$

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ cạnh đáy $ABCD$ bằng $a$ và $SA = SB = SC = SD = a.$ Tính $cosin$ góc thân hai mặt phẳng $left( SAB ight)$ và $left( SAD ight).$

*

Gọi $I$ là trung điểm $SA.$ Do tam giác $SAD$ và $SAB$ đều nên:$left{ eginarraylBI ot SA\DI ot SAendarray ight.$ $ Rightarrow left( widehat left( SAB ight),left( SAD ight) ight) = left( widehat BI,DI ight).$Áp dụng định lý $cosin$ mang lại tam giác $BID$ ta có:$cos widehat BID = fracIB^2 + ID^2 – BD^22IB.ID$ $ = fracleft( fracsqrt 3 2a ight)^2 + left( fracsqrt 3 2a ight)^2 – left( asqrt 2 ight)^22.fracsqrt 3 2a.fracsqrt 3 2a$ $ = – frac13.$Vậy $cos left( widehat left( SAB ight),left( SAD ight) ight) = frac13.$

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là nửa lục giác hồ hết nội tiếp con đường tròn đường kính $AB = 2a$, $SA$ vuông góc với $left( ABCD ight)$ và $SA = asqrt 3 .$ Tính góc giữa hai mặt phẳng $left( SBC ight)$ và $left( SCD ight).$

*

Vì $ABCD$ là nửa lục giác hầu hết nên $AD = DC = CB = a.$Dựng đường thẳng trải qua $A$ và vuông góc với $left( SCD ight).$Trong khía cạnh phẳng $left( ABCD ight)$ dựng $AH ot CD$ tại $H$ $ Rightarrow CD ot left( SAH ight).$Trong khía cạnh phẳng $left( SAH ight)$ dựng $AP ot SH$ $ Rightarrow CD ot AP$ $ Rightarrow AP ot left( SCD ight).$Dựng mặt đường thẳng trải qua $A$ và vuông góc với $left( SBC ight).$Trong khía cạnh phẳng $left( SAC ight)$ dựng $AQ ot SC.$Lại có $AQ ot BC$ vì $left{ eginarraylBC ot AC\BC ot SAendarray ight.$ $ Rightarrow BC ot left( SAC ight)$ $ Rightarrow BC ot AQ.$Vậy $AQ ot left( SBC ight).$

Suy ra góc thân hai mặt phẳng $left( SBC ight)$ và $left( SCD ight)$ là góc giữa hai tuyến phố thẳng lần lượt vuông góc với nhị mặt phẳng ấy là $AP$ và $AQ.$Ta tính góc $widehat PAQ$, có $AH = sqrt AD^2 – HD^2 $ $ = sqrt a^2 – fraca^24 = fracasqrt 3 2.$$ Rightarrow frac1AP^2 = frac1AS^2 + frac1AH^2$ $ Rightarrow AP = fracasqrt 3 sqrt 5 .$Tam giác $SAC$ vuông cân nặng tại $A$ $ Rightarrow AQ = fracSC2 = fracasqrt 6 2.$$Delta APQ$ vuông tại $P$ $ Rightarrow cos widehat PAQ = fracAPAQ = fracsqrt 10 5$ $ Rightarrow widehat PAQ$ $ = arccos fracsqrt 10 5.$

Ví dụ 3. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân nặng với $BA = BC = a$, $SA ot left( ABC ight)$, $SA = a.$ Gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm của những cạnh $AB, AC.$ Tính $cosin$ góc thân hai khía cạnh phẳng $left( SEF ight)$ và $left( SBC ight).$

*
Nhận xét: Giao con đường của nhị mặt phẳng $left( SEF ight)$ và $left( SBC ight)$ là đường thẳng $St$ đi qua $S$ và tuy vậy song với $EF$ và $BC$ nên ta xác định hai đường thẳng qua $S$ và lần lượt phía trong hai mặt phẳng $left( SEF ight)$ và $left( SBC ight)$ và thuộc vuông góc với $St$ (ta đi minh chứng hai con đường thẳng đó là $SE$ và $SB$).

Vì $left{ eginarraylEF subset left( SEF ight)\BC subset left( SBC ight)\EF m// BCendarray ight. $ $⇒$ giao tuyến đường của $left( SEF ight)$ và $left( SBC ight)$ là mặt đường thẳng qua $S$, song song với $BC$, là $St.$

Ta bao gồm $left{ eginarraylBC ot AB\BC ot SAleft( vì SA ot left( ABC ight) ight)endarray ight. $ $ Rightarrow BC ot left( SAB ight)$ $ Rightarrow BC ot SB$ hay $St ot SB.$Tương từ $EF ot left( SAE ight)$ $ Rightarrow EF ot SE$ mà $EF m// St$ $ Rightarrow St ot SE.$Vậy $SB$ và $SE$ cùng đi qua $S$ và cùng vuông góc với $St$ nên góc thân hai mặt phẳng $left( SEF ight)$ và $left( SBC ight)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $SE.$Ta tính góc $widehat BSE.$Có $SE = sqrt SA^2 + AE^2 = fracasqrt 5 2$; $SB = sqrt SA^2 + AB^2 = asqrt 2 $; $BE = fraca2.$Theo định lí $cosin$ ta có: $cos widehat BSE = fracSE^2 + SB^2 – BE^22.SE.SB$ $ = frac3sqrt 10 $ $ Rightarrow widehat BSE = arccos frac3sqrt 10 .$

Ví dụ 4. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $B$, $SA = a$ và $SA ot left( ABC ight)$, $AB = BC = a.$ Tính góc giữa hai mặt phẳng $left( SAC ight)$ và $left( SBC ight).$

*
Nhận xét: Ta áp dụng phương thức 3 (trường hợp sệt biệt).

Ta có $left( SAC ight) cap left( SBC ight) = SC.$Gọi $F$ là trung điểm $AC$ $ Rightarrow BF ot left( SAC ight).$Dựng $BK ot SC$ tại $K$ $ Rightarrow SC ot left( BKF ight)$ $ Rightarrow widehat left( left( SAC ight),left( SBC ight) ight)$ $ = widehat left( KB,KF ight) = widehat BKF.$$Delta CFK sim Delta CSA Rightarrow fracFKFC = fracSASC$ $ Rightarrow FK = fracFC.SASC$ $ = fracfracasqrt 2 2.aasqrt 3 = fracasqrt 6 .$$Delta BFK$ vuông tại $F$ $ Rightarrow an widehat BKF = fracFBFK$ $ = fracfracasqrt 2 2fracasqrt 6 = sqrt 3 $ $ Rightarrow widehat BKF = 60^circ $ $ = widehat left( left( SAC ight),left( SBC ight) ight).$

Ví dụ 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là nửa lục giác những nội tiếp mặt đường tròn đường kính $AB = 2a$, $SA$ vuông góc với $left( ABCD ight)$ và $SA = asqrt 3 .$ Tính $tan$ của góc thân hai mặt phẳng $left( SAD ight)$ và $left( SBC ight).$

*
Gọi $I = AD cap BC$, $ABCD$ là nửa lục giác phần lớn nên $AD = DC = CB = a$, $AI = IB = a.$$left( SAD ight) cap left( SBC ight) = SI$ $ Rightarrow left{ eginarraylBD ot SA\BD ot ADendarray ight.$ $ Rightarrow BD ot left( SAD ight) Rightarrow BD ot SI.$Vì vậy theo trường hợp quan trọng ta chỉ việc dựng $DE ot SI$ với $E in SI.$Khi đó, $SI ot left( BED ight)$ $ Rightarrow left( widehat left( SAD ight),left( SSBC ight) ight) = left( widehat EB,ED ight)$ $ = widehat BED$ (Vì $Delta BED$ vuông trên $D$).$Delta AIB$ đều nên $BD = asqrt 3 .$$SI = sqrt SA^2 + AI^2 = asqrt 7 .$Hai tam giác vuông $SAI$ và $DEI$ đồng dạng nên: $fracDESA = fracDISI Rightarrow DE = fracasqrt 3 sqrt 7 .$$Delta BDE$ vuông tại $D$ $ Rightarrow an widehat BED = fracBDDE = sqrt 7 .$

Ví dụ 6. Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $AB = a$, trên con đường thẳng $d$ vuông góc với $left( ABC ight)$ tại điểm $A$ ta rước một điểm $D.$ Tính góc thân hai phương diện phẳng $left( ABC ight)$ và $left( DBC ight)$, trong ngôi trường hợp $left( DBC ight)$ là tam giác đều.

*
Gọi $varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $left( ABC ight)$ và $left( DBC ight).$Theo công thức diện tích hình chiếu của nhiều giác, ta có: $S_Delta ABC = S_Delta DBC.cosvarphi .$Mà: $S_ΔDBC = frac12DB.DC.sin 60^0$ $ = frac12asqrt 2 .asqrt 2 .fracsqrt 3 2 = fraca^2sqrt 3 2.$Mặt khác: $S_ΔABC = frac12AB.AC = frac12a^2.$$ Rightarrow cos varphi = fracS_ΔABCS_ΔDBC = fracsqrt 3 3$ $ Rightarrow varphi = arccos fracsqrt 3 3.$

Ví dụ 7.

Xem thêm: Quá Trình Tiêu Hóa Thức Ăn Được Tiêu Hóa Và Hấp Thụ Như Thế Nào

 Cho lăng trụ đứng $OAB.O’A’B’$ có những đáy là những tam giác vuông cân $OA = OB = a, AA’ = asqrt 2 .$ Gọi $M, P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $OA, AA’.$ Tính diện tích thiết diện khi cắt lăng trụ bởi $left( B’MP ight).$

*
Gọi $R$ là giao điểm của $MP$ và $OO’$, $Q$ là giao điểm của $B’R$ với $OB.$Thiết diện là tứ giác $MPB’Q$, ta có: $fracOQO’B’ = fracRORO’ = frac13$ $ Rightarrow OQ = fraca3.$Tứ giác $AMQB$ là hình chiếu vuông góc của tứ giác $PMQB’$ trên khía cạnh phẳng $left( OAB ight)$ nên: $S_PMQB’ = fracS_AMQBcos varphi .$Với $varphi $ là góc tạo vì chưng hai mặt phẳng $left( OAB ight)$ và $left( MPB’Q ight).$Ta có: $S_AMQB = S_OAB – S_OMQ$ $ = frac12a^2 – frac112a^2 = frac512a^2.$Hạ $OH ot MQ$, ta có: $left{ eginarraylMQ ot OH\MQ ot ORendarray ight. Rightarrow MQ ot left( OHR ight).$Vậy: $varphi = widehat OHR$ ($widehat OHR$ nhọn).Ta có: $cos varphi = coswidehat OHR = fracOHRH$ $ = fracOHsqrt OH^2 + OR^2 $ $ = fracfracasqrt 13 sqrt fraca^213 + fraca^22 = fracsqrt 2 sqrt 15 .$Vậy: $S_PMQB’ = frac5a^2sqrt 15 12sqrt 2 .$

Ví dụ 8. cho lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là một tam giác cân với $AB = AC = a,widehat BAC = 120^0,$ cạnh bên $BB’ = a.$ Gọi $I$ là trung điểm $CC’.$ Chứng minh rằng tam giác $AB’I$ vuông sinh sống $A$. Tính $cosin$ của góc thân hai phương diện phẳng $left( ABC ight)$ và $left( AB’I ight).$

*
Áp dụng định lý $cosin$ đến $Delta ABC$ ta có: $BC^2 = a^2 + a^2 – 2a^2 mcos120^0$ $ = 3a^2.$Áp dụng định lý Py-ta-go cho các tam giác:$Delta B’BA$: $B"A^2 = 2a^2.$$Delta ICA$: $AI^2 = a^2 + left( frac12 ight)^2 = frac5a^24.$$Delta B’C’I$: $B"I^2 = 3a^2 + fraca^24 = frac13a^24.$Ta có: $B"A^2 + AI^2 = 2a^2 + frac5a^24$ $ = frac13a^24 = B"I^2 Rightarrow Delta AB’I$ vuông làm việc $A.$Ta có: $S_Delta AB’I = frac12AI.AB’$ $ = frac12.fracasqrt 5 2.asqrt 2 = fraca^2sqrt 10 4.$$S_Delta ABC = frac12a^2sin 120^0 = fraca^2sqrt 3 4.$Gọi $varphi $ là góc thân hai mặt phẳng $left( ABC ight)$ và $left( AB’I ight).$ lúc đó:$cosvarphi = fracS_Delta ABCS_Delta ABI’$ $ = fracfraca^2sqrt 3 4fraca^2sqrt 10 4 = fracsqrt 3 sqrt 10 = fracsqrt 30 10.$