Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng

Cách tìm kiếm hình chiếu của 1 điểm khởi thủy thẳng rất hay

Với giải pháp tìm hình chiếu của 1 điểm khởi hành thẳng rất hay Toán lớp 10 có đầy đủ cách thức giải, lấy ví dụ minh họa và bài bác tập trắc nghiệm tất cả lời giải cụ thể sẽ giúp học viên ôn tập, biết phương pháp làm dạng bài bác tập tìm kiếm hình chiếu của một điểm căn nguyên thẳng từ kia đạt điểm trên cao trong bài xích thi môn Toán lớp 10.

Bạn đang xem: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng

A. Cách thức giải

Cho trước điểm A(x0; y0) với phương trình con đường thẳng d: ax + by + c = 0 gồm VTPT n→( a; b). Tìm kiếm hình chiếu của điểm A xuất hành thẳng d:

+ bước 1: call H là hình chiếu của A phát xuất thẳng d.

+ cách 2: Lập phương trình tổng quát của AH

AH:

⇒ phương trình AH: b(x - x0) - a(y - y0) = 0

+ bước 3: AH cùng d cắt nhau trên H nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:

Từ hệ phương trình bên trên ta suy ra tọa độ điểm H.

B. Lấy ví dụ minh họa

Ví dụ 1: mang đến điểm A( 1; 2) và đường thẳng (d): x + 2y - 3 = 0 .Tìm hình chiếu của A xuất xứ thẳng d.

A. ( 1; -2) B. (-

; ) C. ( ; ) D. Đáp án khác

Lời giải

+ hotline H là hình chiếu của A lên đường thẳng (d) .

+ Lập phương trình đường thẳng AH:

(AH) :

⇒ Phương trình ( AH) : 2(x - 1) – 1.( y - 2) = 0 hay 2x - y = 0

+ hai đường thẳng AH cùng d cắt nhau trên H đề nghị tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:

Chọn C.

Ví dụ 2: mang đến điểm A( 2; 0) và đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Tra cứu hình chiếu của điểm A khởi thủy thẳng d.

A. ( 2; -1) B. (2; 0) C. (1; -2) D. (-2; -1)

Lời giải

Ta có: 2 + 0 - 2 = 0 phải điểm A thuộc con đường thẳng d.

⇒ Hình chiếu của điểm A xuất hành thẳng d chính là điểm A.

Chọn B.

Ví dụ 3: đến tam giác ABC có A( 0; -2).Gọi I ( 2; 4) là trung điểm của AB với J( -4; 2) là trung điểm của AC. điện thoại tư vấn hình chiếu của điểm A lên BC là H. Viết phương trình mặt đường thẳng AH?

A. 6x + 2y - 3 = 0 B. 6x + 2y + 4 =0 C. 2x - y + 1 = 0 D. Tất cả sai

Lời giải

+ vày I cùng J thứu tự là trung điểm của AB và AC đề xuất IJ là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .

+ vày H là hình chiếu của A lên BC

⇒ AH vuông góc BC (2).

Từ(1) với ( 2) suy ra: AH vuông góc IJ

+ Lập phương trình AH:

⇒ ( AH): 6(x - 0) + 2( y + 2) = 0 tuyệt 6x + 2y + 4 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 4: Toạ độ hình chiếu của M(4; 1) trê tuyến phố thẳng ∆: x - 2y + 4 = 0 là:

A. ( 14; -19) B. ( 2; 3)C. (; ) D. (- ; )

Lời giải

+ Đường trực tiếp ∆ có một VTPT n→(1; -2)

gọi H( 2t - 4; t) là hình chiếu của M trên tuyến đường thẳng ∆ thì MH→(2t - 8; t - 1)

⇒ nhì vecto MH→ cùng n→(2; -3) thuộc phương nên:

⇒ H(; )

Chọn C.

Ví dụ 5: mang lại đường trực tiếp ∆:

cùng điểm M(3; 3) . Tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng ∆ là:

A. (4; -2) B. (1; 0) C. (-2; 2) D. (7; -4)

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H ∈ ∆ ⇒ H(1 + 3t; - 2t), MH→ = (- 2 + 3t; - 3 - 2t)

Đường thẳng có vectơ chỉ phương là u→( 3; -2) .

Do H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ nên hai tuyến đường thẳng MH với ∆ vuông góc với nhau

⇒ MH→.u→ = 0 ⇔ 3( -2 + 3t ) – 2( -3 - 2t) = 0

⇔ -6 + 9t + 6 + 4t = 0 ⇔ 13t = 0 ⇔ t = 0

⇒ H ( 1; 0)

Chọn B.

Ví dụ 6: Tìm hình chiếu của A( 3;-4) phát xuất thẳng d:

A. ( 1; 2) B. (4; -2) C. ( -1; 2) D. ( -1; -3)

Lời giải

+ đem điểm H(2 + 2t; -1 - t) thuộc d.

Ta gồm AH→ = (2t - 1; -t + 3)

Vectơ chỉ phương của d là u→( 2; -1)

+Do H là hình chiếu của A bên trên d

⇔ AH ⊥ d ⇔ u→.AH→ = 0 ⇔ 2(2t - 1) - (- t + 3) = 0 ⇔ t = 1

+ với t = 1 ta bao gồm H( 4; -2)

Vậy hình chiếu của A trên d là H( 4; -2).

Chọn B.

Ví dụ 7: đến đường thẳng ∆:

. Hoành độ hình chiếu của M( 4; 5) trên ∆ gần nhất với số nào sau đây ?

A. 1,1B. 1,2C. 1,3D. 1,5

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của M bên trên ∆.

Ta có: H ∈ ∆ buộc phải H( 2 - 3t; 1 + 2t) cùng MH→( -2 - 3t; -4 + 2t)

Đường trực tiếp ∆có vectơ chỉ phương là u→(3; - 2) .

u→ ⊥ MH→ ⇔ u→.MH→ = 0 ⇔ 3(-2 - 3t) - 2(-4 + 2t) = 0 ⇔ -13t + 2 = 0 ⇔ t =

⇒ H( ;

)

⇒ Hoành độ của điểm H là .

Chọn D.

Ví dụ 8: mang lại tam giác BAC bao gồm AB = 3; BC = 3√3 và góc B = 300.Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Tìm kiếm mệnh đề đúng?

A. H bên trong đoạn BC thỏa mãn: bh = 2 HC

B. AH =

.

C. BH = 2.

D. Tất cả không đúng

Lời giải

+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:

AC2 = AB2 + BC2 – 2.AC.BC.Cos B

= 32 + (3√3 )2 - 2.3.3√3.cos300 = 9

⇒ AC = 3 buộc phải AB = AC = 3

⇒ Tam giác BAC cân nặng tại A.

+ AH là mặt đường cao cần đồng thời là mặt đường trung đường

⇒ H là trung điểm của BC: bảo hành = CH =

+ Xét tam giác vuông AHB có: AH = AB.sinB = 3.sin300 = 1,5.

Chọn B.

C. Bài xích tập vận dụng

Câu 1: cho điểm A( -1; 2) và con đường thẳng ∆:

. Tìm điểm M bên trên ∆ sao cho AM ngắn nhất.

A. ( 1; -3) B. ( 1; 3) C. (0; 5) D. (4; 0)

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Lấy điểm M ( t - 2; - t - 3) nằm trong ∆

⇒ AM =

Ta có: ( t + 2)2 ≥ 0 với đa số t buộc phải 2( t + 2)2 + 18 ≥ 18

⇒ AM =

⇒ AM ngắn tuyệt nhất là √18 khi và chỉ còn khi : t + 2 = 0 tuyệt t = 2.

Khi kia tọa độ điểm M( 0 ; 5) .

Câu 2: Toạ độ hình chiếu của M(4; 1) trên phố thẳng d: x - 2y + 4 = 0 là:

A. (

; )B. (; ) C. (; )D. (; )

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Đường thẳng d có 1 VTPT n→(1; -2).

điện thoại tư vấn H( 2t - 4; t) là hình chiếu của M( 4; 1) trê tuyến phố thẳng d thì MH→(2t – 8; t - 1)

Và n→(1; -2) cùng phương khi và chỉ còn khi

→ H(; ).

Câu 3: mang lại tam giác ABC bao gồm A(1; 3).Gọi I(2; 1) là trung điểm của AB và J( -1; 0) là trung điểm của AC. Call hình chiếu của điểm A lên BC là H ( x; y). Tính x + 2y?

A. 0 B. - 1 C. 2 D. 3

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

+ bởi vì I và J thứu tự là trung điểm của AB với AC phải IJ là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .

+ vì chưng H là hình chiếu của A lên BC

⇒ AH vuông góc BC (2).

Từ(1) cùng ( 2) suy ra: AH vuông góc IJ

+ Lập phương trình AH:

⇒ ( AH): - 3( x - 1) – 1( y - 3) = 0 tốt 3x + y - 6 = 0.

+ Phương trình IJ:

⇒ Phương trình IJ: 1( x - 2) – 3( y - 1) = 0 giỏi x - 3y + 1 = 0.

+ điện thoại tư vấn giao điểm của IJ với AH là M. Tọa độ điểm M là nghiệm hệ :

+ lại có M là trung điểm AH ( vì MI // bh và I là trung điểm AB)

⇒ Tọa độ điểm H:

⇒ x + 2y = 0

Câu 4: Toạ độ hình chiếu của M(- 2; 1) trên tuyến đường thẳng ∆: 2x - y + 4 = 0 là:

A. (

; - ) B. ( ; ) C. ( - ; ) D. (1; 0)

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

+ Đường thẳng ∆ có một VTPT n→( 2; -1)

hotline H( t; 2t + 4) là hình chiếu của M trê tuyến phố thẳng ∆ thì MH→( t + 2; 2t + 3)

⇒ nhì vecto MH→ với n→( 2; -1) thuộc phương nên:

⇔ - t - 2 = 4t + 6 ⇔ t = -

⇒ Tọa độ điểm H( - ; )

Câu 5: mang đến đường trực tiếp ∆:

và điểm M(2; -3). Tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng ∆ là:

A. (4; -2) B. (-0,8; -4,4) C. (-2,2; 4) D. (7; -4,4)

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H trực thuộc ∆ bắt buộc H( -3 + t ; -2t) ⇒ MH→( t - 5 ; 3 - 2t)

Đường thẳng gồm vectơ chỉ phương là u→( 1; -2) .

Do H là hình chiếu vuông góc của M bên trên ∆ nên hai tuyến đường thẳng MH với ∆ vuông góc cùng với nhau

⇒ MH→ . U→ = 0 ⇔ 1(t - 5) – 2( 3 - 2t) = 0

⇔ t - 5 - 6 + 4t = 0 ⇔ 5t = 11 ⇔ t = 2,2

⇒ H (- 0,8; - 4,4)

Câu 6: search hình chiếu của A( 1; 2) xuất phát thẳng d: x - 3y + 6 = 0

A. H( 1; 2) B. H( ; ) C. H( ; ) D. H(

; )

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

+ đem điểm H(3t - 6; t) thuộc d.

Ta gồm AH→( 3t - 7; t - 2)

Vectơ pháp tuyến đường của d là u→( 1; -3)

+Do H là hình chiếu của A trên d nên hai vecto AH→ cùng u→ thuộc phương :

⇔

⇔ - 3( 3t - 7) = 1(t - 2)

⇔ - 9t + 21 = t - 2 ⇔ t =

+ với t = ta tất cả H( ; )

Câu 7: mang đến đường thẳng ∆:

. Hoành độ hình chiếu của M(1; 2) trên ∆ gần nhất với số nào dưới đây ?

A. -0,56B. 0,32C. 1,3D. 0,85

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Xem thêm: 90phut TV – Siêu phẩm truc tiep bong đá 2022

Ta có: H ∈ ∆ cần H( 2 - 3t; 1 + 2t) và MH→( 1 - 3t; 2t - 1 )

Đường thẳng ∆có vectơ chỉ phương là u→(3; - 2) .

Hai vecto MH→ và u→ vuông góc với nhau đề xuất : MH→ . U→ = 0

⇔ 3( 1 - 3t) – 2( 2t - 1) = 0 ⇔ 3 - 9t - 4t + 2 = 0

⇔ t = 5/13

⇒ Hoành độ của điểm H là 2 - 3t = 11/13

Câu 8: cho tam giác ABC bao gồm AB = 4; BC = 4√2 với góc B = 450.Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Kiếm tìm mệnh đề đúng?