Với Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm Toán học lớp 11 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải cho tiết sẽ giúp học sinh nắm được Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm.
Bạn đang xem: Tìm m để phương trình có nghiệm lớp 11
Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm
A. Phương pháp giải
+ Phương trình a. sinx+ b=0 hoặc a.cosx+ b=0 ( với a ≠ 0) có nghiệm nếu:
- 1 ≤ sinx( hoặc cosx) ≤ 1.
+Xét phương trình a.sin2x + bsinx+ c= 0 hoặc a.cos2x+ b. cosx+ c= 0 ( với a ≠ 0) :
Đặt sinx= t ( hoặc cosx = t) phương trình đã cho trở thành:
at2+ bt + c= 0 (*)
để phương trình đã cho có nghiệm nếu phương trình (*) có nghiệm t0và -1 ≤ t0≤ 1
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1.Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sin2x -2(m-1)sinxcosx-(m-1)cos2x=m có nghiệm?
A.0≤m≤1
B.m > 1
C.0 2x+2(m+1).sinx – 3m(m-2)= 0 có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Đặt t = sinx.
Điều kiện .
Phương trình trở thành: t2+ 2(m+1).t – 3m(m- 2)= 0 (1).
Đặt f(t) = t2+ 2(m+1)t – 3m(m- 2).
Phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn <-1;1> khi phương trình (1) có một nghiệm thuộc <-1;1> hoặc có hai nghiệm thuộc <-1;1>
Chọn B.
Ví dụ 3:Để phương trình
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Phương trình (1) trở thành 3t2+ 4at – 4= 0 (2).
Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) phải có nghiệm trong đoạn .
Xét phương trình (2), ta có:
nên (2) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
Chọn D.
Ví dụ 4.Cho phương trình 2sinx+ cos900= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. - 2 ≤ m ≤ 2
B. - 1 ≤ m ≤ 1
C. - 4 ≤ m ≤ 4
D. Đáp án khác
Lời giải
Ta có: 2sinx+ cos900= m
⇒ 2sinx + 0= m
⇒ sinx= m/2 (*)
Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1
⇒ để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:
- 1 ≤ m/2 ≤ 1 ⇒ - 2 ≤ m ≤ 2
Chọn A.
Ví dụ 5.Cho phương trình: 4(sin4x + cos4x ) -8(sin6x + cos6x) -4sin24x = m trong đó m là tham số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Ta có:
+ Ta tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm. Rồi từ đó suy ra các giá trị của m để phương trình đã cho vô nghiệm.
(1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm thoả t0thuộc <-1;1> .
Chọn D.
Ví dụ 6.Cho phương trình cos(x-300) + sin( x+ 600)= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A.0 ≤ m ≤ 1
B. -1 ≤ m ≤ 2
C. - 1 ≤ m ≤ 1
D. Đáp án khác
Lời giải
Ta có: cos(x- 300) - sin(x+ 600) + sinx = m
⇒ cosx . cos300+ sinx. sin300- sinx. cos600- cosx. sin600+ sinx= m
⇒ sinx= m (*)
Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm
⇒ - 1 ≤ m ≤ 1
Chọn C.
Ví dụ 7.Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:có nghiệm
A. 2
B.4
C. 3
D.1
Lơì giải
Ta có:
⇒ sinx - 2sinx = m
⇒ - sinx = m ⇒ sinx= - m
Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1
⇒ để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:
- 1 ≤ -m ≤ 1 ⇒ - 1 ≤ m ≤ 1
⇒ m∈{ -1;0;1}
Chọn C.
Ví dụ 8:Cho phương trình cos6x + sin6x= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 1/4 ≤ m ≤ 1
B. 1/2 ≤ m ≤ 1
C. 1/2 ≤ m ≤ 2
D. Đáp án khác
Lời giải
Ta có: cos6x + sin6x= m
⇒ (cos2x+ sin2x) . (cos4x – cos2x. sin2x+ sin4x) =m
⇒ 1.< (cos2x+ sin2x)2– 3.cos2x. sin2x= m
Với mõi ta a luôn có: - 1 ≤ sin2x ≤ 1 nên 0 ≤ sin22x ≤ 1
Do đó; để phương trình đã cho co nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm
Chọn B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:Cho phương trình cos( x+ y) – cos( x-y) = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm.
Xem thêm: Toán Khoa Học Tự Nhiên - Bộ Đề Thi Vào Lớp 10 Chuyên Khoa Học Tự Nhiên
A. -3 ≤ m ≤ 1
B. -2 ≤ m ≤ 2
C. – 3 ≤ m ≤ 1
D. - 4 ≤ m ≤ 2
Câu 2:Cho phương trình sin6x- cos6x + cos2x= m. Biết rằng khi m thuộc đoạn
A. – 2
B. -1
C. 0
D. 1
Câu 3:Để phương trình
A. -1 ≤ m 0- x)+ sin( 1800- x) + sinx= 3m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm
A. 3
B. 4
C. 2
D .5
Câu 7:Cho phương trình: sin2x+ (m-1) sinx – m = 0. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình trên có nghiệm.
A.m > 2
B. m 2x+ 4cos2x=m. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?