Vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để giải các dạng bài bác tập là một trong những nội dung kiến thức đặc biệt quan trọng không chỉ trong chương trình lớp 8 mà chúng còn được sử dụng tiếp tục ở những lớp học tập sau này.
Bạn đang xem: Tìm x lớp 8 hằng đẳng thức
Hiểu được điều đó, nội dung bài viết này sẽ khối hệ thống lại những dạng bài bác tập áp dụng 7 hằng đẳng thức lưu niệm cùng các ví dụ cụ thể để những em rất có thể nắm vững kiến thức và kỹ năng về các hằng đẳng thức, tập luyện được kỹ năng biến đổi 7 hằng đẳng thức một cách linh hoạt trong số dạng toán.
I. Kiến thức và kỹ năng cần lưu giữ về 7 hằng đẳng thức
1. Bình phương của một tổng
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
* Ví dụ bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết bên dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu
a) x2 + 2x + 1 = (x)2 + 2.(x).(1) + (1)2 = (x+1)2
b) 9x2 + y2 + 6xy = 9x2 + 6xy + y2 = (3x)2 + 2.(3x).(y) + (y)2 = (3x+y)2
2. Bình phương của một hiệu
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2
* Ví dụ bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu
c) 25a2 + 4b2 - 20ab = 25a2 - 20ab + 4b2 = (5a)2 - 2.(5a).(2b) + (2b)2 = (5a+2b)2
d)
3. Hiệu nhì bình phương
A2 – B2 = (A – B)(A + B)
* Ví dụ: Viết dưới dạng tích biểu thức: 4x2 - 9
* Lời giải:
- Ta có: 4x2 - 9 = (2x)2 - (3)2 = (2x-3)(2x+3)
4. Lập phương của một tổng
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
* Ví dụ bài 26 trang 14 sgk toán 8 tập 1: Tính
a) (2x2+3y)3 =(2x2)3 + 3(2x2)2.(3y) + 3(2x2).(3y)2 + (3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3
5. Lập phương của một hiệu
(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
* Ví dụ bài 26 trang 14 sgk toán 8 tập 1: Tính
b) 
6. Tổng nhị lập phương
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
* Ví dụ: Viết bên dưới dạng tích x3 + 64
x3 + 64 = x3 + 43 = (x+4)(x2-4x+42) = (x+4)(x2-4x+16)
7. Hiệu hai lập phương
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
* Ví dụ: Viết bên dưới dạng tích 8x3 - y3
8x3 - y3 = (2x)3 - y3 = (2x-y)<(2x)2 - (2x).y + y2> = (2x-y)(4x2 + 2xy + y2)
* Chú ý: a+b= -(-a-b) ;
(a+b)2= (-a-b)2 ;
(a-b)2= (b-a)2 ;
(a+b)3= -(-a-b)3 ;
(a-b)3=-(-a+b)3
II. Những dạng toán áp dụng 7 hằng đẳng thức
• Dạng 1 : Tính quý hiếm của biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 trên x = -1
* Lời giải.
- Ta có : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
- tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9
⇒ Kết luận: Vậy trên x = -1 thì A = 9
• Dạng 2 : chứng tỏ biểu thức A không phụ thuộc vào biến
Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)
* Lời giải.
- Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không dựa vào vào vươn lên là x.
• Dạng 3 : Tìm giá trị bé dại nhất của biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5
* Lời giải:
- Ta bao gồm : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4
- Vì (x – 1)2 ≥ 0 với tất cả x.
⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 hay A ≥ 4
- Vậy giá chỉ trị nhỏ dại nhất của A = 4, vệt "=" xẩy ra khi : x – 1 = 0 tốt x = 1
⇒ kết luận GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1
• Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Ví dụ: Tính giá chỉ trị lớn số 1 của biểu thức: A = 4x – x2
* Lời giải:
- Ta có : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2
- do (x – 2)2 ≥ 0 với tất cả x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với đầy đủ x
⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4
⇔ A ≤ 4 Dấu "=" xảy ra khi : x – 2 = 0 tốt x = 2
⇒ tóm lại GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.
• Dạng 5 : minh chứng đẳng thức bằng nhau
Ví dụ: chứng tỏ đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
* Lời giải:
- Đối với dạng toán này chúng ta chuyển đổi VT = VP hoặc VT = A cùng VP = A
- Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3
= 6a2b + 2b3
= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).
⇒ Kết luận, vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
• Dạng 6 : chứng tỏ bất đẳng thức
- biến hóa bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Tiếp đến dùng những phép đổi khác đưa A về 1 trong các 7 hằng đẳng thức.
Ví dụ 1: chứng tỏ biểu thức A nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến, biết: A = x2 - x + 1
* Lời giải:
- Ta có:
- bởi vì
Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức B nhận giá trị âm với hầu như giá trị của biến x, biết: B = (2-x)(x-4)-2
* Lời giải:
- Ta có: B = (2-x)(x-4) - 1 = 2x - 8 - x2 + 4x - 2 = -x2 + 6x - 9 - 1 = -(x2 - 6x + 9) - 1 = -(x-3)2 - 1
- Vì (x-3)2 ≥ 0 ⇔ -(x-3)2 ≤ 0 ⇒ -(x-3)2 - 1 ≤ -1 • Dạng 7: Phân tích nhiều thức thành nhân tử
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2
* Lời giải:
- Ta bao gồm : A = x2 – 4x + 4 – y2 <để ý x2 – 4x + 4 gồm dạng hằng đẳng thức>
= (x2 – 4x + 4) – y2
= (x – 2)2 – y2
= (x – 2 – y )( x – 2 + y)
⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)
Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x
= x(x2 – 4x + 4)
= x(x2 – 2.2x + 22)
= x(x – 2)2
Ví dụ 3: Phân tích B thành nhân tử biết: B = x 2 – 2xy – x + 2y
= (x 2– x) + (2y – 2xy)
= x(x – 1) – 2y(x – 1)
= (x – 1)(x – 2y)
Ví dụ 4: Phân tích C thành nhân tử biết: C = x2 – 5x + 6
= x2 – 2x – 3x + 6
= x(x – 2) – 3(x – 2)
= (x – 2)(x – 3)
• Dạng 8: Tìm quý giá của x
Ví dụ: Tìm cực hiếm củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0
* Lời giải.
x2 (x – 3) – 4x + 12 = 0
⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0
⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0
⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0
⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2
⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2
• Dạng 9 : triển khai phép tính phân thức
Ví dụ: Tính cực hiếm của phân thức tại x = –1
* Lời giải:
- Ta tất cả :
- lúc x = -1 :
⇒ Kết luận, vậy: I = 1/2 tại x = -1 .
III. Bài bác tập vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Bài 17 trang 11 SGK toán 8 tập 1: chứng minh rằng: (10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25
Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số trong những tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.
Áp dụng nhằm tính: 252; 352; 652; 752
* Lời giải Bài 17 trang 11 SGK toán 8 tập 1:
- Ta có: (10a + 5)2 = (10a)2 + 2.10a.5 + 52 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25
- Đặt A = a(a + 1). Lúc ấy ta có:
- vì chưng vậy, nhằm tính bình phương của một số tự nhiên tất cả dạng
* Áp dụng:
252 = 625 (Vì 2.3 = 6)
352 = 1225 (Vì 3.4 = 12)
652 = 4225 (Vì 6.7 = 42)
752 = 5625 (Vì 7.8 = 56)
Bài 18 trang 11 SGK toán 8 tập 1: Hãy kiếm tìm cách khiến cho bạn An phục sinh lại đa số hằng đẵng thức bị mực làm cho nhòe đi một số chỗ:
a) x2 + 6xy + ... = ( ... + 3y)2
b) ... - 10xy + 25y2 = ( ... - ...)2
Hãy nêu một đề bài bác tương tự.
Xem thêm: Thái Bình Chuyển 1 Thí Sinh F2 Đến Điểm Thi Thpt Bắc Duyên Hà Thái Bình Năm 2021
* lời giải bài 18 trang 11 SGK toán 8 tập 1:
a) tiện lợi nhận thấy đây là hằng đẳng thức (A+B)2 với:
A = x ; 2.AB = 6xy ⇒ B = 3y.
- Vậy ta gồm hằng đẳng thức: x2 + 2.x.3y + (3y)2 = (x + 3y)2 hay x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2