Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ xuất phát từ 1 đỉnh cho đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là mặt đường cao của tam giác đó.

Bạn đang xem: Lý thuyết tính chất ba đường cao của tam giác

Ví dụ: Xét tam giác (ABC), đoạn thẳng(AI)vuông góc với(BC). Ta nói đoạn thẳng(AI)là một đường cao (xuất phát từ đỉnh(A)) của tam giác(ABC).

*

Đôi lúc ta cũng nói đường thẳng(AI)là một đường cao của tam giác(ABC).

Tương trường đoản cú như vậy, ta rất có thể kẻ những đường cao​​(BH,CK)của tam giác(ABC)như hình sau:

*

Mỗi tam giác có tía đường cao.

Ví dụ 1: mang đến tam giác nhọn(ABC)có hai tuyến phố cao(AD,BE)cắt nhau tại(H). Biết(widehatACB=70^0). Tính số đo góc(widehatDHE)?

Giải:

*

Xét vào tam giác(BEC)vuông tại(E)ta có(widehatEBC+widehatECB=90^0)

(RightarrowwidehatEBC=90^0-70^0=20^0)hay(widehatHBD=20^0)

Xét vào tam giác(HDB)vuông tại(D)ta có(widehatHBD+widehatDHB=90^0)

(RightarrowwidehatDHB=90^0-widehatHBD=90^0-20^0=70^0)

Mặt không giống ta có:(widehatDHB+widehatDHE=180^0)(hai góc bù nhau)

Nên(widehatDHE=180^0-70^0=110^0)

2. đặc thù ba con đường cao của tam giác

Định lí:

Ba con đường cao của một tam giác thuộc đi sang một điểm. Điểm này call là trực trung khu của tam giác.

Ví dụ: Xét những dạng tam giác(ABC)sau. Những đường cao(AI,BK,CL)cùng đi qua (đồng quy tại) điểm(H). Khi đó,(H)là trực tâm của tam giác(ABC).

*

Nhận xét: Trực trọng tâm của một tam giác có thể nằm vào tam giác, rất có thể nằm bên cạnh tam giác hoặc trùng với một đỉnh của tam giác.

Ví dụ 2: đến tam giác(ABC)vuông cân tại(A).Trên cạnh(AB)lấy điểm(H). Bên trên tia đối của tia(AC)lấy điểm(D)sao cho(AD=AH).

Chứng minh rằng(CHperp BD).

Giải:

*

Gọi giao điểm của(DH)và(BC)là(E).

Do tam giác(ABC)vuông cân tại(A)nên(widehatACB=widehatABC=45^0)

(RightarrowwidehatECD=45^0)

Lại có:(AD=AH)(RightarrowDelta AHD)vuông cân nặng tại(A). Vì chưng đó(widehatAHD=widehatADH=45^0)

(RightarrowwidehatCDE=45^0)

Xét tam giác(ECD)có(widehatCDE+widehatECD+widehatCED=180^0)(tổng tía góc vào một tam giác)

(Rightarrow45^0+45^0+widehatCED=180^0RightarrowwidehatCED=90^0)

(Rightarrow DHperp BC)

Xét tam giác(BCD)có(BHperp CD,DHperp BC)suy ra các đường thẳng(BH,DH)là mặt đường cao của tam giác(BCD)

Do 3 mặt đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm.

Nên(H)là trực chổ chính giữa của tam giác(BCD)(Rightarrow CHperp BD)


3. Về các đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân

Tính chất:

Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng cùng với cạnh lòng đồng thời là đường phân giác, đường trung con đường và mặt đường cao cùng xuất phát điểm từ đỉnh đối lập với cạnh đó.

Nhận xét: vào một tam giác, trường hợp hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, con đường phân giác, đường cao cùng khởi hành tại một đỉnh và con đường trung trực ứng với cạnh đối lập của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là một trong những tam giác cân.

Ví dụ 3: Cho tam giác(ABC)cân tại(A), mặt đường cao(AI). Biết(AB=AC=10cm),(BC=12cm). Tính độ nhiều năm đoạn thẳng(AI).

Xem thêm: Chuyên Đề Đồ Thị Hàm Trị Tuyệt Đối Cực Hay, Có Lời Giải, Cực Trị Của Hàm Số Chứa Dấu Trị Tuyệt Đối

Giải:

Do tam giác(ABC)cân tại(A)nên mặt đường cao(AI)đồng thời là trung tuyến ứng với cạnh(BC)

(Rightarrow I)là trung điểm(BC)

(Rightarrow IB=dfracBC2=dfrac122=6left(cm ight))

Ta có: Tam giác(ABI)vuông tại(I). Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

(AI^2+BI^2=AB^2)

(Rightarrow AI=sqrtAB^2-BI^2=sqrt10^2-6^2=8left(cm ight))


Đặc biệt:Đối với tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm bí quyết đều ba đỉnh, điểm bên trong tam giác và bí quyết đều cha cạnh là tư điểm trùng nhau.