Toán 11 giới hạn của hàm số

Với biện pháp giải những dạng toán về giới hạn của hàm số môn Toán lớp 11 Đại số với Giải tích gồm phương thức giải bỏ ra tiết, bài xích tập minh họa có giải thuật và bài bác tập tự luyện sẽ giúp đỡ học sinh biết cách làm bài xích tập các dạng toán về giới hạn của hàm số lớp 11. Mời chúng ta đón xem:

Giới hạn của hàm số và bí quyết giải bài bác tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) giới hạn của hàm số tại một điểm:

* số lượng giới hạn hữu hạn: Cho khoảng K chứa điểm x0 . Ta nói rằng hàm số f(x) khẳng định trên K (có thể trừ điểm x0) có giới hạn là L lúc x dần dần tới x0 giả dụ với dãy số (xn) bất kì, xn∈Kx0và xn→x0, ta có: f(xn)→L

Kí hiệu:limx→x0f(x)=L giỏi f(x)→Lkhi x→x0.

Bạn đang xem: Toán 11 giới hạn của hàm số

Nhận xét: ví như f(x) là hàm số sơ cấp xác minh tại x0 thì limx→x0fx=fx0.

* số lượng giới hạn ra vô cực:

Hàm số y = f(x) có số lượng giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→+∞.

Kí hiệu: .

Hàm số y = f(x) có số lượng giới hạn dần tới âm vô rất khi x dần tới x0 nếu với tất cả dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→−∞.

Kí hiệu: limx→x0f(x)=−∞.

b) giới hạn của hàm số tại vô cực:

* số lượng giới hạn ra hữu hạn:

- Ta nói hàm số y = f(x) khẳng định trên (a;+∞)có giới hạn là L lúc x→+∞nếu với đa số dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=L.

- Ta nói hàm số y = f(x) xác minh trên (−∞;b)có số lượng giới hạn là L khi x→−∞nếu với đa số dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→−∞f(x)=L.

* số lượng giới hạn ra vô cực:

- Ta nói hàm số y = f(x) xác minh trên (a;+∞)có số lượng giới hạn dần cho tới dương khôn xiết (hoặc âm vô cùng) lúc x→+∞nếu với mọi dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→+∞(hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=+∞(hoặc limx→+∞f(x)=-∞).

- Ta nói hàm số y = f(x) xác minh trên (−∞;b)có giới hạn là dần dần tới dương khôn cùng (hoặc âm vô cùng) lúc x→−∞nếu với tất cả dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→+∞. (hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→-∞f(x)=+∞(hoặc limx→-∞f(x)=−∞).

c) Các giới hạn đặc biệt:

d) Một vài ba định lý về số lượng giới hạn hữu hạn:

Chú ý:

- các định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng vào lúc thay x→x0bởi x→+∞ hoặc x→-∞.

- Định lí trên ta chỉ vận dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta ko áp dụng cho các giới hạn dần dần về vô cực.

* Nguyên lí kẹp:

Cho cha hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K đựng điểm x0 (có thể những hàm đó không xác định tại x0). Nếu như g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì .

e) quy tắc về số lượng giới hạn vô cực

Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x)g(x)

Quy tắc tìm giới hạn của thươngf(x)g(x)

f) giới hạn một bên:

* giới hạn hữu hạn:

- Định nghĩa 1: mang sử hàm số f xác minh trên khoảng x0;b,x0∈ℝ. Ta bảo rằng hàm số f có giới hạn bên cần là số thực L khi dần cho x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với tất cả dãy số bất kì (xn) đa số số thuộc khoảng (x0; b) cơ mà lim xn = x0 ta đều phải sở hữu lim f(xn) = L.

Khi kia ta viết: limx→x0+fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0+.

- Định nghĩa 2: trả sử hàm số f xác minh trên khoảng a;x0,x0∈ℝ. Ta nói rằng hàm số có số lượng giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy bất kể (xn) rất nhiều số thuộc khoảng chừng (a; x0) cơ mà lim xn = x0 ta đều sở hữu lim f(xn) = L.

Khi kia ta viết: limx→x0−fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0−.

- thừa nhận xét:

limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

Các định lí về số lượng giới hạn của hàm số vẫn đúng vào khi thay x→x0bởi x→x0− hoặc x→x0+.

* giới hạn vô cực:

- các định nghĩa limx→x0−fx=+∞, limx→x0−fx=−∞, limx→x0+fx=+∞và limx→x0+fx=−∞được phát biểu giống như như có mang 1 và quan niệm 2.

- dấn xét: các định lí về số lượng giới hạn của hàm số vẫn đúng nếu nạm L do +∞ hoặc-∞

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: giới hạn tại một điểm

Phương pháp giải:

- giả dụ f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thìlimx→x0fx=fx0

- Áp dụng quy tắc về số lượng giới hạn tới vô cực:

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

Lời giải

Dạng 2: giới hạn tại vô rất

Phương pháp giải:

- Rút lũy thừa có số mũ phệ nhất

- Áp dụng quy tắc giới hạn tới vô cực

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

a)limx→+∞(7x5+5x2−x+7)

b)limx→−∞4x5−3x3+x+1

Lời giải

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

a)limx→+∞x6+5x−1

b)limx→−∞2x2+1+x

Lời giải

Dạng 3: Sử dụng nguyên lý kẹp

Nguyên lí kẹp:

Cho bố hàm số f(x), g(x), h(x) xác minh trên K cất điểm x0 (có thể những hàm đó không khẳng định tại x0). Ví như g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì limx→x0f(x)=L.

Phương pháp giải:

Xét tính bị chặn của hàm số f(x) vì hai hàm số g(x) cùng h(x) sao cholimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=L

Chú ý tính bị chặn của hàm số lượng giác:

−1≤sinx≤1−1≤cosx≤1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính giới hạn của hàm số:

a)limx→0x2cos2nx

b)limx→−∞cos5x2x

Lời giải

Ví dụ 2: Tính số lượng giới hạn của hàm số:limx→+∞2sinx+cos3xx+1−x

Lời giải

Dạng 4: giới hạn dạng vô định00

Nhận biết dạng vô định 00: Tính limx→x0f(x)g(x)trong kia f(x0) = g(x0) = 0.

Phương pháp giải:

Để khử dạng vô định này ta đối chiếu f(x) và g(x) sao cho xuất hiện nhân tử bình thường là (x – x0)

Định lí: Nếu nhiều thức f(x) gồm nghiệm x = x0 thì ta có: f(x) = (x – x0)f1(x).

* nếu như f(x) cùng g(x) là các đa thức thì ta so sánh f(x) = (x – x0)f1(x) và g(x) = (x – x0)g1(x).

Khi kia limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f1(x)g1(x), nếu như giới hạn này còn có dạng 00thì ta liên tục quá trình như trên.

Chú ý: trường hợp tam thức bậc hai ax2 + bx + c bao gồm hai nghiệm x1; x2 thì ta luôn có sự phân tích: ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2)

* nếu như f(x) cùng g(x) là những hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng phối hợp để chuyển về các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên.

Các lượng liên hợp:

* nếu như f(x) với g(x) là các hàm chứa căn thức không cùng cấp ta sử dụng phương thức tách, chẳng hạn:

Nếu u(x)n,v(x)m→c thì ta phân tích:

u(x)n−v(x)m=(u(x)n−c)−(v(x)m−c)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

b)limx→22x2−5x+2x3−8

Lời giải

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

=limx→1(x−1)(x2−2x−2)(x−1)(x−3)=limx→1x2−2x−2x−3=32

b)limx→22x2−5x+2x3−8

=limx→2(2x−1)(x−2)(x−2)(x2+2x+4)=limx→22x−1x2+2x+4=14

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

Lời giải

Dạng 5: số lượng giới hạn dạng vô định∞∞

Nhận biết dạng vô định∞∞

limx→x0uxvxkhi limx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

limx→±∞uxvx khilimx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

Phương pháp giải:

- phân chia tử và mẫu mang đến xn với n là số mũ cao nhất của biến chuyển ở mẫu mã (Hoặc phân tích thành tựu chứa nhân tử xn rồi giản ước).

- Nếu u(x) hoặc v(x) tất cả chứa biến chuyển x trong vết căn thì gửi xk ra phía bên ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của phát triển thành x trong lốt căn), kế tiếp chia tử với mẫu cho lũy thừa cao nhất của x.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

Lời giải

Dạng 6: giới hạn dạng vô định ∞−∞ và0.∞

Phương pháp giải:

- giả dụ biểu thức chứa biến đổi số dưới lốt căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp

- ví như biểu thức chứa được nhiều phân thức thì quy đồng chủng loại và mang lại cùng một biểu thức

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)limx→01x−1x2

b)limx→01x1x+1−1

Lời giải

Dạng 7: Tính số lượng giới hạn một bên

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính giới hạn tới vô cực

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: mang đến hàm số fx=x2+11−x khi x12x−2 khi x≥1. Tính:

a)limx→1+fx

b) limx→1−fx

Lời giải

a)limx→1+fx=limx→1+2x−2=2.1−2=0

b) limx→1−fx=limx→1−x2+11−x=+∞ vìlimx→1−x2+1=2>0limx→1−1−x=0x→1−⇒x1⇒1−x>0

Dạng 8: tìm kiếm tham số m để hàm số tất cả giới hạn tại một điểm đến trước

Phương pháp giải:

Sử dụng thừa nhận xét:limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

- Tính giới hạnlimx→x0−fx;  limx→x0+fx

- Để hàm số có giới hạn tại x = x0 đến trước thì limx→x0−fx= limx→x0+fx. Tìm m.

Khi đó với m vừa tìm kiếm được, hàm số có giới hạn tại x = x0 mang đến trước và số lượng giới hạn đó bằngL=limx→x0−fx= limx→x0+fx

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: đến hàm số fx=x2−3x+2x−2      x>2a                       x≤2. Với mức giá trị nào của a thì hàm số đã cho có số lượng giới hạn tại điểm x = 2?

Lời giải

Ta có

limx→2+fx=limx→2+x2−3x+2x−2=limx→2+x−1x−2x−2=limx→2+x−1=1

limx→2−fx=a.

Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = 2 thì limx→2+fx= limx→2−fx.

⇒a=1

Vậy a = 1.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị thực của tham số fx=m−3khi x12m−13khi x=11−7x2+2khi x>1để hàm số nhằm tồn tại limx→1fx.

Lời giải

Ta cólimx→1−fx=limx→1−m−3=m−3limx→1+fx=limx→1+1−7x2+2=−2

Để hàm số có giới hạn tại x = 1 thì limx→1−fx=limx→1+fx.

⇒m−3=−2⇔m=1

Vậy m = 1.

3. Bài bác tập từ luyện

Câu 1. Tính limx→1−−3x−1x−1bằng:

A. -1

B. -∞

C.+∞

D. -3

Câu 2. Tính limx→+∞2x2−13−x2bằng:

A. -2

B.13

C.23

D. 2

Câu 3. Tính limx→2x3−8x2−4bằng:

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Câu 4. Tính limx→−4x2+3x−4x2+4xbằng:

A. -1

B. 54

C. 1

D.-54

Câu 5. Tính limx→1x3−1x−1bằng:

A. 13

B. 1

C. 12

D. 2

Câu 6. Tính limx→0x3+1−1x2+xbằng:

A. 4

B. 3

C. 0

D. 1

Câu 7. Tính limx→−∞4x2−x+1x+1 bằng:

A. -2

B. 1

C. 2

D. -1

Câu 8. Tính limx→+∞x+5−x−7 bằng:

A.-∞

B.+∞

C. 0

D. 4

Câu 9. Tính limx→−∞−2x5+x4−33x2−7là:

A. 0

B. +∞

C. -2

D.-∞

Câu 10. Tínhlimx→+∞x2−4x−x

A. -2

B. -∞

C. 0

D.+∞

Câu 11. Cho limx→−∞x2+ax+5+x=5. Quý hiếm của a là:

A. 6

B. 10

C. -10

D. -6

Câu 12. Kết trái đúng của limx→1x3−1x4−1bằng:

A. 34

B. 4

C. 43

D. 3

Câu 13. Trong những mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. limx→−∞x4−x1−2x=0

B. limx→−∞x4−x1−2x=+∞

C. limx→−∞x4−x1−2x=1

D. limx→−∞x4−x1−2x=−∞

Câu 14. Cho fx=4−x2      −2≤x≤2x2−4x−2                         x>2. Tính limx→−2+fx.

A. 0

B. 4

C.+∞

D.

Xem thêm: Tổng Hợp Đề Thi Toán 9 Học Kì 2 Lớp 9 Môn Toán Năm 2020, 5 Đề Thi Học Kì 2 Lớp 9 Môn Toán Năm 2020

ko tồn tại

Câu 15. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số fx=x+m khi  x0x2+1khi  x≥0 có số lượng giới hạn tại x = 0.