Hướng dẫn giải bài §2. Giới hạn của hàm số, Chương IV. Giới hạn, sách giáo khoa Đại số cùng Giải tích 11. Nội dung bài bác giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số với Giải tích 11 bao gồm tổng đúng theo công thức, lý thuyết, cách thức giải bài bác tập đại số cùng giải tích tất cả trong SGK để giúp đỡ các em học viên học giỏi môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Toán đại 11 trang 132

Lý thuyết

I. số lượng giới hạn hữu hạn

Cho khoảng (K) cất điểm (x_0) với hàm số (y = f(x)) xác minh trên (K) hoặc bên trên (Kackslash m x_0 m ).

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) khi và chỉ còn khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈ Kackslash m x_0 m ) cùng (x_n ightarrow x_0), ta có

(lim f(x_n) =L).

Cho hàm số (y = f(x)) xác minh trên khoảng ((x_0; b)).

(undersetx ightarrow x__0^+lim f(x) = L) khi và chỉ còn khi hàng số ((xn) bất kì, (x_0 a), (x_n ightarrow +infty) thì (lim f(x_n) = L).

Cho hàm số (y = f(x)) xác minh trên khoảng tầm ((-∞; a)).

(undersetx ightarrow-infty lim f(x) = L) khi và chỉ còn khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_nII. Giới hạn vô cực

Sau đây là hai trong các nhiều loại giới hạn vô cực khác nhau:

Cho hàm số (y = f(x)) xác minh trên khoảng chừng ((a; +∞)), (undersetx ightarrow+infty lim f(x) = -∞) khi và chỉ còn khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_n> a), (x_n ightarrow +infty) thì ta có (lim f(x_n) = -∞)

Cho khoảng tầm (K) đựng điểm (x_0) cùng hàm số (y = f(x)) khẳng định trên (K) hoặc trên (Kackslash m x_0 m ).

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = +∞) còn chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈Kackslash m x_0 m ) cùng (x_n ightarrow x_0) thì ta gồm (lim f(x_n) = +∞).

Nhận xét: (f(x)) có số lượng giới hạn (+∞ ) khi và chỉ còn khi (-f(x)) có số lượng giới hạn (-∞).

III. Các giới hạn sệt biệt

a) (undersetx ightarrow x__0lim x = x_0);

b) (undersetx ightarrow x__0limc = c);

c) (undersetx ightarrow pm infty lim c = c);

d) (undersetx ightarrow pm infty lim) (fraccx = 0) ((c) là hằng số);

e) (undersetx ightarrow+infty lim x^k= +∞), với (k) nguyên dương;

f) (undersetx ightarrow-infty lim x^k= -∞), ví như (k) là số lẻ;

g) (undersetx ightarrow-infty limx^k = +∞) , nếu (k) là số chẵn.

IV. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1:

a) nếu (undersetx ightarrow x__0lim = L) cùng (undersetx ightarrow x__0lim) (g(x) = M) thì:

(undersetx ightarrow x__0lim = L + M);

(undersetx ightarrow x__0lim

(undersetx ightarrow x__0lim = L.M);

(undersetx ightarrow x__0lim) (fracf(x)g(x))= (fracLM) (nếu (M ≠ 0)).

b) trường hợp (f(x) ≥ 0) và (undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L), thì (L ≥ 0) với (undersetx ightarrow x__0limsqrt f(x) = sqrt L)

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng vào khi (x_n ightarrow +infty) hoặc (x_n ightarrow -infty).

Định lí 2.

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) khi còn chỉ khi (undersetx ightarrow x__0^+lim) f(x) = (undersetx ightarrow x__0^-lim f(x) = L).

V. Quy tắc về số lượng giới hạn vô cực

a) Quy tắc giới hạn của tích (f(x).g(x))

*

b) phép tắc tìm số lượng giới hạn của thương (fracf(x)g(x))

*

(Dấu của (g(x)) xét trên một khoảng tầm (K) làm sao đó đã tính giới hạn, cùng với (x ≠ x_0) ).

Dưới đây là phần hướng dẫn vấn đáp các thắc mắc và bài tập trong phần buổi giao lưu của học sinh sgk Đại số cùng Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời thắc mắc 1 trang 123 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Xét hàm số:

(displaystyle f(x) = 2x^2 – 2x over x – 1)

1. Cho trở nên x đông đảo giá trị không giống 1 lập thành hàng số xn, xn → 1 như trong bảng sau:

*

Khi đó, những giá trị tương xứng của hàm số f(x1), f(x2),…, f(xn), …

cũng lập thành một dãy số cơ mà ta kí hiệu là (f(xn)).

a) minh chứng rằng (fleft( x_n ight) = 2x_n = dfrac2n + 2n)

b) Tìm giới hạn của dãy số (f(xn)).

2. Chứng minh rằng với hàng số bất kì xn, xn ≠ 1 và xn → 1, ta luôn có f(xn) → 2.

(Với đặc điểm thể hiện nay trong câu 2, ta nói hàm số (displaystyle f(x) = 2x^2 – 2x over x – 1) có giới hạn là 2 lúc x dần dần tới 1).

Trả lời:

Ta có:

1. A) (displaystyle f(x_n) = 2x_n^2 – 2x_n over x_n – 1 = 2x_n(x_n – 1) over x_n – 1 ) (= 2x_n)

(displaystyle x_n = n+1 over n ) (displaystyle Rightarrow f(x_n) = 2x_n = 2.n+1 over n = 2n+2 over n)

b) (displaystyle mathop lim limits_n o + infty (f(x_n) – 2) ) (displaystyle = mathop lim limits_n o + infty (2n+2 over n – 2) = mathop lim limits_n o + infty 2 over n)

Ta có: (displaystyle mathop lim limits_n o + infty 2 over n = 0 ) (displaystyle Rightarrow mathop lim limits_n o + infty (f(x_n) – 2) = 0 ) (displaystyle Rightarrow mathop lim limits_n o + infty f(x_n) = 2)

2. (lim f(x_n) = lim,2x_n ) (= 2lim x_n = 2.1 = 2)

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 127 sgk Đại số với Giải tích 11

Trong biểu thức (1) xác minh hàm số $y = f(x)$ sống Ví dụ 4, buộc phải thay $2$ thông qua số nào nhằm hàm số có giới hạn là $-2$ khi $x → 1$?

Trả lời:

Để hàm số có số lượng giới hạn bằng ( – 2) trên (x = 1) thì (mathop lim limits_x o 1^ + fleft( x ight) = mathop lim limits_x o 1^ – fleft( x ight) = – 2) xuất xắc (5.1 + c = – 2 Leftrightarrow c = – 7).

Vậy phải thay (2) bằng ( – 7) để hàm số có số lượng giới hạn bằng ( – 2) tại (x = 1).

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 127 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho hàm số $f(x) = 1 over x – 2$ có đồ thị như làm việc Hình 52

*

Quan gần kề đồ thị và cho biết:

– Khi trở nên $x$ dần tới dương vô cực, thì f(x) dần dần tới giá trị nào.

– Khi vươn lên là $x$ dần dần tới âm vô cực, thì f(x) dần tới quý giá nào.

Trả lời:

– Khi phát triển thành $x$ dần tới dương vô cực, thì $f(x)$ dần tới quý giá dương vô cực

– Khi trở thành $x$ dần tới âm vô cực, thì $f(x)$ dần tới quý hiếm âm vô cực

Dưới đây là phần lí giải giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số với Giải tích 11. Các bạn hãy phát âm kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!

Bài tập

plovdent.com trình làng với chúng ta đầy đủ cách thức giải bài xích tập đại số và giải tích 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số và Giải tích 11 của bài xích §2. Giới hạn của hàm số vào Chương IV. Giới hạn cho chúng ta tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem bên dưới đây:

*
Giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số và Giải tích 11

1. Giải bài bác 1 trang 132 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Dùng quan niệm tìm những giới hạn sau:

a) (undersetx ightarrow 4limfracx+13x – 2);

b) (undersetx ightarrow +infty limfrac2-5x^2x^2+3).

Bài giải:

a) Hàm số (f(x) = fracx +13x – 2) xác minh trên (mathbb Rackslash left 2 over 3 ight\) cùng ta gồm (x = 4 in left( 2 over 3; + infty ight))

Giả sử ((x_n)) là hàng số bất kỳ và (x_n ∈ left( 2 over 3; + infty ight)); (x_n≠ 4) với (x_n→ 4) khi (n o + infty ).

Ta có (lim f(x_n) = lim fracx_n +13x_n – 2 = frac4 + 13. 4 – 2 = frac12).

Vậy (undersetx ightarrow 4lim) (fracx +13x – 2) = (frac12).

b) Hàm số (f(x)) = (frac2-5x^2x^2+3) xác minh trên (mathbb R).

Giả sử ((x_n)) là dãy số bất kể và (x_n→ +∞) lúc (n o + infty )

Ta gồm (lim f(x_n) = lim frac2-5x^2_nx^2_n+3= lim fracfrac2x^2_n-51+frac3x^2_n = -5).

Vậy (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2-5x^2x^2+3 = -5).

2. Giải bài xích 2 trang 132 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho hàm số

(f(x) = left{ matrix{sqrt x + 1 ext nếu như xge 0 hfill cr2x ext giả dụ x 0) và (v_n= -frac1n (x → 0).

3. Giải bài xích 3 trang 132 sgk Đại số với Giải tích 11

Tính các giới hạn sau:

a) (undersetx ightarrow -3lim) (fracx^2 -1x+1);

b) (undersetx ightarrow -2lim) (frac4-x^2x + 2);

c) (undersetx ightarrow 6lim) (fracsqrtx + 3-3x-6);

d) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2x-64-x);

e) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac17x^2+1);

f) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac-2x^2+x -13 +x).

Bài giải:

a) (undersetx ightarrow -3lim) (fracx^2 -1x+1) = (frac(-3)^2-1-3 +1 = -4).

b) (undersetx ightarrow -2lim) (frac4-x^2x + 2)

= (undersetx ightarrow -2lim) (frac (2-x)(2+x)x + 2)

= (undersetx ightarrow -2lim (2-x) = 4).

c) (undersetx ightarrow 6lim) (fracsqrtx + 3-3x-6)

= (undersetx ightarrow 6lim) (frac(sqrtx + 3-3)(sqrtx + 3+3 )(x-6) (sqrtx + 3+3 ))

= (undersetx ightarrow 6lim) (fracx +3-9(x-6) (sqrtx + 3+3 ))

= (undersetx ightarrow 6lim) (frac1sqrtx+3+3) = (frac16).

d) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2x-64-x)

= (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2-frac6xfrac4x-1 = -2).

e) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac17x^2+1 = 0)

vì (undersetx ightarrow +infty lim) ((x^2+ 1) =) (undersetx ightarrow +infty lim x^2( 1 + frac1x^2) = +∞).

f) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac-2x^2+x -13 +x)

= (undersetx ightarrow +infty lim) (frac-2+frac1x -frac1x^2frac3x^2 +frac1x = -∞),

vì (frac3x^2+frac1x > 0) cùng với (∀x>0).

4. Giải bài bác 4 trang 132 sgk Đại số với Giải tích 11

Tìm những giới hạn sau:

a) (undersetx ightarrow 2lim) (frac3x -5(x-2)^2);

b) (undersetx ightarrow 1^-lim) (frac2x -7x-1);

c) (undersetx ightarrow 1^+lim) (frac2x -7x-1).

Bài giải:

a) Ta gồm (undersetx ightarrow 2lim (x – 2)^2= 0) và ((x – 2)^2> 0) với (∀x ≠ 2) và (undersetx ightarrow 2lim (3x – 5) = 3.2 – 5 = 1 > 0).

Do đó (undersetx ightarrow 2lim) (frac3x -5(x-2)^2 = +∞).

b) Ta bao gồm (undersetx ightarrow 1^-lim (x – 1)=0) và (x – 1 0) cùng với (∀x > 1) và (undersetx ightarrow 1^+lim (2x – 7) = 2.1 – 7 = -5

5. Giải bài xích 5 trang 133 sgk Đại số với Giải tích 11

Cho hàm số (f(x) = fracx+2x^2-9) gồm đồ thị như trên hình 53.

*

a) Quan gần kề đồ thị cùng nêu dìm xét về giá trị hàm số đã mang lại khi (x → -∞), (x → 3^-) và (x → -3^+)

b) Kiểm tra những nhận xét trên bằng phương pháp tính những giới hạn sau:

(undersetx ightarrow -infty lim f(x)) cùng với (f(x)) được xét trên khoảng tầm ((-infty; -3)),

(undersetx ightarrow 3^-lim f(x)) cùng với (f(x)) được xét trên khoảng tầm ((-3,3)),

(undersetx ightarrow -3^+lim f(x)) cùng với (f(x)) được xét trên khoảng tầm ((-3; 3)).

Bài giải:

a) Quan sát đồ thị ta thấy:

Khi (x → -∞) thì (f(x) → 0);

Khi (x → 3^-) thì (f(x) → -∞);

Khi (x → -3^+) thì (f(x) → +∞).

b) Ta có:

(undersetx ightarrow -infty lim f(x) = undersetx ightarrow -infty lim) (fracx+2x^2-9) = (undersetx ightarrow -infty lim) (fracfrac1x+frac2x^21-frac9x^2 = 0).

(undersetx ightarrow 3^-lim f(x) = undersetx ightarrow 3^-lim)(fracx+2x^2-9) = (undersetx ightarrow 3^-lim)(fracx+2x+3.frac1x-3 = -∞ ) bởi (undersetx ightarrow 3^-lim)(fracx+2x+3) = (frac56 > 0) và (undersetx ightarrow 3^-lim frac1x-3 = -∞).

(undersetx ightarrow -3^+lim f(x) =) (undersetx ightarrow -3^+lim) (fracx+2x^2-9) = (undersetx ightarrow -3^+lim) (fracx+2x-3) . (frac1x+3 = +∞)vì (undersetx ightarrow -3^+lim) (fracx+2x-3) = (frac-1-6) = (frac16 > 0) cùng (undersetx ightarrow -3^+lim) (frac1x+3 = +∞).

6. Giải bài xích 6 trang 133 sgk Đại số với Giải tích 11

Tính:

(eqalign& a)mathop lim limits_x o + infty (x^4 – x^2 + x – 1) cr& b)mathop lim limits_x o – infty ( – 2x^3 + 3x^2 – 5) cr& c)mathop lim limits_x o – infty (sqrt x^2 – 2x + 5) cr& d)mathop lim limits_x o + infty sqrt x^2 + 1 + x over 5 – 2x cr )

Bài giải:

Ta có:

(eqalignsqrt 1 – 2 over x + 5 over x^2 = + infty cr& d)mathop lim limits_x o + infty sqrt x^2 + 1 + x over 5 – 2x = mathop lim limits_x o + infty xleft( sqrt 1 + 1 over x^2 + 1 ight) over 5 – 2x = mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 1 + 1 over x^2 + 1 ight) over 5 over x – 2 = – 1 cr )

7. Giải bài bác 7 trang 133 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Một thấu kính quy tụ có tiêu cự là (f). Call (d) cùng (d’) lần lượt là khoảng cách từ một vật thật (AB) và từ hình ảnh (A’B’) của nó tới quang trung ương (O) của thấu kính (h.54). Phương pháp thấu kính là (frac1d+frac1d’=frac1f.)

*

a) tìm kiếm biểu thức xác minh hàm số (d’ = φ(d)).

b) search (undersetd ightarrow f^+ lim φ(d)), (undersetd ightarrow f^- lim φ(d)) và (undersetd ightarrow +infty lim φ(d)). Giải thích chân thành và ý nghĩa của các hiệu quả tìm được.

Bài giải:

a) tự hệ thức (frac1d+frac1d’=frac1f.) Suy ra (d’ = φ(d) = fracfdd-f).

b) (undersetd ightarrow f^+ lim φ(d) = undersetd ightarrow f^+ lim) (fracfdd-f= +∞) .

Ý nghĩa: Nếu vật dụng thật AB tiến dần dần về tiêu điểm F sao để cho d luôn lớn hơn f thì hình ảnh của nó dần dần tới dương vô cực.

(undersetd ightarrow f^- limφ(d) =) (undersetd ightarrow f^- lim) (fracfdd-f = -∞).

Ý nghĩa: Nếu thiết bị thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn nhỏ hơn f thì hình ảnh của nó dần tới âm vô sực.

(undersetd ightarrow +infty lim φ(d) =) (undersetd ightarrow +infty lim) (fracfdd-f) = (undersetd ightarrow +infty lim) (fracf1-fracfd = f).

Xem thêm: Khối Rubik Biến The Khó Nhất Thế Giới, Rubik Biến Thể Khó Nhất

Ý nghĩa: Nếu vật dụng thật AB nghỉ ngơi xa vô rất so với thấu kính thì hình ảnh của nó nghỉ ngơi ngay bên trên tiêu diện ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm hình ảnh F’ với vuông góc cùng với trục chính).

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài xuất sắc cùng giải bài xích tập sgk toán lớp 11 cùng với giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số cùng Giải tích 11!