Cách chứng tỏ hàm số liên tiếp tại một điểm, hàm số liên tiếp trên một khoảng

Hàm số liên tục là một trong những mảng con kiến thức quan trọng đặc biệt của Giải tích, trong bài xích này công ty chúng tôi xin reviews tóm tắt lý thuyết về hàm số liên tục và các dạng toán liên quan.Bạn đã xem: Hàm số liên tục trên r

1. Nắm tắt định hướng hàm số liên tục

1.1. Hàm số liên tiếp tại một điểm

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng chừng ((a;b)) cùng (x_0) ở trong ( (a;b) ). Hàm số (f(x)) tiếp tục tại ( x_0 ) khi và chỉ còn khi $$undersetx o x_0mathoplim ,f(x)=f(x_0)$$

Hàm số không liên tục tại ( x_0 ) còn rất có thể gọi là hàm số gián đoạn tại ( x_0 ).

Bạn đang xem: Xét tính liên tục của hàm số trên r

Giả sử những hàm số ( y = f(x), y = g(x) ) liên tiếp tại điểm ( x_0 ). Khi đó:

Các hàm số ( y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) ) tiếp tục tại ( x_0 ).Hàm số $y=dfracf(x)g(x)$ liên tục tại ( x_0 ) giả dụ ( g(x_0) e 0 ).

1.2. Hàm số liên tục trên một khoảng

Hàm số ( y = f(x) ) tiếp tục trên khoảng chừng ( (a;b) ) khi còn chỉ khi nó liên tiếp tại đầy đủ điểm thuộc khoảng đó.Nếu hàm số liên tục trên khoảng tầm ( (a;b) ) thì trên khoảng đó, đồ gia dụng thị hàm số là 1 trong những đường đường nét liền liên tục (không bị đứt).
*

Tại điểm $x_0$ đồ thị hàm số bị đứt (rời) nên có thể nói rằng hàm số đứt quãng tại $x_0$

1.3. Hàm số thường xuyên trên một đoạn

Hàm số ( y = f(x) ) liên tục trên đoạn ( ) khi còn chỉ khi nó tiếp tục trên khoảng ( (a;b) ) và

1.4. Các hàm số liên tục thường gặp

Hàm số nhiều thức tiếp tục trên ( mathbbR ).Hàm số phân thức, căn thức, hàm con số giác tiếp tục trên từng khoảng xác minh của chúng.

1.5. Ứng dụng của hàm số liên tục

Nếu hàm số ( y = f(x) ) tiếp tục trên đoạn ( ) và ( f(a). F(b)Nói giải pháp khác, giả dụ hàm số ( y = f(x) ) tiếp tục trên đoạn ( ) và ( f(a). F(b)Nếu hàm số tiếp tục ( y = f(x) ) trên đoạn ( ). Đặt (m = mathop min limits_left mkern 1mu f(x)), và (M = mathop max limits_left mkern 1mu f(x)). Khi đó với mọi số ( T ) thuộc khoảng ( (m; M) ) luôn tồn tại ít nhất một số trong những ( c ) thuộc khoảng chừng ( (a; b) ) sao để cho ( f(c) = T ).

2. Những ví dụ cùng dạng toán về hàm số liên tục

Dạng 1. Xét tính thường xuyên của hàm số tại một điểm cố kỉnh thể

Để xét tính thường xuyên của hàm số ( y = f(x) ) trên điểm ( x_0 ) ta tiến hành các bước:

Kiểm tra coi hàm số có xác định bên trên một khoảng chừng chứa ( x_0 ) hay là không và tính quý giá ( f(x_0) ).Tính (mathop lim limits_x o x_0 f(x)) (trong nhiều trường đúng theo ta phải tính (mathop lim limits_x o x_0^ + mkern 1mu f(x),mathop lim limits_x o x_0^ – f(x)))So sánh (mathop lim limits_x o x_0 f(x)) với ( f(x_0) ) cùng kết luận.

Ví dụ 1. Xét tính thường xuyên của hàm số $$f(x) = left{ eginarrayl dfrac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2& & extnếu x e 1\ – 3& & extnếu x = 1 endarray ight.$$ trên ( x = 1 ).

Hướng dẫn.

Hàm số khẳng định trên (mathbbR setminus 2\) cất ( x=1 ) cùng ( f(1) = – 3 )Ta đi tính giới hạn hàm số tại ( x=1 ) $$ mathop lim limits_x o 1 f(x) = mathop lim limits_x o 1 frac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2 = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x – 1 ight)left( 5x – 2 ight)left( x – 1 ight)left( x – 2 ight) = mathop lim limits_x o 1 frac5x – 2x – 2 = – 3 $$Thấy tức thì ( mathop lim limits_x o 1 f(x) = f(1) = – 3 ), yêu cầu suy ra hàm số sẽ cho thường xuyên tại ( x_0 = 1 ).

Ví dụ 2. Xét tính thường xuyên của hàm số $$f(x) = left eginarrayl dfrac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2 & extnếu ,x e 1\ 2x+5 & extnếu x = 1 endarray ight.$$ tại ( x = 1 ).

Hướng dẫn.

Rõ ràng hàm số xác định tại ( x=1 ) và ( f(1) = 7 )Ta đi tính số lượng giới hạn hàm số tại ( x=1 ) $$ mathop lim limits_x o 1 f(x) = mathop lim limits_x o 1 frac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2 = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x – 1 ight)left( 5x – 2 ight)left( x – 1 ight)left( x – 2 ight) = mathop lim limits_x o 1 frac5x – 2x – 2 = – 3 $$Do ( mathop lim limits_x o 1 f(x) e f(1) ) đề nghị hàm số đã cho cách biệt tại ( x_0 = 1 ).

Ví dụ 3. Xét tính thường xuyên của hàm số trên điểm được chỉ ra: $$f(x),, = ,,left eginarrayl dfrac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2& & extnếu ,x > 1,,,,,,\ 1& & extnếu ,,x le 1 endarray ight.$$ trên điểm ( x = 1 ).

Hướng dẫn. Khác với lấy ví dụ trước, ở đây họ cần đi tính giới hạn trái và số lượng giới hạn phải tại $x=1$.

Hàm số xác định tại ( x=1 ) cùng ( f(1)=1 )Giới hạn trái tại ( x=1 ) Giới hạn phải tại ( x=1 )

Ta thấy ( limlimits_x o 1^+f(x) e limlimits_x o 1^-f(x) ) cần suy ra hàm số đang cho gián đoạn tại (x=1).

Ví dụ 4. Xét tính thường xuyên của hàm số 0endarray ight.> trên điểm ( x = 0 ).

Hướng dẫn. Chúng ta đi tính và so sánh giá trị, số lượng giới hạn trái, giới hạn phải của hàm số trên điểm ( x = 0).

Hàm số xác minh tại ( x = 0 ) và ( f(0)=2 ).Giới hạn trái trên ( x = 0 ) là Giới hạn buộc phải tại ( x = 0 ) là

Chúng ta thấy, ( limlimits_x o 0^+f(x)=limlimits_x o 0^-f(x) ) dẫu vậy lại không giống (f(0)) phải suy ra hàm số không thường xuyên tại điểm ( x = 0 ).

Dạng 2. Xét tính liên tục, minh chứng hàm số liên tục trên một khoảng tầm đoạn hoặc tập xác định

Ví dụ 1. Xét tính tiếp tục của hàm số trên (R).

Hướng dẫn. ví dụ khi (x e0) thì hàm số đã cho là hàm phân thức và trọn vẹn xác định bắt buộc nó tiếp tục trên từng khoảng ( (-infty;0) ) và ( (0;+infty) ).

Chú ý không được nói hàm số đang cho tiếp tục trên (( – infty ;0) cup (0; + infty )).

Do đó, bọn họ chỉ yêu cầu xét tính thường xuyên của hàm số tại (x=0). Chúng ta có:

Giá trị của hàm số tại (x=0) là ( f(0)=5 ).Giới hạn của hàm số tại (x=0) là

Ta thấy (mathop lim limits_x o 0 f(x) = f(0)) đề xuất hàm số vẫn cho liên tục tại (x=0). Bắt lại, hàm số sẽ cho liên tục trên toàn thể tập (R).

Ví dụ 2. Xét tính thường xuyên của hàm số trên tập xác định.

Hướng dẫn. Chúng ta gồm ngay tập khẳng định của hàm số là (R).

Tập xác minh của hàm số là tập nhưng tại hầu hết điểm (x) của tập đó, hàm số hoàn toàn có thể tính giá tốt trị (f(x)) tương ứng.

Khi ( xKhi ( x>0 ) thì ( f(x)=sqrtx ) cũng là hàm số liên tục.

Do đó, họ chỉ xét tính tiếp tục của hàm số trên điểm ( x=0 ) nữa là có thể kết luận. Tại ( x=0 ) thì cụ thể (mathop lim limits_x o 0^ + f(x) = f(0) e mathop lim limits_x o 0^ – f(x)) cần hàm số cách biệt tại ( x=0 ).

Tóm lại, hàm số đã mang lại không tiếp tục trên tập xác định.

Dạng 3. Tìm đk để hàm số liên tục tại một điểm

Ví dụ 1. Tìm ( m ) để hàm số $$f(x) = left{ eginarrayl dfrac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2& & extnếu x e 1\ – 3mx – 1& & extnếu x = 1 endarray ight.$$ liên tiếp tại điểm ( x = 1 ).

Hướng dẫn.

Rõ ràng hàm số xác minh tại ( x=1 ) cùng ( f(1) = – 3m.1 – 1 ).Ta đi tính số lượng giới hạn hàm số tại ( x=1 ) $$ mathop lim limits_x o 1 f(x) = mathop lim limits_x o 1 frac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2 = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x – 1 ight)left( 5x – 2 ight)left( x – 1 ight)left( x – 2 ight) = mathop lim limits_x o 1 frac5x – 2x – 2 = – 3 $$Hàm số ( f(x) ) liên tiếp tại ( x_0 = 1 ) khi còn chỉ khi $$ mathop lim limits_x o 1 f(x) = f(1) Leftrightarrow – 3m – 1 = – 3 Leftrightarrow m = – frac23 $$

Vậy quý hiếm m bắt buộc tìm của ( m ) là ( -3 ).

Dạng 4. Tìm đk để hàm số liên tiếp trên một khoảng tầm đoạn hoặc tập xác định.

Ví dụ. tra cứu ( m ) để hàm số sau liên tiếp trên tập xác minh của nó:$$ f(x),, = ,,left{ eginarrayl dfrac2 – 7x + 5x^2x – 1& & extnếu,,x e 1,,,,,,\ – 3mx – 1& & extnếu,,x = 1 endarray ight. $$ Hướng dẫn. Tập xác định: ( D = mathbbR ).

Nếu ( x e 1 ), thì hàm số đã cho là ( f(x) = dfrac2 – 7x + 5x^2x – 1 ). Đây là hàm phân thức hữu tỉ tất cả tập xác định là ( left( – infty ;1 ight) cup left( 1; + infty ight)) đề nghị nó liên tục trên mỗi khoảng chừng ( left( – infty ;1 ight) ) và ( left( 1; + infty ight) )Nếu ( x = 1 ) thì họ có ( f(1) = – 3m – 1 ) với Hàm số ( f(x) ) thường xuyên tại ( x_0 = 1 ) khi còn chỉ khi

Tóm lại, giá trị phải tìm là ( m = – frac43 ).

Dạng 5. Ứng dụng hàm số liên tục chứng tỏ phương trình có nghiệm

Ví dụ 1. chứng tỏ phương trình ( 3x^3 + 2x – 2 = 0 ) gồm nghiệm trong khoảng ( left( 0;1 ight) ).

Hướng dẫn.

Xét hàm số ( f(x) = 3x^3 + 2x – 2 ), đó là hàm nhiều thức nên liên tiếp trên tập ( R ). Vì chưng đó, ( f(x) ) cũng tiếp tục trên đoạn ( left ).Ta có: $$ f(0)cdot f(1) = ( – 2)cdot (3) = – 6

Suy ra tồn tại không nhiều nhất một số trong những ( c ) trong tầm ( (0;1) ) sao cho ( f(c) = 0 ), tức là phương trình ( f(x)=0 ) có tối thiểu một nghiệm thuộc khoảng chừng ( left( 0;1 ight) ).

Ví dụ 2. Chứng minh phương trình ( 2x^3 – 6x^2 + 5 = 0 ) có tía nghiệm trong tầm ( left( – 1;3 ight) ).

Hướng dẫn.

Hàm số ( f(x) = 2x^3 – 6x^2 + 5 ) liên tục trên ( R ) đề nghị suy ra ( f(x) ) thường xuyên trên các đoạn ( , ) cùng ( ).Ta có: ( f( – 1) = – 3 , f(0) = 5, f(2) = – 3 , f(3) = 5 ). Suy ra bởi vì đó, phương trình đã cho gồm nghiệm trong mỗi khoảng ( left( – 1;0 ight) ), ( left( 0;2 ight) ) và ( left( 2;3 ight) ).

Kết luận, phương trìn có ba nghiệm trong khoảng ( left( – 1;3 ight) ).

Ví dụ 3. minh chứng rằng phương trình ( ax^2 + bx + c = 0 ) luôn luôn có nghiệm trong khúc ( left ) với mọi ( a e 0 ) và ( 2a + 6b + 19c = 0 ).

Hướng dẫn. Hàm số ( f(x) = ax^2 + bx + c ) liên tiếp trên ( mathbbR ) cần cũng tiếp tục trên đoạn ( left ).

Ta có $$ f(0) = c, f(frac13) = frac19(a + 3b + 9c) $$ Suy ra $f(0) + 18f(frac13) = 2a + 6b + 19c = 0 $ đề nghị $$ f(0) =-18f(frac13) $$ Như vậy, chúng ta thấy

Nếu ( f(0) = f(frac13) = 0 ) thì phương trình bao gồm nghiệm đó là ( 0 ) cùng ( frac13 ) ở trong đoạn ( left ).Nếu ( f(0) =-18 f(frac13) e 0 ) thì ( f(0)cdot f(frac13) =-left(f(0) ight)^2

Tóm lại, phương trình đang cho luôn có nghiệm trong đoạn ( left ) với đa số ( a e 0 ) với ( 2a + 6b + 19c = 0 ).

3. Bài tập hàm số liên tục

Bài 1. Xét tính thường xuyên của hàm số trên điểm được chỉ ra:

a) $f(x)=left{ eginalign& fracx+3x-1& ext lúc ,,x e 1 \& -1& ext lúc ,,x=1 \endalign ight.$tại $x=-1$b) $f(x),,=,,left{ eginalign& fracsqrtx+3-2x-1,,,& ext lúc ,x e 1,,,,,, \& frac14& ext lúc ,,x=1 \endalign ight.$tại $x=1$c) $f(x) = left{ eginarray*20cdfrac2 – 7x + 5x^2 – x^3x^2 – 3x + 2& mkhi mkern 1mu x e 2mkern 1mu \1& extkhi x = 2endarray ight. $tại $x=2$d) $f(x),=,left{ eginalign& fracx-5sqrt2x-1-3,,& ext lúc ,,x>5 \& (x-5)^2+3,,,,,& ext lúc ,xle ,,5 \endalign ight.$tại $x=5$e) $f(x),,=,,left{ eginalign& 1-cos x& ext lúc ,xle 0 \& sqrtx+1& ext lúc ,,x>0 \endalign ight.$tại $x=0$f) $f(x)=left{ eginalign& fracx-1sqrt2-x-1& ext lúc ,,x& -2x& ext khi ,,xge 1 \endalign ight.$tại $x=1$

Bài 2. Tìm $m, n$ nhằm hàm số thường xuyên tại điểm được chỉ ra:

a) $f(x)=left{ eginalign& x^2& ext lúc ,,x& 2mx-3& ext lúc ,,xge 1 \endalign ight.$tại $x=1$b) $f(x)=left{ eginalign& fracx^3-x^2+2x-2x-1& ext khi ,,x e 1 \& 3x+m& ext khi ,,x=1 \endalign ight.$tại $x=1$c) $f(x)=left{ eginalign& m& ext lúc ,,x=0 \& fracx^2-x-6x(x-3)& ext khi ,,x e 0,x e 3 \& n& ext lúc ,,x=3 \endalign ight.$tại $x=0$ cùng $x=3$d) $f(x)=left{ eginalign& fracx^2-x-2x-2& ext khi ,,x e 2 \& m& ext lúc ,,x=2 \endalign ight.$tại $x=2$

Bài 3. Xét tính tiếp tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a) $f(x),,=,,left{ eginalign& fracx^3+x+2x^3+1& ext lúc ,,x e -1 \& frac43& ext lúc ,,x=-1 \endalign ight.$b) $f(x)=left{ eginalign& x^2-3x+4& ext khi ,,x& 5& ext lúc ,,x=2 \& 2x+1& ext khi ,,x>2 \endalign ight.$c) $f(x)=left{ eginalign& fracx^2-4x+2& ext khi ,,x e -2 \& -4& ext khi ,,x=-2 \endalign ight.$d) $f(x)=left{ eginalign& fracx^2-2x-sqrt2& ext khi ,,x e sqrt2 \& 2sqrt2& ext lúc ,,x=sqrt2 \endalign ight.$

Bài 4. Tìm các giá trị của tham số (m) để những hàm số sau liên tiếp trên tập xác minh của chúng:

a) $f(x)=left{ eginalign& fracx^2-x-2x-2& ext khi ,,x e 2 \& m& ext lúc ,,x=2 \endalign ight.$b) $f(x)=left{ eginalign&x^2+x& ext khi ,,x&2& ext lúc ,,x=1 \&mx+1& ext lúc ,,x>1 \endalign ight.$c) $f(x)=left{ eginalign&fracx^3-x^2+2x-2x-1& ext khi ,,x e 1 \&3x+m & ext khi ,,x=1 \endalign ight.$d) $f(x)=left{ eginalign&x^2& ext lúc ,,x&2mx-3& ext khi ,,xge 1 \endalign ight.$

Bài 5. Chứng minh rằng các phương trình sau gồm 3 nghiệm phân biệt:

a) $x^3-3x+1=0$b) $x^3+6x^2+9x+1=0$c) $2x+6sqrt1-x=3$

Bài 6. Chứng minh rằng những phương trình sau luôn có nghiệm:

a) $x^5-3x+3=0$b) $x^5+x-1=0$c) $x^4+x^3-3x^2+x+1=0$

Bài 7. minh chứng rằng phương trình: $x^5-5x^3+4x-1=0$ có 5 nghiệm trên khoảng tầm ( (-2; 2) ).

Xem thêm: Đánh Giá Trường Thpt Nguyễn Bỉnh Khiêm Hà Nội Có Tốt Không, Hệ Thống Giáo Dục Nguyễn Bỉnh Khiêm

a) $m(x-1)^3(x-2)+2x-3=0$b) $x^4+mx^2-2mx-2=0$c) $a(x-b)(x-c)+b(x-c)(x-a)+c(x-a)(x-b)=0$d) $(1-m^2)(x+1)^3+x^2-x-3=0$e) $cos x+mcos 2x=0$f) $m(2cos x-sqrt2)=2sin 5x+1$

Bài 9. Chứng minh các phương trình sau luôn luôn có nghiệm:

a) $ax^2+bx+c=0$ cùng với $2a + 3b + 6c = 0$b) $ax^2+bx+c=0$ cùng với ( a + 2b + 5c = 0 )c) $x^3+ax^2+bx+c=0$

Bài 10. Chứng minh rằng phương trình: $ax^2+bx+c=0$ luôn có nghiệm ( x ) thuộc $left$ với ( a e 0 ) và ( 2a + 6b + 19c = 0 ).